Agentes Baseados em Utilidade

Apresentação em tema: "Agentes Baseados em Utilidade"— Transcrição da apresentação:

1 Agentes Baseados em Utilidade
Métodos da Computação Inteligente Universidade Federal de Pernambuco Aluno: Rodrigo Barros de Vasconcelos Lima

2 Parte I: Decisões Simples
“Como um agente deve tomar decisões de modo que, em média, ele consiga o que quer”

3 Função de Utilidade Funções de Utilidade associam um valor a um estado; Indica o “desejo” por estar nesse estado; Resulti(A): todos os possíveis estados de saída de uma ação em um ambiente não-determinista A; Para cada saída possível é associado uma probabilidade: P (Resulti(A) | Do(A), E) Onde, E resume a evidência que o agente possuí do mundo Do(A) indica que a ação A foi executada no estado atual Utilidade esperada de uma ação A dado a evidência do mundo E: EU(A|E) = i P(Resulti(A)|Do(A),E) U (Resulti(A)) Problemas: P, Result nem sempre disponíveis Cálculo de EU pode ser de custo computacional proibitivo

4 Preferências Racionais
Preferências racionais permitem descrever o melhor comportamento como aquele que maximiza EU; Notação: A  B: A é preferível a B A ~ B: agente indiferente entre A e B A  B: agente prefere A à B ou é indiferente Em ambientes não deterministas: A e B são loterias, i.e., distribuições probabilísticas sobre um conjunto de estados de saída (os “prêmios” de uma loteria) L = {p1.S1; p2. S2; ...; pn.Sn} Preferências de um agente com relação aos estados do mundo; Ambiente determinista: função valor V: Estados(ambiente)  N Ambiente não determinista: função de utilidade U: Estados(ambiente)  R

5 Restrições Sobre Preferências Racionais
Axiomas da Teoria da Utilidade: Orderabilidade: (A > B)  ( B > A)  (A ~ B) Transitividade: (A > B)  (B > C)  (A > C) Continuidade: A > B > C  p [p.A; 1 - p.C] ~ B Substitutability: A ~ B  [p.A; 1 – p.C] ~ [p.B; 1 – p.C] Monoticidade: A > B  ( p  q  [p.A; 1 – p.B]  [q.A; 1 – q.B] ) Decomposabilidade: [p.A; 1 – p. [q.B; 1 – q.C] ] ~ [p.A; (1 – p)q.B; (1 – p)(1 – q). C] Preferências que satisfazem os axiomas, garante existência de uma função real U tal que: U(A) > U(B)  A > B U(A) = U(B)  A ~ B U (p1.S1; ... ; pn.Sn) = i pi U(Si)

6 Restrições Sobre Preferências Racionais
Violação das restrições levam a comportamentos irracionais; Exemplo: agente com preferências não transitivas pode ser induzido a dar todo o seu dinheiro: Se B > C, então um agente que possuí C pagaria 1 centavo para obter B Se A > B, então um agente que possuí B pagaria 1 centavo para obter A Se C > A, então um agente que possuí A pagaria 1 centavo para obter C

7 Processo para Estimar Utilidades
Criar uma escala com o “melhor premio possível” (U(S) = uT) e a “pior catástrofe possível” (U(S) = u); Utilidades normalizadas: uT = 1 e u= 0 Para estimar utilidade de saídas intermediárias: Uma saída intermediária S é confrontada com uma loteria padrão [p. uT;(1-p). u]; Probabilidade p ajustada até o agente ser indiferente entre S e a loteria padrão; Assumindo utilidades normalizadas  utilidade S é dada por p;

8 Exemplo: A Utilidade do Dinheiro
Um jogador ganhou um prêmio de R$ em um programa de TV; Apresentador oferece uma aposta: Se ele jogar a moeda e aparecer cara  jogador perde tudo; Se aparecer coroa  jogador ganha R$ ; O Valor Monetário Esperado da Aposta é: 0.5 (R$ 0) (R$ ) = $ ; O Valor Monetário esperado da Aposta é de R$ (menor); Isso indica que seria melhor aceitar a aposta ?

