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& A B C D CONCEITOS BÁSICOS: Grafo Grafo orientado.

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3 A B C D CONCEITOS BÁSICOS: Grafo Grafo orientado

4 CONCEITOS BÁSICOS: Subgrafo Vértices adjacentes Arestas adjacentes Laço Pseudografo Grau de um vértice Ponto isolado Arestas múltiplas Multigrafo Grafo conexo Grafo desconexo Componente Ponte Grafo não orientado ou digrafo

5 CONCEITOS BÁSICOS : Caminho

6 CONCEITOS BÁSICOS: Circuito

7 LEONHARD EULER ( )

8 CONCEITOS BÁSICOS: Caminho de Euler

9 CONCEITOS BÁSICOS: Circuito de Euler

10 AS PONTES DE KÖNIGSBERG

11 SERÁ POSSIVÉL PERCORRER TODAS AS PONTES PASSANDO UMA ÚNICA VEZ POR CADA UMA DELAS? EULER PROVOU QUE NÃO

12 1º TEOREMA DE EULER Se um grafo possuir vértices de grau impar não possui nenhum circuito de Euler Se um grafo for conexo e todos os seus vértices forem de grau par então possui pelo menos um circuito de Euler

13 2º TEOREMA DE EULER Se um grafo possuir mais de dois vértices de grau impar então não possui nenhum caminho de Euler Se um grafo for conexo e possuir apenas dois vértices de grau impar então possui pelo menos um caminho de Euler.Qualquer que seja esse caminho ele terá de começar num desses vértices e terminar no outro

14 3º TEOREMA DE EULER A soma dos graus de todos os vértices de 1 grafo é igual ao dobro do seu número de arestas O número de vértices de grau impar tem de ser par

15 Conjunto de regras mecânicas que, quando utilizadas correctamente, levam à resposta de um determinado problema ALGORITMO

16 ALGORITMO DE FLEURY Ver se o grafo é conexo e se todos os seus vértices são de grau par Começar num vértice qualquer Percorrer uma aresta se : Esta não for uma ponte para a parte não atravessada do grafo Não existir outra hipótese

17 Assinalar as arestas consoante a ordem com que forem percorridas Quando não for possivel continuar, parar, o percurso esta terminado. ALGORITMO DE FLEURY

18 A B C D E F G H I J K L M N O P

19 A B C D E F G H I J K L M N O P A B C D E F G H I J K L M N O P

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21 ABCD EFGH IJKL Não tem nem caminho nem circuito de Euler Como encontrar o percurso mais económico?? 6 vértices de grau ímpar

22 ABCD EFGH IJKL VÉRTICES DE GRAU ÍMPAR PAR Como vamos fazer? Eulerização de grafos

23 EFGH IJKL ABCD 7 arestas duplicadas 5 arestasduplicadas

24 ABCD EFGH IJKL TEM UM CIRCUITO DE EULER TODOS OS VÉRTICES TÊM GRAU PAR

25 APLICANDO O ALGORITMO DE FLEURY, ENCONTRAMOS UM DOS MUITOS CIRCUITOS DE EULER ABCD EF G H IJ K L SOBREPONDO O CIRCUITO AO GRAFO ORIGINAL ABCD EF G H IJ K L

26 cicuito Caminho ABCD EFGH IJKL EDCBAFGHIJKLEBCFJKGH Semi-eulerização de grafos

27 1º- transformar os vértices de grau ímpar em vértices de grau par 2º- Descobrir um circuito de euler no grafo eulerizado 3º- sobrepor a este circuito o grafo original CIRCUITO MAIS ECONÓMICO CAMINHO MAIS ECONÓMICO excepto 2 caminho EULERIZAR O GRAFOSEMI-EULERIZAR O GRAFO

28 Exemplo: Recolha do lixo de um bairro

29 O carro do lixo terá de repetir Algumas ruas já limpas Quantas? 9

30 Circuito (caminho ) de Hamilton Percorre todos os Vértices de um grafo Sem repetir nenhum

31 AB C D E circuito de Hamilton circuito de Euler TemNão tem TemNão tem Tem F G

32 Como sabemos se um grafo tem ou não um circuito (caminho) de Hamilton?

33 Tem circuitos Hamiltonianos Por exemplo: Grafo completo bipartido n*n Grafo com pontes Não tem nenhum circuito hamiltoniano etc

34 Grafos completos F E D C B A Grau de cada vértice: n-1 Nº total de arestas: Reportório completo de Circuitos Hamiltonianos (n-1)! Circuitos hamiltonianos

