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1 A GIBBS LECTURE DE GÖDEL ~ SINOPSE ~ ~ SINOPSE ~ M.S. Lourenço.

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1 1 A GIBBS LECTURE DE GÖDEL ~ SINOPSE ~ ~ SINOPSE ~ M.S. Lourenço

2 2 DIVISÃO PRINCIPAL PARTE I: A SITUAÇÃO MATEMÁTICA PARTE II: AS IMPLICAÇÕES FILOSÓFICAS PARTE III: OUTRAS VISTAS

3 3 PRIMÁRIA: GÖDEL, K., Some basic theorems on the foundations of mathematics and their implications [Gödel, 1951], in Kurt Gödel: Collected Works, Vol. III, Oxford University Press, 1995, pp BIBLIOGRAFIA

4 4 SECUNDÁRIA : BOOLOS, G., Introductory note to *1951 [Texto de apresentação de Gödel *1951], in Kurt Gödel: Collected Works, vol. III, Oxford University Press, 1995, pp FEFERMAN, S., "Are there absolutely unsolvable problems? Gödel's dichotomy", Philosophia Mathematica, III, vol.14, 2006, pp Disponível on-line: DE APOIO: LOURENÇO, M.S., Os elementos do programa de Hilbert, Centro de Filosofia da Universidade de Lisboa, Lisboa, [Ver Text A na página on-line de MSL: BIBLIOGRAFIA [Continuação]

5 5 1. Introdução 2. O que é a Matemática Stricto Sensu? 3. A Hierarquia de Gödel 4. O X Problema de Hilbert. A Indecidibilidade de Problemas de Diofanto 5. Os Teoremas I e II 6. A Matemática Objectiva e Subjectiva 7. Conclusão da Situação Matemática: O Trilema de Gödel PARTE I A SITUAÇÃO MATEMÁTICA

6 6 Embora a natureza da matemática seja um tema recorrente em filosofia desde a Antiguidade Clássica, só nas primeiras décadas do século XX é que se descobriram resultados que permitem uma análise profunda do tema. Dois resultados principais devidos a Gödel serão adiante referidos como os Teoremas I e II. PARTE I 1. INTRODUÇÃO

7 7 PARTE I 1. INTRODUÇÃO [Continuação] Subsequentemente, foi importante o progresso na caracterização ou na análise do conceito de processo finito, realizada por A. Turing. Embora o conceito seja definível de mais do que uma maneira, as definições são no entanto sempre equivalentes. Para Turing um processo finito é uma máquina com um número finito de partes componentes.

8 8 2. O QUE É A MATEMÁTICA STRICTO SENSU? O contraste em lógica entre a demonstração condicional e a demonstração a partir do conjunto vazio de hipóteses sugere uma classificação dos teoremas da matemática em teoremas verdadeiros condicionalmente, como os teoremas de um sistema hipotético-dedutivo e teoremas verdadeiros em sentido absoluto, ou a partir do conjunto vazio de hipóteses. PARTE I

9 9 Neste caso diz-se que o teorema é verdadeiro stricto sensu (em sentido estrito), e o conjunto de todos estes teoremas constitui por isso a matemática stricto sensu. Em geral a matemática stricto sensu inclui a lógica formal e a aritmética recursiva, embora não exista uma unanimidade, por exemplo, sobre quais são as regras da lógica formal que fazem parte da matemática stricto sensu. A matemática em sentido absoluto e a matemática em sentido condicional são complementares, uma vez que sem a verdade absoluta de algumas das leis da lógica, como por exemplo a transitividade da implicação, também não haveria demonstração em sentido condicional. 2. O QUE É A MATEMÁTICA STRICTO SENSU? [Continuação] PARTE I

10 10 É importante reconhecer que a definição do âmbito da matemática stricto sensu depende da posição filosófica adoptada, como se vê pelas discussões sobre i)a validade universal do tertium non datur e ii)o conceito de conjunto. Os Teoremas I e II revelaram não só a existência do fenómeno da incompletabilidade da matemática, como também que este fenómeno não depende da posição filosófica adoptada. 2. O QUE É A MATEMÁTICA STRICTO SENSU? [Continuação] PARTE I