9 Exemplo: A Utilidade do Dinheiro
Utilidade Esperada para cada uma das duas ações: EU (Aceitar) = 0.5 U(Sk) U(Sk ) EU (Rejeitar) = U(Sk ) Onde, Sk = riqueza atual do jogador; Deve-se atribuir valores de utilidade para cada saída: Sk = 5; Sk = 10;  Ação racional: rejeitar ! Sk = 8 Conclusão: Utilidade não é diretamente proporcional ao valor monetário; Utilidade (mudança no estilo de vida) para o primeiro R$ é muito alta;

10 Funções de Utilidade Multi-Atributo
Como tratar funções de utilidades com várias variáveis X1, ..., Xn ? Ex.: Construir aeroporto - U(Mortes, Barulho, Custo) Existem basicamente dois casos: Decisões podem ser tomadas sem combinar os valores dos atributos em um único valor da utilidade (Dominância); A utilidade resultante da combinação dos valores dos atributos pode ser especificada concisamente (Estrutura de Preferência e Utilidade Multi-atributo);

11 Dominância Total Se um estado S1 possui valores melhores em todos seus atributos do que S2, então existe uma dominância total de S1 sobre S2;  i Xi(B)  Xi(A) (e portanto U(B)  U(A)) Ex.: Local S1 para Aeroporto custa menos, gera menos poluição sonora e é mais seguro que S2; Dominância total raramente acontece na prática;

12 Dominância Estocástica
Exemplo, custo de construir aeroporto : Em S1 valor uniformemente distribuído entre $2,8 e $4,8 bilhões; Em S2 valor uniformemente distribuído entre $3 e $5,2 bilhões; Dada a informação que utilidade decresce com custo: S1 domina estocasticamente S2 $ - 2,8 -5.2 P S1 S2

13 Dominância Estocástica
Se duas ações A1 e A2 possuem uma distribuição de probabilidade p1(x) e p2(x) para X, então A1 possui dominância estocástica em X sobre A2 se: x  p1(x’) dx’   p2(x’) dx’ Na prática, dominância estocástica pode geralmente ser definida usando apenas um raciocínio qualitativo; Ex.: custo de construção aumenta com a distância para a cidade: S1 é mais próximo da cidade do que S2  S1 domina S2 estocasticamente sobre o custo $ - 4,8 -5.2 P S1 S2 1

14 Estrutura de Preferência e Utilidade Multi-Atributo
Supondo que existem n atributos com d possíveis valores: No pior caso, serão necessários dn valores; A Teoria da Utilidade Multi-atributo assume que preferências de agentes possuem certa regularidade (estrutura); Tenta mostrar que a Utilidade de um agente possui uma função de utilidade do tipo: U(x1 ... Xn) = f[ f1(x1) F2(x2) ] Onde f seja uma função o mais simples possível

15 Estrutura de Preferência: Determinista
X1 e X2 são preferencialmente independente de X3 sss: Preferência entre {x1, x2, x3} e {x1’, x2’, x3} não depende em x3 Ex.: {barulho, custo, segurança} { sofrem; $4,6 bilhões; 0,06 mortes/mhm} vs. { sofrem; $4,2 bilhões; 0,06 mortes/mhm} Independência preferencial mútua (MPI): todos os pares de atributos são preferencialmente independente com relação aos demais; Com MPI, o comportamento preferencial do agente pode ser descrito como uma maximização da função: V (x1 ... xn) = i Vi(xi)

16 Estrutura de Preferência: Estocástica
Deve-se levar em consideração preferências sobre loterias; X é independente de utilidade com relação a Y sss: Preferências sobre loterias em X não dependem dos valores dos atributos de Y Independência de utilidade mútua (MUI): conjunto de atributos é independente de utilidade dos atributos restantes; Existe MUI então, comportamento do agente pode ser descrito usando a função: U = k1U1 + k2U2 + k3U3 + k1 k2U1U2 + k2 k3U2U3 + k3 k1U3U1 + k k2k3U1U2U3

