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Unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira UNIDADE 2 - complementos. Modelos de aversão ao risco. Dominância.

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1 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira UNIDADE 2 - complementos. Modelos de aversão ao risco. Dominância estocástica de primeira e segunda ordem

2 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira O que estudámos e o que vamos estudar Teoria do consumidor Teoria do consumidor –Preferências utilidade –Maximização da utilidade Curvas de procura Extensões à teoria do consumidor Extensões à teoria do consumidor - Escolha inter-temporal - Escolha inter-temporal - Escolha em incerteza - Escolha em incerteza Aplicações às Finanças Aplicações às Finanças –Escolha de Portfolio, CAPM, CCAPM, preço de opções

3 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira Consumo em incerteza Lotaria simples: Lotaria simples: Define-se lotaria simples como o conjunto L=(p1…pn) com pn0 para todo o n e, onde pn é a probabilidadede ocorrência da lotaria. Define-se lotaria simples como o conjunto L=(p1…pn) com pn0 para todo o n e, onde pn é a probabilidadede ocorrência da lotaria. Lotaria composta (lotarias de lotarias) : Lotaria composta (lotarias de lotarias) : Dadas as lotarias simples K, K=1…k e um conjunto de probabilidades associada à ocorrência de Lk, define-se lotaria composta como o risco alternativo que dá Lk com probabilidade. Dadas as lotarias simples K, K=1…k e um conjunto de probabilidades associada à ocorrência de Lk, define-se lotaria composta como o risco alternativo que dá Lk com probabilidade.

4 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira Lotarias Exemplo: Exemplo: Preço=100E Preço=100E Lotaria composta A: Lotaria composta A: L1=(100,0,0) ocorre com probabilidade 1/3 L1=(100,0,0) ocorre com probabilidade 1/3 L2=(100*1/4, 100* 3/8, 100*3/8) ocorre com probabilidade 1/3 L2=(100*1/4, 100* 3/8, 100*3/8) ocorre com probabilidade 1/3 L3=(100*1/4, 100* 3/8, 100*3/8) ocorre com probabilidade 1/3 L3=(100*1/4, 100* 3/8, 100*3/8) ocorre com probabilidade 1/3 Lotaria composta B: Lotaria composta B: L1=(100*1/2, 100*1/2, 0) ocorre com probabilidade ½ L1=(100*1/2, 100*1/2, 0) ocorre com probabilidade ½ L2=(100*1/2, 0, 100*1/2) ocorre com probabilidade ½ L2=(100*1/2, 0, 100*1/2) ocorre com probabilidade ½ Prefere A or B? Prefere A or B? Quando consideramos três lotarias alternativas L1, L2 e L3, o consumidor não pode consumir L1 e L2 conjuntamente ou L1 e L3 conjuntamente etc. mas tem de escolher entre alternativas mutuamente exclusivas. Quando consideramos três lotarias alternativas L1, L2 e L3, o consumidor não pode consumir L1 e L2 conjuntamente ou L1 e L3 conjuntamente etc. mas tem de escolher entre alternativas mutuamente exclusivas.

5 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira Lotarias reduzidas Considere duas lotarias : Considere duas lotarias : Cada lotaria ocorre com uma determinada probabilidade. O que é uma lotaria reduzida? Cada lotaria ocorre com uma determinada probabilidade. O que é uma lotaria reduzida? Uma lotaria reduzida é Uma lotaria reduzida é

6 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira Lotarias Reduzidas Da lotaria composta pode-se compor a lotaria reduzida,, i.e. a lotaria simples L=(p1…pn) que gera uma distribuição final de resultados (pagamentos). Da lotaria composta pode-se compor a lotaria reduzida,, i.e. a lotaria simples L=(p1…pn) que gera uma distribuição final de resultados (pagamentos). Considere por exemplo um resultado 1. Sabe-se que este resultado pode ser realizado com uma probabilidade certa sobre um conjunto de lotarias Lk, na qual cada uma ocorre com uma determinada probabilidade. A probabilidade de ocorrencia do resultado 1 é: Considere por exemplo um resultado 1. Sabe-se que este resultado pode ser realizado com uma probabilidade certa sobre um conjunto de lotarias Lk, na qual cada uma ocorre com uma determinada probabilidade. A probabilidade de ocorrencia do resultado 1 é:

7 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira Preferências sobre lotarias compostas Desde que o consumidor se preocupe apenas com a distribuição do resultado final, ele encontra-se-á indiferente entre lotarias compostas que se reconvertam na mesma lotaria reduzida. Desde que o consumidor se preocupe apenas com a distribuição do resultado final, ele encontra-se-á indiferente entre lotarias compostas que se reconvertam na mesma lotaria reduzida.

