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Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC Aplicação de Algoritmos Genéticos e Redes Neuronais à Optimização e Fiabilidade Estrutural João.

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2 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC Aplicação de Algoritmos Genéticos e Redes Neuronais à Optimização e Fiabilidade Estrutural João Rocha de Almeida João Cardoso Seminário no Âmbito do Projecto POCTI/ECM/36055/2000, Financiado pela Fundação para a Ciência e a Tecnologia FCT/UNL, Maio de 2004

3 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC Sumário - Optimização Estrutural - Algoritmos Genéticos - Fiabilidade Estrutural - Método de Monte Carlo - Redes Neuronais - Exemplos

4 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC Optimização Estrutural Engloba um conjunto de teorias e métodos que procuram obter a estrutura que desempenha mais eficientemente as funções para as quais é projectada Conheceu grande desenvolvimento na década de 70 quando se interligaram algoritmos de Programação Matemática (Simplex, SLP, SQP) e Programas de Elementos Finitos Actualmente são muito utilizados Algoritmos Genéticos em vez de algoritmos de Programação Matemática Elementos Finitos Programação Matemática Algoritmos Genéticos

5 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC Minimizar F(X) Função Objectivo verificando c(X) 0 onde X = {X 1,X 2,,X N } Vector das Variáveis de Projecto Constrangimentos normalizados e com X min X X max Limites Laterais das Variáveis de Projecto Formulação do problema de Optimização Estrutural Função ObjectivoVariáveis de ProjectoConstrangimentos Peso Custo Dimensões Forma Topologia Deslocamentos Tensões Frequências

6 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC Exemplo Duas vigas formando uma grelha Q= 175 kN/m L 1 = 2,54 m, L 2 = 3,05 m adm = 138 Mpa = 77 kN/m 3 Pretende-se minimizar o Peso da estrutura ( Função Objectivo ) modificando as Áreas das secções transversais das vigas, X 1 e X 2 ( Variáveis de Projecto ) considerando que a tensão nas vigas não pode ultrapassar a tensão admissível do material ( Constrangimento ) e assumindo valores máximos e mínimos para X 1 e X 2 ( Limites Laterais )

7 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC Domínio do Problema Soluções : X 1 = 151,0 cm 2 X 2 = 46,0 cm 2 Peso= 4035 N X 1 = 35,2 cm 2 X 2 = 164,4 cm 2 Peso= 4556 N X 1 = 84,0 cm 2 X 2 = 121,8 cm 2 Peso= 4505 N

8 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC A necessidade de calcular gradientes exige a continuidade das funções utilizadas, o que é uma limitação em alguns problemas. Por outro lado, os métodos baseados em gradientes tem muita dificuldade em lidar com funções que apresentem mínimos locais A maioria dos métodos desenvolvidos para resolver problemas de optimização procuram iterativamente no espaço das variáveis de projecto o ponto que minimiza a função objectivo verificando simultaneamente os constrangimentos. Essa pesquisa é feita com base no valor da função objectivo e dos constrangimentos e também dos seus gradientes em relação às variáveis de projecto Um dos problemas em que não existe continuidade das funções corresponde ao problema de optimização com variáveis discretas

9 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC Algoritmos Genéticos Baseados no trabalho original de Holland, que utilizou representações binárias das possíveis soluções de um problema e transformações destinadas a aperfeiçoar essas soluções de forma a atingir a solução óptima Variáveis de Projecto X 1 X 2 Cromossoma Genes X1X1 X2X2 ( 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0,...) Codificação Procuram reproduzir no computador o processo de selecção natural das espécies e utilizam a terminologia da Genética

10 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC O conjunto de cromossomas constituindo a população de uma determinada geração é combinada através de operadores para dar origem à população da geração seguinte, que contém indivíduos melhor adaptados, de acordo com uma função de mérito A aplicação de um algoritmo genético envolve : 1- Codificação das variáveis de projecto 2- Definição da função de mérito 3- Definição de operadores que alterem o conteudo dos cromossomas : Selecção - escolhe os índividuos de uma geração que deverão fazer parte da geração seguinte Cruzamento - combina os genes de dois cromossomas pais para dar origem a dois cromossomas filhos distintos dos progenitores Mutação - altera de forma aleatória os genes de um cromossoma