11 11 Como o fenómeno da incompletabilidade não depende da posição filosófica adoptada, ele pode ser imediatamente reconhecido em qualquer posição, e assim também na mais simples e mais natural das posições, a teoria axiomática dos conjuntos. Deste ponto de vista toda a matemática se pode reduzir à teoria abstracta dos conjuntos, e assim o nosso objectivo é identificar a incompletabilidade na axiomatização da teoria abstracta dos conjuntos. 3. A HIERARQUIA DE GÖDEL PARTE I

12 12 3. A HIERARQUIA DE GÖDEL [Continuação] PARTE I E é ao fazê-lo que deparamos com o seguinte contraste: enquanto que a axiomatização de algumas teorias matemáticas se pode realizar com um número finito de axiomas, como em geometria, para a axiomatização da teoria abstracta dos conjuntos é necessário uma sucessão infinita de axiomas, cujas extensões por sua vez são sempre reiteráveis e cuja reunião numa única regra finita também não é possível.

13 13 Para realizar este projecto de axiomatização e manter a teoria imune aos paradoxos é conveniente proceder à sua axiomatização gradual, ao longo da Hierarquia Cumulativa de Gödel. A Hierarquia é composta por estádios e em cada estádio está o resultado obtido pela execução da operação conjunto de (a qual para Gödel significa formar o conjunto potência de um conjunto dado). 3. A HIERARQUIA DE GÖDEL [Continuação] PARTE I

14 14 A caracterização da Hierarquia: 1. existe um estádio inicial. 2. se E é um estádio, então existe o estádio sucessor de E. 3. cada estádio é obtido a partir do seu predecessor e consiste no conjunto potência dos elementos deste. 4. se um segmento inicial da Hierarquia não tem máximo, o seu sucessor é a união de todos os estádios anteriores. 3. A HIERARQUIA DE GÖDEL [Continuação] PARTE I

15 15 Com cada estádio associamos um número natural, o seu número de ordem, e os axiomas sobre as entidades do estádio. Começa-se assim no estádio-0, no caso mais simples, por exemplo, com um conjunto de inteiros M e os axiomas sobre M; No estádio-1 tem-se o conjunto M e o resultado da aplicação do conjunto potência, P (M) e os axiomas que se referem às novas entidades; 3. A HIERARQUIA DE GÖDEL [Continuação] PARTE I

16 16 3. A HIERARQUIA DE GÖDEL [Continuação] PARTE I No estádio-2 estão os elementos do estádio-1 e o resultado da aplicação da operação conjunto de potência, juntamente com os axiomas sobre as novas entidades; No estádio-n, que se denota por E n, estão todas as entidades formadas até ao estádio-n, com os seus axiomas; A seguir tem-se o estádio de todas as entidades de ordem finita, isto é, de ordem, que se denota por E, e pode-se assim formar de novo o estádio de todos os seus subconjuntos e os axiomas acerca das novas entidades, isto é, E = U {E n }.

17 17 Este processo pode agora ser reiterado para lá de e o mais natural é fazer a definição por recursão transfinita, em que agora cada ordinal é o número de um estádio: Começando, por exemplo, com o conjunto vazio a definição toma a forma: E 0 = Ø E n+1 = P (E n ) Se é um ordinal limite, então. 3. A HIERARQUIA DE GÖDEL [Continuação] PARTE I

18 18 Grosso modo, para o desenvolvimento da matemática actual, os primeiros três estádios da hierarquia são os relevantes. Então nas circunstâncias presentes o projecto de axiomatização pode ser cumprido com um número finito de axiomas! Mas estas favoráveis circunstâncias presentes não promovem uma formulação de princípios, são simplesmente uma contingência da história. 3. A HIERARQUIA DE GÖDEL [Continuação] PARTE I

19 19 Não obstante o facto da relevância dos axiomas dos 3 primeiros estádios para o desenvolvimento da matemática actual, um resultado importante mostra que a relevância dos axiomas das ordens mais elevadas se aplica também ao estádio-0, isto é, à teoria dos inteiros. Cada um destes axiomas contém a solução de problemas de Diofanto indecidíveis na base dos axiomas anteriores. 4. O X PROBLEMA DE HILBERT. A INDECIDIBILIDADE DE PROBLEMAS DE DIOFANTO PARTE I

