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©Prof. Lineu MialaretAula 8 - 1/22Cálculo Numérico Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret Aula 8: Noções Básicas sobre Erros (2) Instituto Federal.

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1 ©Prof. Lineu MialaretAula 8 - 1/22Cálculo Numérico Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret Aula 8: Noções Básicas sobre Erros (2) Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP Campus de Caraguatatuba Licenciatura em Matemática 1 0 Semestre de 2013

2 ©Prof. Lineu MialaretAula 8 - 2/22Cálculo Numérico Sistema Binário (1) No sistema binário, cada número é representado de uma forma única, mediante uma combinação de símbolos 0 e 1, que, representa uma combinação de “estados 1” e “estados 0” dos bits que formam um conjunto ordenado.  Designa-se por b i cada bit deste conjunto ordenado, no qual o índice i corresponde ao número da casa que o bit está ocupando.  Seguindo a lógica de que cada posição em número decimal vale 10 vezes mais que a posição imediatamente a sua direita e 10 vezes menos que a posição imediatamente a sua esquerda.  No sistema binário cada casa vale 2 vezes mais que aquela que está imediatamente a sua direita e 2 vezes menos que a que está a sua esquerda.  Desta forma, tem-se que, se o valor da primeira casa da direita for 2 0, a segunda valerá 2 0 x 2 = 2 1, e assim consecutivamente para a esquerda. Os valores das casas ficam claros no seguinte esquema a seguir.

3 ©Prof. Lineu MialaretAula 8 - 3/22Cálculo Numérico Sistema Binário (2) Se b 0, b 1, b 2,..., são os bits que se coloca em cada posição, a quantidade representada valerá:

4 ©Prof. Lineu MialaretAula 8 - 4/22Cálculo Numérico Sistema Binário (3) Para evitar a representação mediante o somatório, adota-se a convenção de separar mediante vírgulas as casas b 0 e b -1, de tal modo que a representação fique: Em que b i = 0 ou 1.

5 ©Prof. Lineu MialaretAula 8 - 5/22Cálculo Numérico Sistema Binário (4) Exemplo 1:  O número binário 10011,00 representa a seguinte quantidade

6 ©Prof. Lineu MialaretAula 8 - 6/22Cálculo Numérico Sistema Binário (5) A partir do conhecimento sobre a base, pode-se saber quantos números ou caracteres podem ser representados de acordo com o número de bits utilizados.  Sabe-se, por exemplo, que com um bit pode-se representar dois valores diferentes, 0 e 1.  Se houver 2 bits, então se pode representar 4 diferentes valores com as combinações dos valores possíveis de cada bit.  Isto é, chamando-se o primeiro bit de b 1 e o segundo de b 2, podemos ter todos valores possíveis da combinação de valores b 1 b 2.  Como tanto b 1 quanto b 2 podem assumir o valor 0 ou 1, tem-se as seguintes possíveis combinações, mostradas a seguir:

7 ©Prof. Lineu MialaretAula 8 - 7/22Cálculo Numérico Sistema Binário (6)

8 ©Prof. Lineu MialaretAula 8 - 8/22Cálculo Numérico Sistema Binário (7) Da mesma forma, caso se tenha 3 bits, pode-se combinar os valores destes três bits e obter-se 8 diferentes valores:  000, 001, 010, 011, 100, 101, 110 e 111. Logo, pode-se concluir que, quando se tem 1 bit consegue- se representar 2 valores distintos (2 1 valores);  Quando se tem 2 bits, consegue-se representar 4 valores distintos (2 2 valores).  Quando se tem 3 bits, pode-se representar 8 valores diferentes (2 3 valores).  Logo, para um número n de bits, pode-se representar 2 n valores distintos.  Com isso, com 8 bits pode-se representar 2 8 = 256 valores distintos.

9 ©Prof. Lineu MialaretAula 8 - 9/22Cálculo Numérico Conversão de Bases (1) Conforme visto nos sistemas de numeração apresentados, cada um deles possui uma certa proximidade com os outros.  Isto torna possível que valores representados em um dado sistema possam ser convertidos para outro sistema.  Isto é necessário porque o ser humano trabalha no sistema decimal e o computador, no sistema binário.  Por isso, deve-se poder converter valores decimais em valores binários.  Da mesma forma, deve-se poder entender os dados gerados pelo computador, o que nos leva a converter valores binários em decimais.  Como, muitas vezes valores hexadecimais são usados para representar dados a serem armazenados na memória, de forma a facilitar o trabalho do programador, também deve-se saber converter valores decimais para hexadecimais e valores hexadecimais para valores binários, que são os valores realmente armazenados na memória.

10 ©Prof. Lineu MialaretAula /22Cálculo Numérico Conversão de Bases (2)  O caminho contrário é igualmente importante. Converter valores de um sistema de numeração para outro é um processo chamado de conversão de bases.  Os conceitos vinculados à conversão de base são necessários à construção dos computadores.  Basicamente estes conceitos são usados para a construção de circuitos digitais que, juntamente com as chamadas portas lógicas são combinados formando o coração do processador, a ULA (Unidade Aritmética e Lógica), e todas as outras partes que o formam.  Por meio de uma série de circuitos que fazem somas, subtrações, comparações, entre outros, os bits podem ser interpretados e arranjados da forma que se quiser.

11 ©Prof. Lineu MialaretAula /22Cálculo Numérico Decimal X Binário (1) divisor dividendo resto quociente Método da Divisão Sucessiva

12 ©Prof. Lineu MialaretAula /22Cálculo Numérico Decimal X Binário (2) Exemplo 2: Transformar (197) 10 em binário.

13 ©Prof. Lineu MialaretAula /22Cálculo Numérico Faz-se a leitura de todos os restos da direita para esquerda, que fica da seguinte forma: Decimal X Binário (3) Exemplo 3: Transformar (357) 10 em binário.

14 ©Prof. Lineu MialaretAula /22Cálculo Numérico Decimal X Binário (4)

15 ©Prof. Lineu MialaretAula /22Cálculo Numérico Decimal X Binário (5) Método da Multiplicação Sucessiva

16 ©Prof. Lineu MialaretAula /22Cálculo Numérico Decimal X Binário (6) Exemplo 4: Transformar (0,1875) 10 em binário.

17 ©Prof. Lineu MialaretAula /22Cálculo Numérico Decimal X Binário (7) Exemplo 5: Transformar (0,1) 10 em binário. ou

18 ©Prof. Lineu MialaretAula /22Cálculo Numérico Decimal X Binário (8)

19 ©Prof. Lineu MialaretAula /22Cálculo Numérico Decimal X Binário (9)

20 ©Prof. Lineu MialaretAula /22Cálculo Numérico Sintetizando, decimal para binário Decimal X Binário (10)

21 ©Prof. Lineu MialaretAula /22Cálculo Numérico Binário X Decimal (1) A conversão de binário em decimal corresponde simplesmente a utilizar a ideia vista anteriormente de associação de valores a cada posição (casa) do número a partir da base 2, de forma que cada posição mais à esquerda vale duas vezes mais que a anterior.  O valor de cada posição é multiplicado pelo valor do bit da posição. Exemplo 6: Converter (11001) 2 em decimal.

22 ©Prof. Lineu MialaretAula /22Cálculo Numérico Binário X Decimal (2) Exemplo 7: Converter ( ) 2 em decimal.


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