11 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC Exemplo Pórtico plano Forças verticais em todos os nós de 444,8 kN Forças horizontais indicadas adm = 5,08 cm E= 200 GPa 8 grupos de elementos x m m kN kN kN kN kN kN kN Pretende-se minimizar o peso da estrutura escolhendo os perfis mais adequados numa tabela com 16 perfis W ( Optimização discreta ) considerando que o deslocamento horizontal no topo deve ser inferior a adm

12 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC W21x44 W18x35 W16x26 W12x16 W14x26 W18x35 W16x26 Peso : 31,72 kN Tabela de perfis W27X84 W24X68 W21X62 W21X44 W18X46 W18X35 W16X31 W16X26 W14X38 W14X26 W12X40 W12X16 W10X39 W10X33 W8X31 W8X18 Cromossoma ( 4, 6, 8, 12, 10, 6, 8, 8 )

13 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC Trabalho Desenvolvido - I Problema : Dada uma estrutura constituída por um conjunto N de componentes, descobrir qual a solução óptima que corresponderá a usar um número K de perfis normalizados na sua construção, a escolher entre um número M de perfis disponíveis Solução : Cromossoma composto. Os primeiros K genes constituem índices na tabela de perfis disponíveis. Os restantes N ( 1 por cada grupo de componentes ) referem-se a um dos K genes iniciais. Cada cromossoma define uma solução para o problema

14 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC Tabela de perfis W27X84 W24X68 W21X62 W21X44 W18X46 W18X35 W16X31 W16X26 W14X38 W14X26 W12X40 W12X16 W10X39 W10X33 W8X31 W8X18 ( 6, 7, 8, | 1, 2, 3, 3, 1, 1, 3, 3 ) Cromossoma K= 3 Peso : 31,96 kN W18x35 W16x31 W16x26 Exemplo pórtico plano

15 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC K Solução p 1 Solução p 2 Volume (m 3 )Peso (kN) 166, 6, 6, 6, 6, 6, 6, ,43 26, 86, 6, 8, 8, 6, 6, 8, ,67 36, 7, 86, 7, 8, 8, 6, 6, 8, ,96 54, 6, 8, 10, 124, 6, 8, 12, 10, 6, 8, ,72

16 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC Trabalho Desenvolvido - II Problema : Obter vários mínimos globais ou um mínimo global e vários mínimos locais, quando estes ocorram na função a optimizar Solução : Partição regular do domínio em sub-domínios, cada qual contendo uma sub-população Evolução isolada de cada sub-população para o óptimo que ocorre no sub-domínio Processo de adaptação automática da partição do domínio às características do problema que se pretende resolver Processo de transferência de elementos entre sub-populações, permitindo enriquecer as regiões de elevado potencial onde é mais provável que existam óptimos, em detrimento das regiões sem interesse

17 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC Função Branin RCOS (BRC)

18 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC Função Branin RCOS (BRC)

19 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC Exemplo : duas vigas formando uma grelha

20 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC Fiabilidade Estrutural A verificação da segurança de uma estrutura implica: S < R, onde S representa a acção e R a resistência Tanto S como R dependem de diversas variáveis aleatórias, X 1,...,X n

21 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC nnXXX XXXg nc dx xxxfXXXgPP n n ,,, 0),,,( 21 ),,,( 0),,,( A violação do estado limite é definida pela condição g( X 1, X 2,..., X n ) 0 e a probabilidade de colapso, P c, pode ser formalmente expressa pela equação: ),,,( 21,,, 21 nXXX xxxf n... onde (x 1, x 2,..., x n ) são ocorrências das variáveis aleatórias e é a função conjunta de densidade de probabilidade Função de estado limite: g(X 1,...,X n ) = R – S

22 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC A fiabilidade de uma estrutura pode também ser medida pelo índice de fiabilidade,, que representa a distância do ponto de rotura mais provável à origem, no espaço (R, S) de coordenadas normalizadas onde é a função distribuição normal padrão Conhecendo a probabilidade de colapso é dada por:

23 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC Método de Monte Carlo onde ),,...,( 21n XXXI é uma função definida por 0),,,( se 0 0),,,( 1 ),,,( n n n XXXg XXXg XXXI... Permite obter uma estimativa da probabilidade de colapso, N i nc XXXI N P 1 21 ),,,( 1... (1) de acordo com a equação (1), N amostras independentes de valores das variáveis aleatórias são obtidas com base nas distribuições de probabilidade dessas variáveis e a função de estado limite é calculada para cada amostra. Designando por N H o número de casos em que ocorreu o colapso, a probabilidade de colapso da estrutura é aproximada por : N N P H c

24 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC A aplicação do método de Monte Carlo apresenta as seguintes Vantagens : Método probabilístico exacto, ou de nível 3 (cf. Eurocódigo 1), onde a probabilidade de colapso é avaliada a partir da distribuição conjunta de probabilidade das variáveis associadas às acções e às resistências Permite avaliar a probabilidade de colapso de um sistema em que se consideram simultaneamente várias funções de estado limite Desvantagens : Requer um modelo estatístico de todas as variáveis aleatórias envolvidas Tempo de cálculo muito elevado Para estados limites últimos ( 10 4 P C 10 6 ) é necessário avaliar g(X) entre 10 5 e 10 7 vezes para obter resultados com uma aproximação aceitável

25 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC Redes Neuronais Técnica de inteligência artificial inspirada no funcionamento dos neurónios biológicos

26 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC O uso de redes neuronais tem vindo a generalizar-se em vários domínios, entre os quais a mecânica estrutural e em particular a fiabilidade de estruturas Neurónio artificial introduzido por McCulloch e Pitts (1943) x 1 w m1 w m2 w m3 w mL f( ) b m x 2 x 3 x L... s m

27 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC w 24 2 f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) w 11 1 w 12 1 w 13 1 b 1 1 w 21 1 w 22 1 w 23 1 b 2 1 w 31 1 w 32 1 b 3 1 w 43 1 w 42 1 w 41 1 b 4 1 w 33 1 w 34 2 b 3 2 b 2 2 b 1 2 w 31 2 w 32 2 w 33 2 w 21 2 w 22 2 w 23 2 w 14 2 w 13 2 w 12 2 w 11 2 s 1 2 s 2 2 s 3 2 x 1 x 2 x 3 = = = Rede neuronal multicamada ( 3 x 4 x 3 )

28 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC O tempo necessário para calcular o valor das funções que uma rede neuronal multicamada aprendeu é muito reduzido O cálculo corresponde apenas a algumas operações matriciais

29 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC O processo de obter os coeficientes w mk e b m de forma que a rede neuronal possa representar uma função designa-se por treino da rede O treino mais comum, treino supervisionado, consiste em arbitrar valores iniciais para os coeficientes e em seguida ajustar esses valores de forma a minimizar o erro entre as saídas obtidas pela rede e o resultado exacto da função Para proceder assim, é necessário construir um conjunto de treino, com valores das variáveis de entrada e os correspondentes valores da função. Após o treino, a rede deve ser testada com um conjunto de teste Neste trabalho utilizou-se um algoritmo misto, minimizando-se inicialmente o erro com um algoritmo genético e em seguida com um algoritmo de gradientes conjugados

30 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC Exemplo F(X,Y) = 0,3 + ( 2 Sin( X ) Cos ( Y ) + Sin ( X Y ) ) / 6 com X [3.5, 5.5] e Y [2.0, 4.0] Função analítica Conjunto de treino com 14 x 14 = 196 pontos Conjunto de teste com 32 x 32 = 1024 pontos

31 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC

32 s1s1 Erro treino, E máx (%) médio (%) t (h:m:s) 1 1, :00:01 6 7, ,900:02: , ,100:29: , ,50,3802:09: , ,90,3506:36: , ,50,2318:32: , ,930,09541:02:08 Medidas do erro Resultados do treino

33 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC Trabalho Desenvolvido - III Utilização da rede neuronal para aprender o comportamento da estrutura Pórtico intermédio de uma nave industrial com 20x10x4 m Espaçamento de 5 m entre pórticos semelhantes Definição das acções segundo o Eurocódigo 1, considerando-se os seguintes valores característicos : Cargas permanentes – 0,5 kN/m 2 correspondente ao peso próprio da estrutura acrescido do revestimento da cobertura e da fachada Sobrecarga – 2 kN/m 2, correspondente a uma utilização normal Vento – considera-se uma pressão dinâmica do vento igual a 0,456 kN/m 2