35 A D C B A,B,C,D,A A,B,D,C,A A,C,B,D,A A,C,D,B,A A,D,B,C,A A,D,C,B,A B,C,D,A,B B,D,C,A,B B,D,A,C,B B,AC,D,B B,C,A,D,B B,A,D,C,B Fixando um vértice como referência,encontramos Todos os circuitos de Hamilton existentes no grafo

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37 Em que consiste este tipo de problemas? São essencialmente, problemas da vida real em que se pretende encontrar um percurso de menor valor

38 Exemplo1: O problema das 5 cidades A B C D E Qual será a sequência menos expendiosa para o Sr.Francisco?

39 Exemplo 2: Exploração do nosso sistema solar" Terra Ganymede Callisto Io Mimas Titan Qual será o percurso mais curto?

40 Método1: Fazer uma lista de todos os circuitos possíveis; Calcular o custo total de cada circuito; Escolher o circuito com menor custo.

41 Tabela1: Circuito Custo total Imagem Hamiltoniano em espelho 1 A,B,C,D,E,A = 812 A,E,D,C,B,A 2 A,B,C,E,D,A = 777 A,D,E,C,B,A 3 A,B,D,C,E,A = 762 A,E,C,D,B,A 4 A,B,D,E,C,A = 773 A,C,E,D,B,A 5 A,B,E,C,D,A = 831 A,D,C,E,B.A 6 A,B,D,E,C,A = 877 A,C,E,D,B,A 7 A,C,B,D,E,A = 722 A,E,D,B,C,A 8 A,C,B,E,D,A = 791 A,D,E,B,C,A 9 A,C,E,B,D,A = 776 A,D,B,E,C,A 10 A,C,E,B,D,A = 741 A,D,B,E,C,A 11 A,D,B,C,E,A = 676 A,E,C,B,D,A 12 A,D,C,B,E,A = 780 A,E,B,C.D.A

42 Circuito Hamiltoniano obtido: A B C D E Circuito de menor custo : A, D, B, C, E, A Custo total: = 676

43 Método 2: Começar em A; Partir para a cidade cujo custo é menor; Repetir o processo até retornar a A.

44 Circuito Hamiltoniano Obtido : A B C D E Circuito : A, C, E, D, B, A Custo total do circuito : =773

45 O sr.Francisco expande o seu negócio. Usando o método 2 levará apenas alguns minutos a construir o circuito; Mas: Para usar o método 1 teremos de verificar : 9! = circuitos.

46 Como resolver esta situação? É-nos cedido um super computador capaz de construir: 10 bilões de circuitos por segundo 3.0 x 10^17 circuitos por ano

47 Tabela 2: Número Número de Tempo de vértices circuitos Hamiltonianos de pesquisa 16 1,307,674,368,000 2 minutos * * horas * /2 dias * dias * /2 anos * anos * anos * anos * ,000,000 anos O número de circuitos Hamiltonianos cresce desproporcionadamente à medida que acrescentamos um vértice.

48 Algoritmo ineficiente: O seu uso na prática é limitado, uma vez que só pode ser usado quando o número de vértices é pequeno. Exemplo: Método 1 – Algoritmo Força bruta. Algoritmo eficiente: O número de passos necessários cresce em proporção ao tamanho do problema. Exemplo: Método 2 – Algoritmo Vizinho mais próximo.

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50 Em que consiste um algoritmo aproximado? Usaremos o termo algoritmo aproximadopara descrever qualquer algoritmo que produza soluções que estão, na maior parte das vezes, razoavelmente perto da solução perfeita.

51 Algoritmo3: O vizinho mais próximo repetido Partir de um determinado vértice e aplicar o algoritmo vizinho mais próximo; Calcular o custo total obtido; Repetir o processo para os vértices restantes; Escolher o circuito de menor custo; Rescreever, se necessário, esse circuito começando no vértice de referência.

52 Circuito Hamiltoniano de menor custo A B C D E Circuito: A, E, D, B, C, A Custo total: = 722

53 Algoritmo 4: Aresta de menor valor Começa-se na aresta de menor valor, qualquer que seja. Segue-se para a aresta de menor valor seguinte e assim sucessivamente, tendo em conta as seguintes restrições: a) Não permitir que os circuitos se formem(a não ser no final); b) Não permitir que três arestas se juntem num ponto; Quando não houver mais vértices para ligar, fechar o circuito.

54 Construção do circuito Hamiltoniano A B C D E X X Circuito: A, C, E, B, D, A Custo total: = 741

55 Trabalho realizado por: Ana Sofia Claro Luisa Maria da Cruz Félix Sara da Silva Nogueira


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