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Numeração. Princípios  Determinação de símbolos para representar números: sem preocupar-se das eventuais grandezas associadas, com regras (algoritmos)

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1 Numeração

2 Princípios  Determinação de símbolos para representar números: sem preocupar-se das eventuais grandezas associadas, com regras (algoritmos) de cálculo, capaz de representar qualquer numero.

3 Cardinal  Associação de um símbolo à unidade e reprodução do símbolo o número de vezes necessário.  Complicado para a representação de números grandes.

4 Ordinal  Associação de cada número a um símbolo.  Complicado porque precisa de uma quantidade ilimitada de símbolos.

5 Base  Agrupamento das unidades em coleções. Para economizar a quantidade de símbolos e simplificar a escrita de número grande, usamos agrupamentos.  A base 10 (sistema decimal) é hoje a mais divulgada, mas existem e são usadas várias outras bases: 2 (binário), 5, 12, 20, 60.

6 Base 5  Indianos Ainda hoje, em certas regiões da India, os dedos da mão são usados da forma seguinte: uma mão para as unidades, uma mão para as coleção de cinco unidades.  Romanos I, V, X, L, C, D, M  Outro exemplo

7 Base 12  Uma das explicações da base 12 é ligada a um princípio de contagem usando as falanges para representar as unidades e o polegar para enumerar. Uma das avantagens da base 12 é que 12 tem muitos divisores. Ele tem mais divisores que qualquer número minor que ele.

8 Base 20  A base 20 foi usada como base de numeração pelos Astecas e Maias. Ainda hoje, os povos celticos na formação literal dos numeros usam a base 20.  Uma explicação da aparição da base 20 é de origem antropomórfica: temos 20 dedos (pés e mãos).

9 Base 60  A base 60 era usada pelos Sumérios e Babilônios. Existe hoje vestígios dessa numeração: o tempo (60 segundos=1 minuto, 60 minutos=1 hora), Ângulos (graus)

10 Base 10  A numeração decimal é também de origem antropomórfica: temos dez dedos.  Usamos os algarismos árabes.  De um outro lado, a base 10 é muito pouco eficiente para a representação dos números (não é um número primo, tem poucos divisores).

11 Numeração de posição  A numeração de posição constitua uma revolução, no mesmo tempo por sua economia de símbolos e sua potência: dez símbolos (em base 10), representação de qualquer numero inteiro.

12 Primeira notação de posição  O sumérios usavam uma notação de posição dos números: a posição dos símbolos são associados com as potencias da base.

13 Notação de posição  O principio da notação de posição (base b), os a n são sempre inferiores a b: caso inteiro N é caso geral (com fração) N é

14 Princípios da evolução  A evolução da numeração é baseada sobre: Princípios de economia (símbolos, memoria, etc). Disponibilidade de sistema de representação (pedras, mão, cordas, escrita, etc). Determinação de algoritmos de cálculo.

15 Limitações  Certos números não são representáveis. Irracionais, transcendente, etc números representáveis com uma base não são representáveis com uma outra. Infinito  Ambigüidades: 0, = 1 ?

16 Representação com computador  Binário O computador conserva e manipula a informação a partir de tensão de sinais (alta e baixa). Internamente, os números são representados em base 2 (a partir de 0 e 1). Exemplo:  como escreve-se 53 (notação em base 10) em base 2  Como escreve-se 12,5 em base 2

17 Representação com computador  Outras base de representação dos números são também usados Octal: os bits são agrupados por grupo de 3 (base 8) Hexadecimal: bits agrupados por grupo de 4 (base 16).

18 Algoritmo de conversão  O número a converter é dividido por 2, em seguida o quociente é dividido por 2 e assim sucessivamente ate obter um quociente de 1.

19 Algoritmo de conversão  Para a parte fracionaria, ela é sucessivamente multiplicado por 2 ate obter uma parte fracionaria do resultado igual a 0.

20 Aplicações  Conversão de 26,75 ; 12,09375 ; 1,1 em base 2  Verificar que um número fracionario tem uma representação finita em base 2 se ele é da forma p/q, com q potencia inteira de 2.  Escrever algoritmos de conversão de números decimais em números em base 2, 8 ou 16.

21 Representação com computador O computador trabalho por grupo de bits (palavra). Em geral, essas palavras são de 16 ou 32 bits, e hoje existem computador manipulando palavra de 64 bits. Em geral, ele usa uma palavra para representar os números inteiros (INT, LONG, SHORT). O bit de maior peso é usado como sinal do número (0 positivo e 1 negativo).

22 Inteiros  O tamanho dos inteiros são: 2 bytes para um short: como um bit reservado para o sinal, são representaveis números de –2 15 (-32768) a (32767). –1 é representado 1 s e não 1 s bytes para um long: são representaveis numeros de –2 31 ( ) a ( )

23 Floating point number  Floating point number (Norma IEEE): No caso dos reais, diversas partes das palavras são usadas com sentidos diferentes. Um número é em geral representado da forma seguinte: Um bit é reservado para o sinal, um grupo de bit (característica) representa o exponente e um grupo representa os algarismos significativos (mantissa).

24 Floating Point Number  Para poder representar com a característica, exponente positivo e negativo, um “bias” é usado: exponente=característica -”bias”.  Para precisão simples, a repartição é a seguinte: Tabela de repartição dos bits em função da precisão

25 Floating Point Number  Precisão simples: a característica tem um valor de 1 a 254 (0 e 255 são reservados). a mantissa tem os digitos significativos, considerando um bit “escondido”: o número representado, escecendo a parte do exponente e do sinal, é da forma 1.M.

26 Número especiais  No standard IEEE, além dos números finitos, são definidos números específicos: -  e , para os infinitos. NaN (not-a-number), para representar resultados de operações como 0/0,  - , 0 x , -0, definido com o inverso de - .

27 Binary Decimal Codification  Outro tipo de codificação usada pelas calculadoras: BCD (Binary Decimal Codification).  O formato BCD, mais caro em termo de memória, é mais perto da notação decimal (0,1 tem uma representação finita em BCD). Os algarismos em notação decimal são representados por grupo de 4 bits (0 a 9 são representados com bits que podem representar número ate 15).

28 Binary Decimal Codification  Nesse sistema, un número é assim representado:

29 Conclusão  A representação dos números depende do suporte material para representar e calcular (binário com o computador).  O mesmo número pode ter uma representação finita ou infinita dependendo da base: em base 10 ou base 12,em base 10 ou base 2  O computador usa representação finita, ele não pode representar de forma exata os números reais.


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