20 20 Nas suas aulas de 1934 em Princeton Gödel tinha explicado o equivalente diofântico de uma proposição indecidível. Suponhamos que P (x 1,..., x n ) é um polinómio com coeficientes em. Utilizando quantificadores podemos fazer asserções acerca das soluções em da equação de Diofanto P (x 1,..., x n ) = 0. Assim afirma a existência de uma solução e diz que para quaisquer valores atribuídos a x 3 a equação tem uma solução. 4. O X PROBLEMA DE HILBERT. A INDECIDIBILIDADE DE PROBLEMAS DE DIOFANTO [Continuação] PARTE I

21 21 4. O X PROBLEMA DE HILBERT. A INDECIDIBILIDADE DE PROBLEMAS DE DIOFANTO [Continuação] PARTE I Gödel mostrou que existe uma sucessão de quantificadores (Q) e uma equação de Diofanto P = 0 tal que a proposição indecidível é equivalente a (Q) (P = 0). Formulação de Gödel do problema de Diofanto (*): (*) Para quaisquer valores em dos parâmetros, a equação P = 0 tem soluções em, ou existem valores em dos parâmetros tais que P = 0 não tem soluções em ? Gödel exprimiu a esperança de que o uso, no futuro, de axiomas da teoria dos conjuntos produzirá a solução de problemas em teoria dos números.

22 22 Enunciamos agora os teoremas que garantem que o fenómeno da incompletabilidade não é específico do ponto de vista até agora usado, a teoria axiomática dos conjuntos. Enunciado do Teorema I: Em qualquer sistema consistente bem formado de axiomas e regras de inferência existem problemas de Diofanto do tipo (*) que não podem ser decididos pelos axiomas e pelas regras. 5. OS TEOREMAS I E II PARTE I

23 23 O termo bem formado refere-se a um sistema formal especificado, com axiomas que podem ser efectivamente escritos e regras de inferência que estabelecem se uma conclusão se segue ou não das premissas. Esta exigência significa que se tem que dispor de um processo finito, como uma máquina de Turing, que seja capaz de escrever todas as consequências que se seguem dos axiomas. Nestes termos o Teorema I assegura que não existe um processo finito para decidir todos os problemas de Diofanto do tipo (*). 5. OS TEOREMAS I E II [Continuação] PARTE I

24 24 Se se tem um sistema bem formado de axiomas e regras, a questão da consistência do sistema pode ser transformada numa questão da teoria dos números. Isto resulta do facto de os símbolos e as proposições do sistema serem enumeráveis pelo processo dos números de Gödel e, desse modo, tudo poder ser representado nos inteiros. 5. OS TEOREMAS I E II [Continuação] PARTE I

25 25 Assim a questão da consistência pode ser transformada num problema do tipo (*). Teorema II: Hipóteses: 1. a consistência do sistema; 2. o sistema permite que se façam derivações, finitisticamente aceitáveis, da aritmética de Peano. 5. OS TEOREMAS I E II [Continuação] PARTE I

26 26 Enunciado do Teorema II: Em qualquer sistema bem formado de axiomas e regras, a proposição que exprime a sua consistência não é demonstrável (a partir dos axiomas e regras do sistema). Para ver que este axioma torna particularmente conspícuo o fenómeno da incompletabilidade, é instrutivo considerar o seguinte Gedankenexperiment. 5. OS TEOREMAS I E II [Continuação] PARTE I

27 27 Eu proponho um sistema de axiomas e regras e faço acerca dele as duas afirmações seguintes: i)É-me evidente que estes axiomas e regras são correctos; ii) Fora deles não há matemática. O objectivo do Gedankenexperiment é provar que i) e ii) constituem uma contradição. 6. A MATEMÁTICA OBJECTIVA E SUBJECTIVA PARTE I

28 28 O argumento é o seguinte: Se eu consigo ver até ao grau de evidência que os axiomas e as regras são correctos, então também consigo ver com o mesmo grau de evidência que não produzem uma inconsistência. Ora esta evidência acerca da consistência do sistema é, como se sabe pela aritmetização da metamatemática, equivalente a uma proposição da teoria dos números e é, portanto, uma evidência matemática. 6. A MATEMÁTICA OBJECTIVA E SUBJECTIVA [Continuação] PARTE I