17 Redes de Decisões Algoritmo de avaliação:
Extende Redes Bayesianas com ações e utilidades; Nós de Chance (ovais): representam variáveis como nas redes Bayesianas; Nós de Decisão (retângulo): pontos onde agente deve escolher uma ação; Nós de Utilidade (diamantes): representam as funções de utilidade do agente; Algoritmo de avaliação: Atribuir os valores das variáveis para o estado corrente; Calcular o valor esperado do nó de utilidade dado a ação e os valores das variáveis; Retornar a ação com maior Utilidade Máxima Esperada

18 Teoria do Valor da Informação
A Teoria do Valor da Informação permite que o agente escolha quais informações adquirir; Exemplo: comprar os direitos de exploração de reservas de petróleo: Dois blocos A e B, apenas um possui óleo com valor C; Probabilidade de comprar o bloco certo = 0,5 O preço de cada bloco é C/2; Consultor oferece uma pesquisa para detectar qual bloco possui petróleo. Qual o valor dessa informação? Solução: Calcular o valor esperado da informação = valor esperado da melhor ação dada a informação – valor esperado da melhor ação sem a informação; Pesquisador irá informar: “há óleo em A” ou “não há óleo em A” (p = 0,5) Então: 0,5 x valor de “comprar A” dado que “há óleo em A” + 0,5 x valor de “comprar B” dado que “não há óleo em A” – 0 = = (0,5 x k/2) + (0,5 x k/2) – 0 = k/2

19 Valor da Informação: Fórmula Geral
Valor da melhor ação sem nova evidência: EU(|E) = max A i U(Resulti(A)) P(Resulti(A) | Do(Resulti(A), E) Onde, E = Evidência atual,  = melhor ação Valor da melhor ação após obtenção da nova evidência NE: EU(NEj|E, NE) = max A i U(Resulti(A)) P(Resulti(A) | Do(Resulti(A), E, NE) NE é uma variável aleatória, cujo valor é atualmente desconhecido; Deve-se calcular o ganho esperado sobre todos os possíveis valores en que NE pode assumir: VPIE (NE) = ( k P(NE = en | E) EU( en | E, NE = em) ) – EU( | E)

20 Valor da Informação: Exemplo
A1 e A2 são as únicas ações possíveis, com utilidades esperadas U1 e U2; Nova evidência NE produzirá novas utilidades esperadas U1’ e U2’; A1 e A2 duas rotas distintas através de uma montanha; A1 = caminho mais baixo, sem muito vento; A2 = caminho mais alto, com muito vento; U (A1) > U (A2) !!! Mas, e se adquiríssemos uma nova evidência NE?

21 Valor da Informação: Exemplo
E se mudássemos o cenário? II) A1 e A2 são duas estradas onde venta muito e de mesmo tamanho; III) Mesmas estradas A1 e A2 mas agora no verão; Conclusão: uma informação só terá valor caso ela gere uma mudança de plano, e se esse novo plano for significante melhor do que o antigo !

22 Parte 2: Decisões Complexas
“Métodos para decidir o que fazer hoje, dado que nós poderemos ter que decidir de novo amanhã”

23 Problemas de Decisões Seqüenciais
Exemplo: Interação termina quando agente alcança um dos estados finais (+1 ou -1); Ações disponíveis: Up, Down, Left e Right; Ambiente totalmente observável; Ações não confiáveis (locomoção estocástica); 1 2 4 3 INÍCIO -1 +1 0.8 0.1

24 Processo de Decisão Markoviana (MDP)
Definido pelos seguintes componentes: Estado Inicial: S0 Modelo de Transição: T(s,a,s’) Função de Recompensa: R(s) Modelo de Transição T(s, a, s’): probabilidade de chegar a s’ como resultado da execução da ação a em s; Hipótese de transições Markovianas: próximo estado depende apenas da ação atual e estado atual, não passados; Em cada estado s agente recebe uma Recompensa R(s): R(s) = para todos estados não terminais; Dois estados finais R(s) = +1 ou R(s) = -1; Utilidade é a soma das recompensas recebidas;

