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1 Cinética Fracionária Seminário Fora de Área Miguel Quartin Abril 2005.

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1 1 Cinética Fracionária Seminário Fora de Área Miguel Quartin Abril 2005

2 2 Resumo Motivação Motivação Cinética Não-Fracionária Cinética Não-Fracionária Lei de Fick da Difusão e Cam. Aleatória (RW) Lei de Fick da Difusão e Cam. Aleatória (RW) Teoria de Langevin Teoria de Langevin Eq. de Fokker-Planck Eq. de Fokker-Planck Cinética Fracionária Cinética Fracionária Cálculo Fracionário Cálculo Fracionário Cam. Aleatória de Tempo Contínuo (CTRW) Cam. Aleatória de Tempo Contínuo (CTRW) Eq. de Fokker-Planck Fracionária (FFPE) Eq. de Fokker-Planck Fracionária (FFPE) Outro Exemplo Físico Outro Exemplo Físico Conclusões Conclusões Referências Referências

3 3 Motivação As leis convencionais que governam a difusão prevêem que o deslocamento médio quadrático r 2 (t) de partículas imersas em um fluido é dado pela lei de escala: As leis convencionais que governam a difusão prevêem que o deslocamento médio quadrático r 2 (t) de partículas imersas em um fluido é dado pela lei de escala: Diversos sistemas físicos, no entanto, violam essa lei de escala. Alguns exemplos são encontrados em: Diversos sistemas físicos, no entanto, violam essa lei de escala. Alguns exemplos são encontrados em: Passagem de moléculas de ssDNA curtas (até 300 nucleotídeos) por membranas; Passagem de moléculas de ssDNA curtas (até 300 nucleotídeos) por membranas; Transporte dispersivo em semicondutores amorfos; Transporte dispersivo em semicondutores amorfos; Dinâmicas de uma conta em uma rede de polímeros; Dinâmicas de uma conta em uma rede de polímeros; Ótica quântica; Ótica quântica; Nestes sistemas, vale: Nestes sistemas, vale:

4 4 A Lei de Fick (1855) Teoria fenomenológica da difusão. Teoria fenomenológica da difusão. Premissa básica: a difusão equilibra as concentrações. Premissa básica: a difusão equilibra as concentrações. Se a condição inicial for Então Análoga à Lei de Ohm e à Lei de Fourier do fluxo de calor

5 5 A Teoria de Einstein-Smoluchowski (1-D) Hipótese: a cada impacto (que ocorre, em média, após um tempo ) a partícula dá um salto de x=±L (magnitude constante) Hipótese: a cada impacto (que ocorre, em média, após um tempo ) a partícula dá um salto de x=±L (magnitude constante) A probabilidade da partícula se encontrar em m (:= x / L) após n (:= t / ) saltos sucessivos é dada por:

6 6 A Teoria de Einstein-Smoluchowski (1-D) Se n 1 (t ), podemos usar a aprox. de Stirling: Logo, onde Compare com a eq. Hip. Ergódica

7 7 Teoria de Langevin (1906) As forças que atuam sobre uma partícula browniana livre podem ser decompostas em duas partes As forças que atuam sobre uma partícula browniana livre podem ser decompostas em duas partes Se mostra então que, para t M Se uma partícula de massa pequena estiver sujeita a uma força adicional f(r,t), então: Comparando com a eq. obtida pela Lei de Fick, deduzimos que Relação de Einstein

8 8 A Eq. de Fokker-Planck (1913) Simplificação da Equação Mestra para o caso de uma partícula cuja massa é muito maior que a massa das moléculas com as quais colide Simplificação da Equação Mestra para o caso de uma partícula cuja massa é muito maior que a massa das moléculas com as quais colide Considera tanto os impactos descorrelacionados das moléculas como forças externas determinísticas. Considera tanto os impactos descorrelacionados das moléculas como forças externas determinísticas. - j(r,t )

9 9 Cálculo Fracionário É desenvolvido há mais de 300 anos por, dentre outros: Laplace, Riemann, Liouville, Heaviside e Erdélyi; É desenvolvido há mais de 300 anos por, dentre outros: Laplace, Riemann, Liouville, Heaviside e Erdélyi; Até a década de 90 restrito ao campo da matemática; Até a década de 90 restrito ao campo da matemática; Recentemente usado para descrever processos físicos, como difusão (lenta) anômala. (Ex.: r 2 (t) t ) Recentemente usado para descrever processos físicos, como difusão (lenta) anômala. (Ex.: r 2 (t) t ) Podemos generalizar a eq. acima para a chamada derivada de Riemann-Liouville

10 10 Cálculo Fracionário Um modo mais elegante de introduzir derivadas fracionárias é através da identidade integral: Um modo mais elegante de introduzir derivadas fracionárias é através da identidade integral: A limite inferior A é arbitrário. Normalmente, escolhe-se A = 0 ou A = -. Esta liberdade de definição é vantajosa e permite uma informação física adicional.

