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Mecânica Quântica: Função de Onda Teorema de Fourier: representar a partícula como uma superposição de muitas ondas. Função de onda do elétron Amplitude.

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1 Mecânica Quântica: Função de Onda Teorema de Fourier: representar a partícula como uma superposição de muitas ondas. Função de onda do elétron Amplitude da onda com número de onda k=2 p / l Somando quantidades variáveis de um infinito número de ondas Expressão senoidal para harmônicos Partícula: meio partícula…meio onda…

2 dx Probabilidade de encontrar um elétron entre x and x+dx Y( x,t ) 2 Grande número de eventos: Comportamento estatístico Assumindo que a partícula exista, em qualquer instante ela se encontra em algum lugar: Procurando bem… Você vai encontrar sua partícula uma única vez Função de Onda

3 Função clássica típica para uma partícula que se propaga na direção +x: partícula desaparece para múltiplos inteiros de p /2, 2 p /3, etc. Analogamente, para a partícula que se propaga na direção –x: Sabemos ainda que se 1 e 2 são ambas permitidas, também será (Princípio da superposição) Função de Onda

4 x f -f Função de Onda Considere outra função clássica típica Trocando k - k e - :

5 Representação gráfica de um número complexo z como um ponto no plano complexo. As componentes horizontal e vertical representam as partes real e imaginária respectivamente. Função de Onda

6 Partícula: meio partícula…meio onda… A partícula quântica é descrita por uma função de onda (r,t), que: Contém toda a informação sobre a dinâmica da partícula É uma função complexa É unívoca, finita e contínua Tem derivadas unívocas, finitas e contínuas

7 Função de Onda: Probabilidades (Max Born Nobel 1954) Se, no instante t, é feita uma medida da localização da partícula associada à função de onda (x,t), então a probabilidade P (x,t)dx de que a partícula seja encontrada entre x e x+dx é igual a * (x,t) (x,t)dx. Note que P (x,t) é real e não-negativa, como toda probabilidade… Deus não joga dados com o universo (A. Einstein) Einstein, pare de dizer a Deus o que fazer (Niels Bohr)

8 Função de Onda: Probabilidades (Max Born Nobel 1954)

9 A Equação de Schrödinger (Nobel 1933) V(x,t): energia potencial e, se V(x) Eq. Schrödinger independente do tempo:

10 Relação de dispersão (k) k Exemplo: partícula livre (V=0)

11 Observável: valor esperado Valor esperado: resultado que se espera encontrar para a média de muitas medidas de uma certa quantidade. Observável: qualquer quantidade mensurável para a qual podemos calcular o valor esperado (posição, momento, energia…) Valor esperado de um observável: REAL Valor médio de uma variável discreta x:

12 Variável discreta variável contínua Probabilidade P(x,t) de observar a partícula em um certo valor de x Função de onda valor esperado de x: Valor esperado de uma função qualquer g(x) para uma função de onda normalizada: Observável: valor esperado

13 Valor esperado do momento: necessário representar o momento p como função de x e t. Considere a derivada da função de onda de uma partícula livre (V=0) com respeito à x: Valor esperado e Operadores Logo: Podemos associar ao momento um operador: Valor esperado de p :

14 A posiçao x é seu próprio operador. Considere a derivada temporal da função de onda de uma partícula livre: Valor esperado e Operadores: Posição e Energia Logo: Podemos associar à energia um operador: Valor esperado de E :

15 posição xx momento p energia potencial VV(x) energia cinética K energia total E observável operador Operadores A cada grandeza física corresponde um operador matemático, que opera na função de onda. o potencial energia cinética Energia cinética + potencial = energia total

16 Quando aplicamos um operador a e obtemos de volta a própria multiplicada por uma constante, diz-se que é uma autofunção do operador, com autovalor igual à constante obtida. Quando isso acontece, diz-se que a grandeza física associada tem valor bem definido, com incerteza nula. Assim, a da partícula livre é uma autofunção do operador momento, com autovalor ħk. Operadores, autofunção e autovalor

17 A da partícula livre também é uma autofunção do operador energia, com autovalor ħ.

18 Operadores e a Eq. Schrödinger o potencial expressão para energia cinética Energia cinética + potencial = energia total

19 Partícula Livre k E Momento bem determinado: posição desconhecida Qualquer energia positiva é permitida (E varia de forma contínua)

20 Partícula na Caixa: Poço de potencial infinito V Região proibida x 0L

21 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 E1E1 E2E2 E3E3 V Região proibida x 0L n : número quântico Poço de potencial infinito

22 Condições de contorno: =0 para x = 0 e x = L. Soluções válidas para kL = nπ onde n= inteiro. Função de onda: Normalizando: Idênticas à corda vibrante com extremos fixos. Partícula na Caixa: Poço de potencial infinito

23 Número de onda quantizado: Resolvendo para a Energia: Energia depende dos valores de n; Energias quantizadas e não nulas Energia do estado fundamental:n = 1 Probabilidade de observar a partícula entre x e x+ x em cada estado : Partícula na Caixa: Poço de potencial infinito

24 P < 100 % 100% - P P = 100 % Barreira V x 0 L Região proibida Barreira de Potencial

25 V x 0 V0V0 E < V 0 E 12 Potencial degrau

26 Encontrar B, C e D em termos de A Função de onda e suas derivadas: Finitas Contínuas

27 Barreira de potencial e Efeito Túnel V x 0 V0V0 (x) Existe uma probabilidade de encontrar o elétron na região classicamente proibida V x 0 (x) a incidente refletido transmitido Se a barreira for suficientemente pequena (largura a) o elétron poderá ser transmitido (tunelar) com uma certa probabilidade: EFEITO TÚNEL Simulações:

28 Regiões I e III: Barreira e Tunelamento: Região II: Partícula com energia E incide sobre uma barreira de potencial V o E > V 0

29 Onda incidente, refletida e transmitida: Eq. Schrödinger nas 3 regiões: Barreira e Tunelamento: Soluções: Onda se move para a direita:

30 Probabilidades de Reflexão e Transmissão Probabilidade de reflexão R ou transmissão T : R + T = 1. Aplicando condições de contorno: x ±, x = 0 e x = L T pode ser = 1.

31 Existe probabilidade finita da partícula penetrar na barreira e aparecer do outro lado! Probabilidade de transmissão descreve o fenômeno de tunelamento E < V 0 Classicamente a partícula não possui energia para vence a barreira Tunelamento

32 Função de onda no Tunelamento


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