25 Como são as soluções para esse problema?
Seqüência fixa de ações não resolvem o problema; Uma solução deve especificar o que o agente deve fazer em qualquer um dos estados que ele possa chegar: Diretriz (Policy):  (s) = ação recomendada para estado s Diretriz Ótima: Diretriz que produz a mais alta utilidade esperada; Notação: * 1 2 4 3   -1 +1 

26 Funções de Utilidade para Problemas Seqüenciais
Como definir funções de utilidades para problemas seqüenciais? Uh ([s0, s1, ... , sn]) Primeiro deve-se responder as seguintes perguntas: O Horizonte Temporal para a tomada de decisão é Finito (humanos) ou Infinito (trans-humanos ) Como calcular a utilidade de uma seqüência de estados?

27 Horizontes Finitos e Infinitos
Existe um tempo limite N após o qual nada mais importa (game-over!); Uh ([s0, s1, ... , sn+k]) = Uh ([s0, s1, ... , sN]), para todo k > 0; Exemplo.: Supondo que o agente inicia em (3,1) N = 3  para atingir +1 agente deve executar ação Up N = 100  tempo suficiente para executar ação Left (rota mais segura) Diretriz ótima para um ambiente finito é não estacionária; Para horizontes infinitos: Ação ótima depende apenas do estado atual; Diretriz ótima é estacionária;

28 Cálculo de Utilidade para Seqüência de Estados
Com o que Uh ([s0, s1, ... , sn]) se parece ? Função de utilidade com vários atributos ! Deve-se supor que preferências entre seqüências de estados são estacionárias; [s0, s1, s2, ... ] e [s0’, s1’, s2’, ... ], se s0 = s0’ então, [s1, s2, ... ] e [s1’, s2’, ... ] devem estar ordenados segundo a mesma preferência Baseado no principio estacionariedade, existem apenas duas maneiras de atribuir utilidades a seqüência de utilidades: Recompensas aditivas; Recompensas descontadas;

29 Recompensas (juntar em uma)
Recompensas Aditivas: Uh ([s0, s1, ... , sn]) = R(s0) + R(s1) + R(s2) + ... Recompensas Descontadas: Uh ([s0, s1, ... , sn]) = R(s0) +  R(s1) + 2 R(s2) + ... Onde  é chamado fator de desconto com valor entre 0 e 1; Fator de desconto: Descreve a preferência de um agente com relação a recompensas atuais sobre recompensas futuras;  próximo a 0  recompensas no futuro distante são irrelevantes;  = 1  recompensa aditiva;

30 Algoritmo Value Iteration
Idéia: calcular a utilidade de cada estado e as usar para escolher uma ação ótima em cada estado; Utilidade de cada estado definida em termos da utilidade das seqüências de ações que podem se seguir a partir dele; Seqüência de estados dependem da Diretriz usada, portanto temos: U(s) = E [ t=0  R(st) | , s0 = s ] Utilidade de um estado é dado pela equação de Bellman: U(s) = R(s) +  maxa s’ T(s,a,s’) U(s’) Exemplo: U(1,1) =  max { 0.8 U(1,2) U(2,1) U(1,1), (Up) 0.9 U(1,1) + 0,1 U(2,1), (Left) 0.9 U(1,1) U(2,1), (Down) 0.8 U92,1) U(1,2) U(1,1) } (Right) 1 2 4 3 0.812 0.762 0.705 0.918 0.660 -1 +1 0.655 0.611 0.388

31 Algoritmo Value Iteration
Equações de Bellman são a base do algoritmo Value Iteration para resolver MDPs; N estados = N equações; Algoritmo: Inicializar utilidades com valores arbitrários (tipicamente 0); Calcular o lado direito da equação para cada estado; Atualizar valor da utilidade de cada estado; Continuar até atingir um equilíbrio; Prova-se que essa iteração eventualmente converge para um único conjunto de soluções (algoritmo atinge equilíbrio !) Pg. 620 AIMA