8 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira Lotaria e aversão ao risco Em incerteza os indivíduos mostram um grau maior ou menor de aversão ao risco. Em incerteza os indivíduos mostram um grau maior ou menor de aversão ao risco. Quais as causas da aversão ao risco? Quais as causas da aversão ao risco? Isto é, qual a propriedade da função de utilidade (utilidade esperada) implica aversão ao risco? Isto é, qual a propriedade da função de utilidade (utilidade esperada) implica aversão ao risco? Considere a utilidade sobre lotarias de valor monetário. Seja x um valor certo que um indivíduo recebe. Considere a utilidade sobre lotarias de valor monetário. Seja x um valor certo que um indivíduo recebe.

9 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira Escolhas em situação de risco Exemplos: Exemplos: Seguros Seguros Investimento num activo de risco Investimento num activo de risco Comparação de diferentes pagamentos: Comparação de diferentes pagamentos: Suponha que enfrenta uma escolha em que tem de comparar diversos activos com risco. Suponha que enfrenta uma escolha em que tem de comparar diversos activos com risco. Que tipo de estatística deverá utilizar de modo a escolher entre os investimentos propostos? Que tipo de estatística deverá utilizar de modo a escolher entre os investimentos propostos?

10 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira Outros conceitos associados: Outros conceitos associados: Equivalente certo = Valor certo em valores monetários que um indivíduo deseja aceitar em vez da lotaria. Equivalente certo = Valor certo em valores monetários que um indivíduo deseja aceitar em vez da lotaria. Prémio probablístico = O excesso em termos probabilísticos que torna um indíviduo indiderente entre um valor certo e a lotaria. Prémio probablístico = O excesso em termos probabilísticos que torna um indíviduo indiderente entre um valor certo e a lotaria. Se um indivíduo tem aversão ao risco então: Se um indivíduo tem aversão ao risco então: O valor certo em dinheiro que ele está disposto a aceitar em vez da lotaria deverá ser menor que o valor esperado de dinheiro que ele obteria da lotaria. (Para evitar o risco prefere menos a mais) O valor certo em dinheiro que ele está disposto a aceitar em vez da lotaria deverá ser menor que o valor esperado de dinheiro que ele obteria da lotaria. (Para evitar o risco prefere menos a mais) Lotaria e aversão ao risco

11 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira Lotaria e aversão ao risco E u(x) a utilidade associada a x. A aversão ao risco resulta da concavidade de u(x). E u(x) a utilidade associada a x. A aversão ao risco resulta da concavidade de u(x). A função de utilidade é única? A função de utilidade é única? Não, pois toda a transformação monótona representa as mesmas preferências. Não, pois toda a transformação monótona representa as mesmas preferências.

12 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira Função de utilidade Função de utilidade concâva

13 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira Medidas da aversão ao risco

14 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira Medindo a aversão ao risco Função de utilidade estritamente concâva

15 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira Curvas de indiferença

16 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira Nível de retorno (média) Nível de retorno (média) Dispersão dos retornos Dispersão dos retornos A função de didistribuição,se conhecida, poderá servir para comparar lotarias A função de didistribuição,se conhecida, poderá servir para comparar lotarias Escolhas perante o risco

17 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira Medidas de aversão ao risco

18 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira Medidas de aversão ao risco de Arrow- Pratt (i) Aversão absoluta ao risco (ii) Aversão relativa ao risco

19 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira (i) Aversão absoluta ao risco (Y,h) ½ + ¼ h R A (Y)(Y,h) ½ + ¼ h R A (Y) Y Y+h Y-h

20 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira (ii) Aversão relativa ao risco Y Y(1+ ) Y(1- )

