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SEMÂNTICA. Roteiro Revisão; Sintática x Semântica; Interpretação Semântica; Propriedades Básicas; Relações entre Propriedades.

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1 SEMÂNTICA

2 Roteiro Revisão; Sintática x Semântica; Interpretação Semântica; Propriedades Básicas; Relações entre Propriedades.

3 Revisão O que é lógica? Estudo do raciocínio Começou com Aristóteles Argumeto Proposições e premissas Consequência Lógica

4 Revisão

5 Objetivo: descobrir se o argumento é válido Argumento dedutivo Conclusão a partir das premissas Indutivo Probabilidade

6 Revisão Alfabeto – Lógica Proposicional Símbolos de pontuação: ( ), Símbolos de verdade: true, false Símbolos proposicionais: P, Q, R, S, P1, Q1, P2, Q2... Conectivos proposicionais: ,v,^, , 

7 Semântica Existe uma diferença entre os objetos e seu significado Existe um mundo sintático e um mundo semântico Sintático – símbolos do alfabeto e fórmulas (consideradas apenas como concatenções de símbolos) Semântico – significado dos símbolos e fórmulas Em Lógica, semântica é a associação entre um objeto sintático e seu significado, de forma a, num nível de representação, garantir inferências

8 [Gaiarsa]

9 Semântica P (símbolo sintático) representa “Está chovendo” Q representa “A rua está molhada” Quando a fórmula (P^Q ) é Verdadeira?

10 Interpretação Depende das condições climáticas e se a rua é coberta, ou seja, depende da interpretação de P e Q I[P]=T ou I[P]=F (e também I[Q]) A fórmula (P^Q ) é Verdadeira, quando I[P]=T e I[Q]= T Se I[P]=T ou I[Q]=F então, como ^ é interpretado como a conjunção da interpretação dos fatos P e Q, I[P^Q]=F

11 Interpretação Função binária – só possui em sua imagem 2 elementos Uma Interpretação I, em Lógica Proposicional, é uma função binária t;l que: O domínio de I é o conjunto de fórmulas proposicionais A imagem é o conjunto {T,F} O valor da interpretação I, tendo como argumentos os símbolos de verdade true e false, é dado por I[true]=T e I[false]=F Dado um símbolo proposicional P, I[P] pertence a {T,F}

12 Interpretação de fórmulas Dado uma fórmula E e uma interpretação I, então o significado de E (I[E]) é dado pelas seguintes regras: Se E=P, onde P é um símbolo proposicional, I[E]=I[P] Se H é uma fórmula e E=  H, então I[E]=I[  H]=T se I[H]=F e I[E]=I[  H]=F se I[H]=T

13 Interpretação de fórmulas (cont.) Se H e G são fórmulas, e E=(HvG), então I[E]=I[HvG]=T se I[H]=T e/ou I[G]=T e I[E]=I[HvG]=F se I[H]=F e I[G]=F Se H e G são fórmulas, e E=(H^G), então I[E]=I[H^G]=T se I[H]=T e I[G]=T e I[E]=I[H^G]=F se I[H]=F e/ou I[G]=F Se H e G são fórmulas, e E=(H  G), então I[E]=I[H  G]=T se I[H]=F e/ou I[G]=T e I[E]=I[H  G]=F se I[H]=T e I[G]=F Se H e G são fórmulas, e E=(H  G), então I[E]=I[H  G]=T se I[H]=I[G] I[E]=I[H  G]=F se I[H]=  I[G]

14 Interpretação de uma fórmula Se temos a fórmula H=((  P)v(  Q))  R e a interpretação I[P]=T,I[Q]=F,I[R]=T I[H] = True

15 Interpretação de uma fórmula (cont.) Se E = ((  P)^Q)  (RvP1) e H=(E  P) e as interpretações I e J I[P]=T,I[Q]=F,I[R]=T,I[P1]=F I[H]=? True J[P]=F,J[Q]=T,J[R]=F J[H]=? False

16 Propriedades semânticas básicas Uma fórmula H é uma tautologia (ou é válida) se e somente se para toda interpretação I, I[H]=T H é factível ou satisfazível se existe uma interpretação I tal que I[H]=T H é contraditória ou insatisfazível se e somente se para toda interpretação I, I[H]=F H é Falsificável se existe uma interpretação I tal que I[H]=F

17 Propriedades semânticas básicas (cont.) Dados H e uma interpretação I, I satisfaz H se e somente se I[H]=T Dadas 2 fórmulas H e G,H  G para toda interpretação I, se I[H]=T então I[G]=T Dadas H e G,H  G para toda interpretação I ser satisfazível, I[H]=I[G]

18 Exemplo de Tautologia A fórmula H=Pv  P é uma tautologia, pois toda I[H]=T I[H]=T  I[Pv  P]=T  I[P]=T e/ou I[  P]=T   I[P]=T e/ou I[P]=F    aqui quer dizer “o mesmo que, equivale a”)

19 Exemplo de Satisfatibilidade A fórmula H=(PvQ) é satisfazível, pois há interpretações que a interpretam como verdadeira. H é tautologia? Por quê?