32 Algoritmo Policy Iteration
Idéia: se uma ação é claramente melhor que outras, então a magnitude exata de da utilidade de cada estado não necessita ser precisa; Alterna entre dois passos, iniciando a partir de uma diretriz inicial 0: Avaliação da Diretriz: dada diretriz i , calcular Ui = U  i ; Melhora da Diretriz: calcular nova diretriz i+1; explicar como Algoritmo encerra quando passo Melhora de Diretriz não produz nenhuma mudança nas utilidades; Mais simples que resolver equações de Bellman: Ação em cada estado é fixada pela diretriz; Ui(s) = R(s) +  s’ T(s, i(s), s’) Ui(s’); Exemplo: Ui (1,1) = 0.8 Ui(1,2) Ui(1,1) Ui(2,1) 1 2 4 3   -1 +1 

33 MDPs Parcialmente Observáveis (POMDPs)
MDPs assumem que o ambiente é totalmente observável; Diretriz ótima depende apenas estado atual; Em ambientes parcialmente observáveis agente não sabe necessariamente onde ele está; Quais os problemas que surgem? Agente não pode executar ação (s) recomendada para o estado; Utilidade do estado s e a ação ótima depende não só de s, mas de quanto o agente conhece sobre s; Exemplo: agente não tem menor idéia de onde está S0 pode ser qualquer estado menos os finais; Solução: Mover Left 5 vezes; Up 5 vezes e Right 5 vezes; 1 2 4 3 -1 +1 start

34 MDPs Parcialmente Observáveis (POMDPs)
Possui os mesmo elementos de um MDP acrescentando apenas: Modelo de Observação: O(s, o); Especifica a probabilidade de perceber a observação o no estado s; Conjunto de estados reais que o agente pode estar = Belief State; Em POMDPs um Belief State b, é uma distribuição probabilística sobre todos os estados possíveis: Ex.: estado inicial na figura = {1/9, 1/9, 1/9, 1/9, 1/9, 1/9, 1/9, 1/9, 1/9, 0, 0} b(s) denota a probabilidade associada ao estado s pelo Belief State b;

35 MDPs Parcialmente Observáveis (POMDPs)
b = Belief State atual; Agente executa a ação a e percebe a observação o, então: Novo Belief State b’ = FORWARD (b, a, o); Ponto fundamental em POMDs: A ação ótima depende apenas do Belief State corrente do agente; * (b): mapeamento de crenças em ações; Ciclo de decisão de um agente POMDP: 1. Dado o Belief State corrente b, execute ação a = * (b); 2. Receba observação o; 3. Set o Belief State corrente para FORWARD (b, a, o).

36 Observações Importantes para POMDPs
POMDPs incluem o Valor da Informação como parte do processo de decisão: Ação modifica tanto o estado físico quanto o Belief State; Resolver um POMDP sobre um estado físico pode ser reduzido a resolução de um MDP sobre um Belief State: Belief States são sempre observáveis; No entanto, MPDs obtidos normalmente são contínuos e possuem alta dimensão: Algoritmos Value Iteration e Policy Iteration devem ser modificados para poderem aplicados a MPDs contínuos;

37 Decision Theoretic-Agents
Pode tomar decisões racionais baseado no que acredita e dejeja; Capaz de tomar decisões em ambientes onde incertezas e objetivos conflitantes deixariam um agente lógico sem poder decidir; Possui uma escala contínua de medida de qualidade sobre os estados; Pode ser constuido para um ambiente POMDP usando Redes de Decisões Dinâmicas para: Representar os modelos de Transição e Observação; Atualizar o Belief State; Projetar possíveis sequencias de ações; Decisões são tomadas projetando para frente possíveis sequencias de ações e esclhendo a melhor;