21 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira Equivalente certo e prémio de risco

22 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira Nivel de aversão relativa ao risco de um investidor = 0CE = 75,000 (neutralidade ao risco) = 0CE = 75,000 (neutralidade ao risco) = 1CE = 70,711 = 1CE = 70,711 = 2CE = 66,246 = 2CE = 66,246 = 5CE = 58,566 = 5CE = 58,566 = 10CE = 53,991 = 10CE = 53,991 = 20CE = 51,858 = 20CE = 51,858 = 30CE = 51,209 = 30CE = 51,209 Y=0 Y=100,000 = 5 CE = 66,530

23 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira Dominação estocástica conceitos Postulados da utilidade esperada levam-nos a definir dois conceitos de dominação alternativos que são mais fracos e de mais ampla utilização que o conceito de dominação em cada estado da natureza. Postulados da utilidade esperada levam-nos a definir dois conceitos de dominação alternativos que são mais fracos e de mais ampla utilização que o conceito de dominação em cada estado da natureza. São conceitos interessantes na medida em que descrevem situações em que os rankings entre alternativas de risco são preference-free, i.e., podem ser definidos independentemente dos trade-offs específicos (entre retorno, risco e outras características das distribuições de probabilidade) representadas pela função de utilidade de um agente. São conceitos interessantes na medida em que descrevem situações em que os rankings entre alternativas de risco são preference-free, i.e., podem ser definidos independentemente dos trade-offs específicos (entre retorno, risco e outras características das distribuições de probabilidade) representadas pela função de utilidade de um agente.

24 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira

25 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira Definição : Considere e a distribuição acumulada de duas Definição : Considere e a distribuição acumulada de duas funções de duas variáveis aleatórias (cash payoffs) que, sem perda de generalidade assumem valores no intervalo. funções de duas variáveis aleatórias (cash payoffs) que, sem perda de generalidade assumem valores no intervalo. Dizemos que domina estocasticamente em primeira ordem (FSD) se e somente se F A (x) F B (x) for all x. Dizemos que domina estocasticamente em primeira ordem (FSD) se e somente se F A (x) F B (x) for all x.

26 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira Teorema1- FSD : Considere,, duas distribuições de probabilidade acumuladas referente aos resultados aleatórios Teorema1- FSD : Considere,, duas distribuições de probabilidade acumuladas referente aos resultados aleatórios Então FSD se e só se Então FSD se e só se para todas as funções de utilidade não decrescentes U( ) para todas as funções de utilidade não decrescentes U( )

27 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira First Order Stochastic Dominance: A More General Representation

28 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira Figure 3-6 Second Order Stochastic Dominance Illustrated

29 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira Suponha que pode alterar uma função F(.) de modo a manter a média mas alterando a variância. Suponha que G(.) é a função que se obtém desta transformação, isto é, G(.) é uma média preservada da dispersão de F(.) Suponha que pode alterar uma função F(.) de modo a manter a média mas alterando a variância. Suponha que G(.) é a função que se obtém desta transformação, isto é, G(.) é uma média preservada da dispersão de F(.) Ex: F(.) é tal com a probabilidade p=1/2 Obtem 2, p ex, com prob p=1/2, obtem 3 cuja media de pagamento será 5/2 Ex: F(.) é tal com a probabilidade p=1/2 Obtem 2, p ex, com prob p=1/2, obtem 3 cuja media de pagamento será 5/2 Seja G(.) com probabilidade p=1/4, obterá (1,2,3,4) com média também de 5/2 Seja G(.) com probabilidade p=1/4, obterá (1,2,3,4) com média também de 5/2 Qual prefere F(.) ou G(.)? Qual prefere F(.) ou G(.)? Dominação estocástica 2ª ordem

30 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira Se for avesso ao risco preferirá F(.) a G(.). Se for avesso ao risco preferirá F(.) a G(.). Pode provar que F(.) domina estocasticamente em segunda ordem G(.) Pode provar que F(.) domina estocasticamente em segunda ordem G(.) Dominação estocástica