29 29 Mas pelo Teorema II tem-se que a consistência do sistema não pode ser derivada a partir dos axiomas do sistema. Logo a evidência da consistência do sistema é uma evidência matemática que não é derivável dos axiomas do sistema. Assim há conhecimento matemático fora do sistema, em contradição com a afirmação ii) de que fora dos axiomas do sistema não há matemática. 6. A MATEMÁTICA OBJECTIVA E SUBJECTIVA [Continuação] PARTE I

30 30 Prima facie a interpretação que se impõe deste Gedankenexperiment é que nenhum sistema de axiomas e regras que seja correcto contém toda a matemática, em particular a matemática stricto sensu. Mas para que esta interpretação seja aceitável é necessário definir a matemática stricto sensu como o conjunto de todas as proposições matemáticas verdadeiras. A interpretação é inaceitável se se adopta como definição da matemática stricto sensu o conjunto de todas as proposições demonstráveis. 6. A MATEMÁTICA OBJECTIVA E SUBJECTIVA [Continuação] PARTE I

31 31 Se se adopta a primeira definição, fala-se de matemática em sentido objectivo; se se adopta a segunda definição, fala-se de matemática em sentido subjectivo. O Teorema II mostra que nenhum sistema pode conter toda a matemática em sentido objectivo, uma vez que a verdade da proposição que exprime a consistência do sistema não pode ser demonstrada no sistema. 6. A MATEMÁTICA OBJECTIVA E SUBJECTIVA [Continuação] PARTE I

32 32 Suponhamos agora que existe uma regra finita que produz todos os axiomas evidentes da matemática em sentido subjectivo. Neste caso eu nunca poderia ter a percepção de que toda e qualquer proposição que o sistema produz é correcta, embora pudesse ver a sua verdade, uma a uma, para qualquer número (finito) delas. Nesse caso a minha mente seria equivalente a uma máquina finita, que seria capaz de compreender a estrutura mecânica do seu funcionamento. 6. A MATEMÁTICA OBJECTIVA E SUBJECTIVA [Continuação] PARTE I

33 33 Em todo o caso, a evidência de que esta estrutura necessariamente produz resultados consistentes situar-se-ia fora dos limites da minha mente. Nesse caso, a equivalência entre a minha mente e uma máquina finita teria a consequência, já conhecida, da incompletabilidade de qualquer sistema axiomático e a consequência, menos conhecida, da existência de problemas de Diofanto (*) insolúveis em sentido absoluto. 7. CONCLUSÃO DA SITUAÇÃO MATEMÁTICA: O TRILEMA DE GÖDEL PARTE I

34 34 Um problema é indecidível em sentido absoluto não só quando não existe uma demonstração num sistema dado, que o pudesse eventualmente decidir, como sobretudo quando não existe qualquer demonstração, concebível pela mente humana, que o pudesse eventualmente decidir. Em conclusão, a situação matemática conduz às três alternativas seguintes: 7. CONCLUSÃO DA SITUAÇÃO MATEMÁTICA: O TRILEMA DE GÖDEL [Continuação] PARTE I

35 35 Alternativa 1: A mente humana ultrapassa infinitamente os poderes de qualquer máquina finita. Alternativa 2: Existem problemas de Diofanto do tipo (*) insolúveis em sentido absoluto. Alternativa 3: As Alternativas 1 e 2 são ambas verdadeiras. 7. CONCLUSÃO DA SITUAÇÃO MATEMÁTICA: O TRILEMA DE GÖDEL [Continuação] PARTE I

36 36 É especialmente importante compreender que a verdade desta proposição triádica é inteiramente independente do ponto de vista tomado quanto aos fundamentos da matemática. Em contraste, a questão de saber qual das alternativas se deve adoptar, pode depender do ponto de vista tomado. Por exemplo, do ponto de vista intuicionista a primeira alternativa é afirmada e a segunda é negada. 7. CONCLUSÃO DA SITUAÇÃO MATEMÁTICA: O TRILEMA DE GÖDEL [Continuação] PARTE I


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