11 11 Cálculo Fracionário Propriedades interessantes: Propriedades interessantes: Estamos interessados em A = 0 e 0 < < 1

12 12 Cam. Aleatórias de Tempo Contínuo (CTRW) Caminhadas aleatórias e difusão servem de interface entre cinética e o cálculo fracionário. Caminhadas aleatórias e difusão servem de interface entre cinética e o cálculo fracionário. RW é o modelo mais simples que leva à eq. de difusão. RW é o modelo mais simples que leva à eq. de difusão. Nas CTRW, a condição de constância temporal dos passos é retirada. Nas CTRW, a condição de constância temporal dos passos é retirada. Os intervalos são descritos por uma função de espera (t). Esta função pode ser fruto de obstáculos e armadilhas que atrasam o movimento da partícula. Os intervalos são descritos por uma função de espera (t). Esta função pode ser fruto de obstáculos e armadilhas que atrasam o movimento da partícula. Se o tempo médio de espera for finito, a Se o tempo médio de espera for finito, a Lei de Fick é re-obtida não nos interessa Se, a situação muda drasticamente Se, a situação muda drasticamente

13 13 Cam. Aleatórias de Tempo Contínuo (CTRW) Funções de espera mais utilizadas (0 < < 1): Funções de espera mais utilizadas (0 < < 1): Pelos mesmos argumentos da teoria de Einstein-Smoluchowski, pode se mostrar que neste caso < 1 sub-difusão > 1 super-difusão

14 14 P(x, t = ) t t x x

15 15 Cam. Aleatórias de Tempo Contínuo (CTRW) Rede de percolação tipo queijo suíço. Exemplo de sistema onde a difusão é caracterizada por uma CTRW. As partículas ficam presas por algum tempo nos poros (zonas escuras) até voltarem ao fluxo nas espinhas dorsais (zonas claras).

16 16 A Eq. de Fokker-Planck Fracionária Uma generalização da Lei de Fick consistente com a eq. r 2 (t) t é dada por: Uma generalização da Lei de Fick consistente com a eq. r 2 (t) t é dada por: Analogamente, podemos generalizar a eq. de Fokker- Planck para: Analogamente, podemos generalizar a eq. de Fokker- Planck para: Vantagens sobre a abordagem de CTRW: Vantagens sobre a abordagem de CTRW: Torna possível a análise de transporte no espaço de fase; Torna possível a análise de transporte no espaço de fase; Inclusão de campos externos é imediata. Inclusão de campos externos é imediata.

17 17 FFPE em Potenciais Harmônicos Exemplo: difusão em 1-D em um potencial harmônico U(x) = bx 2 /2 (processo de Ornstein-Uhlenbeck). Exemplo: difusão em 1-D em um potencial harmônico U(x) = bx 2 /2 (processo de Ornstein-Uhlenbeck). A tática para a resolução desta equação é aplicar uma Transf. de Fourier em x, seguida de uma Transf. de Laplace em t. Para tal, é necessário introduzir a função de Mittag-Leffler E :

18 18 Característica típica de CTRW largas

19 19 Note a escala logarítmica!

20 20 FFPE em Potenciais Harmônicos A eq. de Fokker-Planck tradicional implica em: A eq. de Fokker-Planck tradicional implica em: A FFPE implica em: A FFPE implica em: t < x > FPE FFPE

21 21 Outro Exemplo Físico Rede de resistores e capacitores Rede de contas e molas em meio viscoso

22 22 Conclusões FFPE permite modelar sistemas que apresentam sub- difusão de um modo simples e elegante; FFPE permite modelar sistemas que apresentam sub- difusão de um modo simples e elegante; A abordagem fracionária é de certo modo equivalente à da generalização da Equação Mestra, mas permite de forma imediata: A abordagem fracionária é de certo modo equivalente à da generalização da Equação Mestra, mas permite de forma imediata: Inclusão de campos externos; Inclusão de campos externos; Resolução de problemas de valores de contorno; Resolução de problemas de valores de contorno; FFPE possui vantagens sobre modelos de RW; FFPE possui vantagens sobre modelos de RW; O cálculo fracionário é aplicável a uma razoável diversidade de sistemas físicos. O cálculo fracionário é aplicável a uma razoável diversidade de sistemas físicos.

23 23 Referências I. Sokolov, J. Klafter, A. Blumen, Physics Today, vol. 55, n. 11, pág. 48 (2002) I. Sokolov, J. Klafter, A. Blumen, Physics Today, vol. 55, n. 11, pág. 48 (2002) R. Pathria, Statistical Mechanics, Pergamon R. Pathria, Statistical Mechanics, Pergamon R. Metzler, J. Klafter, Phys. Rep., 339, 1 (2000) R. Metzler, J. Klafter, Phys. Rep., 339, 1 (2000) R. Metzler, J. Klafter, arXiv:cond-mat/ v1 (2003) R. Metzler, J. Klafter, arXiv:cond-mat/ v1 (2003) Eric W. Weisstein. "Mittag-Leffler Function." From Eric W. Weisstein. "Mittag-Leffler Function." From MathWorldMathWorld -- A Wolfram Web Resource. MathWorld W. Schneider, W. Wyss, J. Math. Phys. 30, 134 (1989) W. Schneider, W. Wyss, J. Math. Phys. 30, 134 (1989)


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