31 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira Resultado: se G(.) é uma media preservada de F(.), então F(.) domina estocasticamente em segunda ordem G(.) Resultado: se G(.) é uma media preservada de F(.), então F(.) domina estocasticamente em segunda ordem G(.) Demonstração: Demonstração: Considere x uma lotaria com distribuição de acordo com F(.). Suponha que tornaremos aleatório x de forma a que o pagamento final seja x+z onde z se encontra distribuido de acordo com a função H(z) com média zero. Por outro lado, x+z tem a mesma média mas com variância diferente. Definimos G(.) como uma lotaria final reduzida, i.e. a função que tem uma probabilidade associada a cada x utilizando a transformação de F(.). G(.) é uma média presrvada com outra variância de F(.). Considere x uma lotaria com distribuição de acordo com F(.). Suponha que tornaremos aleatório x de forma a que o pagamento final seja x+z onde z se encontra distribuido de acordo com a função H(z) com média zero. Por outro lado, x+z tem a mesma média mas com variância diferente. Definimos G(.) como uma lotaria final reduzida, i.e. a função que tem uma probabilidade associada a cada x utilizando a transformação de F(.). G(.) é uma média presrvada com outra variância de F(.). Dominação estocástica 2ª ordem

32 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira Teorema SSD (Rothschild&Stiglitz) Seja F e G com mesma média e considere T(x) 0. Seja F e G com mesma média e considere T(x) 0. Todo o indivíduo com aversão ao risco (U>0 e U 0 e U<0) prefere F a G: E F U(x) E G U(x) E F U(x) E G U(x)

33 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira Teorema2- SSD : Considere,, duas distribuições de probabilidade acumuladas referente aos resultados aleatórios, Teorema2- SSD : Considere,, duas distribuições de probabilidade acumuladas referente aos resultados aleatórios, Então SSD se e só se Então SSD se e só se para todas as funções de utilidade não decrescentes e concâvas U( ) para todas as funções de utilidade não decrescentes e concâvas U( )

34 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira Dominação estocástica de 2ª ordem (SSD). Dominação estocástica de 2ª ordem (SSD). Considere,, duas distribuições de probabilidade acumuladas referente aos resultados aleatórios situados no intervalo Considere,, duas distribuições de probabilidade acumuladas referente aos resultados aleatórios situados no intervalo. Dizemos que domina estocasticamente em 2ª ordem (SSD) se e só se para todo o valor de x :. Dizemos que domina estocasticamente em 2ª ordem (SSD) se e só se para todo o valor de x : (Com estrita desigualdade para alguns intervalos significativos de t). (Com estrita desigualdade para alguns intervalos significativos de t).

35 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira Teorema SSD (Rothschild&Stiglitz)

36 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira Distribuição da média com maior ou menor risco (3.8) Figure 3-7 Mean Preserving Spread

37 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira Prémio de risco e equivalência certa Teorema 3.1 (Desigualdade de Jensen): Seja g( ) uma função concâva no intervalo [a,b], e uma variável aleatória tal que Seja g( ) uma função concâva no intervalo [a,b], e uma variável aleatória tal que Suponha que as expectativas E( ) e Eg( ) existem; Então Suponha que as expectativas E( ) e Eg( ) existem; Então Por outro lado, se g( ) é estritamente concava, então a desigualdade é estrita.

38 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira (a)EU(Y + ) = U(Y + CE(Y, )) (b) = U(Y +E - (Y, ))

39 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira Conceitos analisados Medidas de aversão aboluta e relativa ao risco Medidas de aversão aboluta e relativa ao risco Equivalência certa e prémio de risco Equivalência certa e prémio de risco Dominação estocástica Dominação estocástica

40 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira Que tipo de jogo prefere? Gamble A Gamble B 90 reds to win $96 05 blues to win $14 05 whites to win $12 85 reds to win $96 05 blues to win $90 10 whites to win $12 70% of undergrads chose B

41 unidade 2-complem Carlos Arriaga Costa Um-EEG - Mestrado em Economia - Economia Financeira Which of these gambles would you prefer to play? Gamble C Gamble D 85 reds to win $96 05 greens to win $96 05 blues to win $14 05 whites to win $12 85 reds to win $96 05 greens to win $90 05 blues to win $12 05 whites to win $12 90% choose C over D


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