34 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC FunçãoDescrição H L 2 /150 Deslocamento horizontal máximo do pilar V L 1 /300 Deslocamento vertical máximo da viga Resistência à flexão composta com compressão do pilar Resistência à flexão composta com compressão da viga considerando a possibilidade de encurvadura lateral Funções de estado limite Um pórtico com pilares HEA 260 e uma viga HEA 300 verifica a segurança aos estados limites. Os deslocamentos e esforços de dimensionamento são : H = 1,32 mm ; V = 16,8 mm N Sd(Pilar) = 98,6 kN (topo do pilar direito – secção C) M y,Sd(Pilar) = 122,5 kNm (topo do pilar direito – secção C) N Sd(Viga) = 46,7 kN (extremidade direita – secção C) M y,Sd(Viga) = 122,5 kNm (extremidade direita – secção C)

35 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC VariávelDistribuiçãoMédiaDesvio Padrão Coefic. Variação Valor Característico Módulo de Young (GPa)Normal21010,50,05210 Carga permanente (kN/m 2 ) Normal0,500,050,100,50 Sobrecarga (kN/m 2 )LogNormal1,060,3660,352,0 Pressão do vento (kN/m 2 )LogNormal0,2410,0840,350,456 Tensão de cedência (MPa)LogNormal280280,10235 Distribuição probabilística Numa análise preliminar, verificou-se que os valores dos deslocamentos H e V são muito inferiores aos admissíveis, pelo que a probabilidade de colapso associada aos estados limites de utilização é desprezável. Como os esforços na estrutura não dependem do módulo de Young, esta variável foi retirada do modelo probabilístico

36 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC s 1 - número de neurónios da camada intermédia Erro obtido com o conjunto de treino Erro obtido com o conjunto de teste 4 6, , , , , , , , , , Rede neuronal com 3 x s 1 x 3 neurónios Resultados do treino – Erro quadrático médio Considerou-se um conjunto de treino com 6 x 6 x 6 = 216 pontos e um conjunto de teste com 12 x 12 x 12 = 1728 pontos.

37 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC s 1 - número de neurónios da camada intermédia máx (%) N (pilar)N (viga)M (pilar e viga) 41,422,141,11 60,7711,110,711 80,5450,5160, ,1050,1070, ,0670,0690,067 Resultados do treino – Erro relativo máximo

38 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC Número de amostrasProbabilidade de colapsoTempo de cálculo (segundos) , , , Função de Estado Limite Monte Carlo c/ rede neuronal Monte Carlo directo FORM ( COMREL-TI) SORM (COMREL-TI) Resistência à flexão composta com compressão do pilar Pc = 1, = 4,21 Pc = 1, = 4,21 Pc = 1, = 4,22 Pc = 1, = 4,21 Resistência à flexão composta com compressão da viga, considerando a possibilidade de encurvadura lateral Pc = 8, = 4,30 Pc = 8, = 4,30 Pc = 8, = 4,31 Pc = 8, = 4,30 Resultados da análise de fiabilidade

39 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC Trabalho Desenvolvido - IV Utilização da rede neuronal para aprender a função de estado limite g(X) HEB kN/m kN 49.1 kN/m 20.4 kN 49.1 kN/m 2 x 6.00 m 6 x 3.75 m E = 205 GPa f y = 235 MPa 0 = 1/ IPE400 IPE360 IPE240 IPE300 IPE330 HEB220 HEB180 HEB200 HEB240 HEB260 HEB180 HEB220 Pórtico metálico com 6 andares Dimensões : 12 x 22,5 m As cargas verticais, horizontais e a tensão de cedência do aço foram consideradas variáveis aleatórias Comportamento geometricamente e fisicamente não-linear Análises elasto-plásticas considerando a formação de zonas plásticas

40 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC Considerou-se uma única função de estado limite, associada ao colapso elasto-plástico do pórtico. Distribuição probabilística (*: valores para último piso) variávelmédia desvio padrão coeficiente variação valor característico carga vertical (kN/m)33.3 (21.5*) 6.66 (4.30*) (31.7*) carga horizontal (kN)10.76 (5.38*)3.76 (1.88*) (10.2*) tensão de cedência (MPa)

