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1 Análise Fatorial Factor analysis. 2 Análise Fatorial Objetivo: Estudar a estrutura de dependência existente em um conjunto de variáveis através da criação.

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1 1 Análise Fatorial Factor analysis

2 2 Análise Fatorial Objetivo: Estudar a estrutura de dependência existente em um conjunto de variáveis através da criação de fatores que, eventualmente, expressam constructos subjacentes aos dados. Spearman (1904) - medida de inteligência

3 3 Análise Fatorial Situação comum: observar grande número de variáveis Como caracterizar a amostra Como descrever a inter-relação entre as variáveis

4 4 Constructos Definir o que e como medir nível de ansiedade satisfação bem-estar percepção

5 5 Exemplo: Escala IDATE-T

6 6 Matriz de Correlação

7 7 Modelo de Análise Fatorial Variáveis originais X 1 X 2  X p Fatores comuns  1  2   m AF m < p

8 8 Modelo de Análise Fatorial  1, …,  m : fatores comuns  1, …,  p : fatores únicos ou específicos

9 9 Modelo de Análise Fatorial Modelo na forma matricial: X -  =  +  X = (X 1, X 2, …, X p ) T,  = (  1,  2, …,  m ) T,  = (  1,  2, …,  p ) T

10 10 Modelo esquematizado X1X1 X2X2 XpXp 11 22 pp 11 22 mm

11 11 Características impostas ao modelo Os fatores únicos são não correlacionados. Os fatores comuns e únicos são não correlacionados entre si. Os fatores comuns são não correlacionados (esta suposição pode ser abandonada em alguns tipos de AF). As variâncias dos fatores comuns são iguais a 1.

12 12 Análise do modelo C i 2 = comunalidade ou variância comum  i = especificidade

13 13 Análise do modelo C i 2 = comunalidade ou variância comum: expressa o quanto da variabiliade de X i é explicada pelo modelo (se Var (X i )=1 pode ser encarada como uma proporção)  i = especificidade: expressa o quanto da variabilidade de X i não é explicada pelo modelo. Um bom modelo deve apresentar uma comunalidade alta para todas as variáveis

14 14 Alguns métodos de estimação Máxima verossimilhança: supõe que os dados seguem uma distribuição normal multivariada. Método da componente principal: baseia-se na análise de componentes principais.

15 15 Método da componente principal Modelo: X =  +  Decomposição espectral de  : ~ ~~~ ~ ~~ ~~

16 16 Método da componente principal

17 17 Método da máxima verossimilhança Suposição: distribuição normal Estimação dos parâmetros  =  T +  Restrição:  T  -1  : diagonal

18 18 Resultado importante  =  T +    =  T     T +  = (  T)(  T) T +  =  T T T  T +  =  T +  = 

19 19 Rotação VARIMAX Há infinitas matrizes que resultam na mesma matriz  T. Essas matrizes podem ser obtidas através da rotação de uma solução inicial (por exemplo, oriunda do método das componentes principais). Problema: Como escolher uma boa solução?

20 20 Rotação - Interpretação geométrica 11 22 1*1* 2*2* Exemplo: Solução com dois fatores  1 e  2 definem um plano  1 * e  2 *, obtidos através de uma rotação ortogonal dos eixos, definem o mesmo plano. Logo representam uma solução equivalente.

21 21 Quantos fatores usar? Critério de Kaiser Porcentagem da variância total explicada Atingir comunalidade fixada Critério scree-test Métodos inferenciais

22 22 Componentes Autovalores

23 23 Exemplo

24 24 Autovalores

25 25 Comunalidades 2 fatores

26 26 Cargas Fatoriais

27 27 Gráfico das Cargas Fatoriais 11 22

28 28 Rotação 11 22

29 29 Cargas Fatoriais Rotacionadas

30 30 Cargas Fatoriais Rotacionadas

31 31 Interpretação Fator 1: Satisfação pessoal Fator 2: Dificuldade em lidar com problemas

32 32 Escores Fatoriais Métodos dos mínimos quadrados ponderados x i -  =  i +  i Minimizar: (x i -  -  i ) T  -1 (x i -  -  i ) EMQ(f i ) = (  T  -1  ) -1  T  -1 (x i -  )

33 33 Escores Fatoriais Métodos da regressão  e  : distribuição normal ER(  i ) =  T (  T +  ) -1 (x i -  )

34 34 Viabilidade da AF Viabilidade da AF matriz anti-imagem Coeficiente de correlação parcial entre os pares, excluindo- se o efeito das demais variáveis. Esperam-se valores baixos.

35 35 Viabilidade da AF Coeficiente KMO: Kaiser-Meyer-Olkin a 2 ij é a correlação parcial entre X i e X j, eliminado o efeito das demais variáveis

36 36 Interpretação da KMO Interpretação da KMO Escala IDATE: 0,841

37 37 Viabilidade da AF MSA: Measure of sampling adequacy a 2 ij é a correlação parcial entre X i e X j, eliminado o efeito das demais variáveis

38 38 Interpretação da MSA Para o exemplo IDATE

39 39 Avaliação do ajuste do modelo resumo: raiz do quadrado médio residual

40 40 Exemplo IDATE Exemplo IDATE RQMR = 0.106

41 41 X1X1 X 10 X 13 X 16 X9X9 X 11 X 17 X 18 11 22 11  10  13  16 99  11  17  18 X1X1 X 10 X 13 X 16 X9X9 X 11 X 17 X 18 11 22 11  10  13  16 99  11  17  18

42 42 Comentários Sucesso Número pequeno de fatores fatores interpretáveis Insucesso Tamanho insuficiente da amostra variáveis com fraca dependência estrutura não homogênea (grupos)


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