20 Exemplo de Contradição A fórmula H=(P^  P) é contraditória Suponham (por absurdo) que exista I[H]=T I[H]=T   I[P^  P]=T  I[P]=T e I[  P]=T   I[P]=T e I[P]=F

21 Exercícios Quais das fórmulas abaixo são tautologias, satisfazíveis ou contraditórias? H1=P1^P2^Q  Q Tautologia H2=P1^P2^Q   Q Satisfatível H3=(Pv  P)  (Q^  Q) Contraditória

22 Implicação Se E=((P^Q)VQ) e H=(P^Q) e G=(P  Q) E  G? E  H? H  G? H  E? G  H? G  E?

23 Exercício Prove que se temos as fórmulas proposicionais H=(P^Q) e G=P, então H  G Se H=F, G=? Tabela Verdade Se I[H] = T

24 Equivalência Exemplo (Lei de Morgan) H=(  P^  Q) e G=  (PvQ) Temos que demonstrar que, para toda interpretação I, I[H]=I[G] Casos I[H]=T e I[H]=F

25 (  P^  Q)   (PvQ) ? Caso I[H]=T I[H]=T  I[  P^  Q]=T  I[  P]=T e I[  Q]=T  I[P]=F e I[Q]=F  I[PvQ]=F  I[  (PvQ)]=T  I[G]=T  I[H]=T  I[H]=I[G] Caso I[H]=F Exercício ou Olhar tabelas verdade das 2 fórmulas

26 Equivalência Exemplos:  P  P (eliminação da dupla negação) P  Q   P V Q (definição de  em termos de  e V)  (P V Q)   P ^  Q (Lei de Morgan 1)  (P ^ Q)   P V  Q (Lei de Morgan 2) P ^ (Q V R)  (P ^ Q) V(P ^ R)

27 Relações entre as Propriedades Semânticas Validade e factibilidade H é válida   H é contraditória H é válida  H é satisfazível (  quer dizer “se … então…”)  H não é satisfazível   H é contraditória

28 Relações entre as Propriedades Semânticas (cont.) Dadas 2 fórmulas H e G, H implica G   (H  G) é tautologia H equivale a G   (H  G) é tautologia Provar que (H  G) e (G  H) Transitividade da equivalência E  H e H  G  E  G

29 Relações entre as Propriedades Semânticas (cont.) Satisfabilidade Seja {H1,H2,...Hn} um conjunto de fórmulas {H1,H2,...Hn} é satisfatível  {H1^H2^...^Hn} é satisfatível

30 Equivalências   aqui quer dizer “o mesmo que, equivale a” e  quer dizer “se … então …” Cuidado: Há uma diferença entre eles: H equivale a G   H é tautologia   G é tautologia}? (1) H equivale a G   H é tautologia   G é tautologia}? (2)

31 Equivalência e Validade H equivale a G   H é tautologia   G é tautologia} (1) é dividida em 2 implicações: H equivale a G   H é tautologia   G é tautologia} (2) e  H é tautologia   G é tautologia}  H equivale a G (3)

32 Contra-exemplo de Equivalência e Validade  H é tautologia   G é tautologia}  H equivale a G (3) H=P e G=Q, que não são equivalentes “H equivale a G” é falsa No entanto, o antecedente é verdadeiro H e G não são tautologias (Falso   Falso)  Falso Verdadeiro  Falso, o que é falso

33 Proposições Equivalência e Validade Proposição 1: H equivale a G   H é tautologia   G é tautologia} Implicação e Validade Proposição 2: H implica a G   H é tautologia  G é tautologia } Proposição 3: {{H implica G} e {H é tautologia}}  {G é tautologia}

34 Proposição 1 – Equivalência e Validade H equivale a G   H é tautologia   G é tautologia} (2) Prova do tipo prop3  prop2 e prop2  prop1 Passos: prop2, prop2  prop1 [1] prop3, prop3  prop2 [2] Portanto, prop3, [3] prop3  prop2, prop2  prop1

35 Proposição 2 – Implicação e Validade H implica a G   H é tautologia  G é tautologia}(4) Pode ser reescrito como: G implica a H   G é tautologia  H é tautologia} (5) Portanto, H equivale a G   H é tautologia   G é tautologia} (2) E prop2  prop1

36 Lema (implicação) (A  (B  C)) equivale a ((A^B)  C) Olhar tabelas verdade H equivale a G   H é tautologia  G é tautologia}(4) é exatamente deste tipo! Portanto, (4) equivale a {{H implica G} e {H é tautologia}}  {G é tautologia} prop3  prop2

37 Proposição 3 – Implicação e Validade Dadas 2 fórmulas H e G, então {{H implica G} e {H é tautologia}}  {G é tautologia} Supondo {H implica G} e {H é tautologia} Para {G é tautologia} ser verdade, então {G é tautologia}   toda I[G]=T

38 Proposição 3 – Implicação e Validade (cont.) {G é tautologia}   toda I[G]=T Mas se {H é tautologia}, toda I[H]=T Como {H implica G}, então toda I[G]=T {G é tautologia}


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