41 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC Considerou-se um conjunto de treino com 8 x 8 x 8 = 512 pontos e um conjunto de teste com 7 x 7 x 7 = 343 pontos. Rede neuronal com 3 x s 1 x 1 neurónios nº neurónios - s 1 Erro treino, E Respostas erradas no treino Respostas erradas no teste tempo treino (s) Resultados do treino

42 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC A análise de fiabilidade foi realizada pelo método de Monte Carlo com 10 7 amostras. nº neurónios - s 1 p f (média) p f (desvio p.) (média) tempo simulação (s) Resultados da análise de fiabilidade

43 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC Trabalho Desenvolvido - V Optimização com constrangimentos de fiabilidade Na optimização com constrangimentos de fiabilidade, pelo menos um dos constrangimentos c(X) está relacionado com a fiabilidade da estrutura A metodologia normalmente empregue para resolver este tipo de problema recorre a algoritmos baseados em gradientes e aos métodos FORM ou SORM, baseados na determinação do índice de fiabilidade,. Optou-se por considerar uma estratégia combinando um algoritmo genético, o método de Monte Carlo e uma rede neuronal Esta estratégia implica a utilização do método de Monte Carlo para todos os elementos da população considerados pelo algoritmo genético

44 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC ny nx P Função objectivo : - Massa da treliça Variáveis de projecto : - Àrea da secção das barras, A. - Coordenada X e Y do nó 4, nX Exemplo Treliça plana com 6 barras Na configuração inicial indicada, nX = nY = 3 m E = 206 GPa Massa específica, = 7,8 x 10 3 kg/m 3 (Burton & Hajela, 2003)

45 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC Variáveis aleatórias : - Carga concentrada P aplicada no nó 3 - Tensão de cedência do aço utilizado, C Distribuição probabilística VariávelDistribuiçãoMédia Desvio padrão Coefic. variação Carga concentrada, P (kN)Normal3030,10 Tensão de cedência, C (MPa) Normal1728,60,05

46 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC Verificou-se que as barras 3, 4 e 5 eram as mais solicitadas, e definiram- se três funções de estado limite g 1 = C 3 g 2 = C 4 g 3 = C 5 Considerou-se que o colapso da estrutura ocorre quando em pelo menos uma das barras se atinge C Sistema em série sendo a respectiva probabilidade de colapso, Pc, calculada pelo método de Monte Carlo Definiu-se um único constrangimento : impondo-se P max = 0,001, a que corresponde = 3,090 Constrangimento :

47 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC Considerou-se um conjunto de treino com 6 x 6 x 6 = 216 pontos e um conjunto de teste com 5 x 5 x 5 = 125 pontos. Rede neuronal com 3 x s 1 x 4 neurónios Resultados do treino – Erro quadrático médio Nº neurónios - s 1 Erro obtido com o conjunto de treino Erro obtido com o conjunto de teste 6 1, , , , , , Nº neurónios – s 1 máx (%) M ,1672,2402, ,2380,5290, ,07750,1990,148 Resultados do treino – Erro relativo máximo

48 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC Variável / Função objectivo Algoritmo genético + Rede neuronal Burton & Hajela Diferença (%) A (m 2 )2,3592,3660,28 nx (m) 1, , ,36 Massa (kg)22,51222,4500,28 Algoritmo genético Cromossomas com 40 genes binários (20 por variável), populações com 40 indivíduos e um total de 60 gerações. A probabilidade de colapso da estrutura foi estimada com 10 5 amostras Resultados da optimização Tempo total de cálculo durante a optimização : 6394 s ( 1 H 47 m )

49 Centro de Investigação em Estruturas e Construção - UNIC Conclusões Demonstrou-se a viabilidade da aplicação das metodologias desenvolvidas : Algoritmos Genéticos para optimização de estruturas com secções normalizadas Método de Monte Carlo + Redes Neuronais para análise de fiabilidade Algoritmos Genéticos + Método de Monte Carlo + Redes Neuronais para optimização de estruturas com constrangimentos de fiabilidade Algoritmos genéticos para optimização de funções com vários mínimos globais e/ou locais


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