38 Rede de Decisão Dinâmica (DDN)
Rede Bayesiana dinâmica com nós de Decisão e Utilidade (Redes de Decisões); Onde: Xt = estado no tempo t; Rt = recompensa no tempo t Et = evidência no tempo t; Ut = utilidade no tempo t; At = ação no tempo t; T (s, a, s’) = P(Xt+1 | Xt , At) O (s, o) = P (Et | Xt) At-2 At-1 At At+1 At+2 Xt-1 Xt Xt+1 Xt+2 Xt+3 Rt-1 Rt Rt+1 Rt+2 Rt+3 Ut+3 Et-1 Et+3 Et+2 Et+1 Et

39 Decisões com Múltiplos Agentes: Teoria dos Jogos
O que acontece quando a incerteza é proveniente de outros agentes e de suas decisões? A Teoria dos Jogos trata essa questão ! Jogos na Teoria dos Jogos são compostos de: Jogadores; Ações; Matriz de Resultado; Cada jogador adota uma Estratégia (diretriz); Estratégia Pura: diretriz deterministica, uma ação para cada situação; Estratégia Mista: ações selecionadas sobre uma distribuição probabilística; Perfil de Estratégia: associação de uma estratégia a um jogador; Solução é um perfil de estratégia racional;

40 Teoria dos Jogos: Exemplo 1
Dois ladrões (Alice e Bob) são presos perto da cena do crime e interrogados separadamente; Matriz de resultados: Dilema do Prisioneiro: Eles devem testemunhar ou se recusar? Ou seja, qual estratégia adotar? Estratégia Dominante: Estratégia que domina todas as outras; É irracional não usar uma estratégia dominante, caso uma exista; Equilíbrio de Estratégia Dominante: Situação onde cada jogador possui uma estratégia dominante; Alice: testemunhar Alice: recusar Bob: testemunhar A = -5; B = -5 A = -10; B = 0 Bob: recusar A = 0; B = -10 A = -1; B = -1

41 Teoria dos Jogos: Exemplo 1
Um resultado é dito “Pareto Dominated” por outro se todos jogadores preferirem esse outro resultado; Qual será a decisão de Alice se ela for racional e esperta? Bob irá testemunhar, então {Testemunhar} ! Então, eis que surge o dilema: Resultado para o ponto de equilíbrio é Pareto Dominated pelo resultado {recusar, recusar} ! Há alguma maneira de Alice e Bob chegarem ao resultado (-1, -1)? Opção permitida mais pouco provável; Poder atrativo do ponto de equilíbrio !

42 Equilíbrio de Nash Equilíbrio de Nash:
Agentes não possuem intenção de desviar da estratégia especificada; Condição necessária para uma solução; Equilíbrio de Estratégia Dominante é um Equilíbrio de Nash; Esse conceito afirma que existem estratégias que se equilibram mesmo que não existam estratégias dominantes; Exemplo: Dois equilibrios de Nash: {dvd, dvd} e {cd, cd} Acme: DVD Acme: CD Best: DVD A = 9; B = 9 A = -4; B = -1 Best: CD A = -3; B = -1 A = 5; B = 5

43 Jogos com Múltiplos Movimentos
Tipo mais simples de jogos com múltiplos movimentos, Jogo Repetido: Jogador se depara com a mesma escolha repetidamente; Mantém conhecimento sobre escolhas anteriores dos jogadores. Estratégia para Jogo Repetido especifica escolha de ação: A cada iteração; Para cada jogador; Para todas as possíveis histórias de escolhas anteriores; Para o Dilema do Prisioneiro, escolha da ação dependerá do tipo do compromisso: Alice e Bob podem saber quantas vezes irão jogar: melhor ação = testemunhar; Ou não: melhor ação = continuar recusando até que o outro jogador testemunhe;

44 Jogos de Informações Parciais
São jogos repetidos em ambientes parcialmente observáveis; Exemplos: Pôquer; Abstração sobre uma guerra nuclear; Esse tipo de jogo é resolvido considerando-se Belief States assim como POMDPs; Diferença: jogador conhece seu próprio Belief State mas não o do adversário; Algoritmos para práticos para resolução desses problemas ainda são muito recentes;