A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 1/47Matemática Discreta 2 Matemática Discreta 2 – MD 2 Prof. Lineu Mialaret Aula 4: Combinatória (2) Instituto Federal de.

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 1/47Matemática Discreta 2 Matemática Discreta 2 – MD 2 Prof. Lineu Mialaret Aula 4: Combinatória (2) Instituto Federal de."— Transcrição da apresentação:

1 ©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 1/47Matemática Discreta 2 Matemática Discreta 2 – MD 2 Prof. Lineu Mialaret Aula 4: Combinatória (2) Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP Campus de Caraguatatuba Tecnólogo em Análise e Desenvolvimento de Sistemas 2 0 Semestre de 2013

2 ©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 2/47Matemática Discreta 2 Introdução (1) n Seja o seguinte problema: H A última parte de seu número de telefone possui quatro dígitos. Quantos dessas seqüências de quatro dígitos existem, se um mesmo dígito não pode ser repetido? H Nesse tipo de problema, a seqüência de dígitos 1259 é diferente da seqüência 5912, já que a ordem dos dígitos é importante. n Seja M = {a 1,a 2,...,a m } um conjunto com m elementos. Denomina-se por arranjo dos m elementos, tomados r a r, toda r-upla {a 1,a 2,a 3,... a r }, com r  m, formada com elementos de M, todos distintos. H Um arranjo ordenado e distinto de elementos de M é chamado de permutação (observar que não há repetição de elementos).

3 ©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 3/47Matemática Discreta 2 Introdução (2) n ,2,6 6,1,2 r-uplas de 3 elementos 1,6,2 Arranjo de n elementos tomados r a r Arranjo de 6 elementos tomados 3 a 3...

4 ©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 4/47Matemática Discreta 2 Introdução (3) H No caso das seqüências de quatro dígitos do telefone, cada uma delas é uma permutação de 4 objetos distintos escolhidos de um conjunto de 10 objetos distintos (os dígitos). Quantas permutações existem? 4 Lembrando-se do princípio da multiplicação, existem 10 escolhas para o primeiro dígito, 9 escolhas para o segundo e assim por diante, totalizando 10 x 9 x 8 x 7 = 5040 permutações. n O número de permutações de r objetos distintos escolhidos entre n objetos distintos é simbolizado por P(n,r). H Para o cenário acima, pode-se expressar a solução do problema como P(10,4) = H E para o exemplo da transparência anterior?

5 ©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 5/47Matemática Discreta 2 Permutação (1) n Pode-se estabelecer uma fórmula para P(n,r). H Para isso usa-se a função fatorial. n Definição: H Para um inteiro positivo n qualquer, n fatorial ou n! é definido como o produto dos termos n(n - 1)(n - 2)...1. H 0! = 1, por definição. (1! também = 1). H Da definição de n!, sabe-se que 4 n! = n(n - 1)! = n(n - 1)(n - 2)! = n(n - 1)(n - 2)(n - 3)! = ! = 4(4 - 1)! = 4(3)(4 - 2)! = 4(3)(2)(4 - 3)! = = 4(3)(2)(1) = ?

6 ©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 6/47Matemática Discreta 2 Permutação (2) n Por exemplo, caso se tenha um total de 10 elementos, por ex. S = {1,2,…,10}, uma permutação de três elementos desse conjunto é (2,3,1). H Nesse caso, n = 10 e r = 3. Então de quantas maneiras isso pode ser completamente feito? H Para o primeiro membro de todas as permutações possíveis se escolhe um elemento de todos os n possíveis. H Uma vez já utilizado um dos n elementos, para o segundo membro da permutação há (n − 1) elementos para escolher desse conjunto. H O terceiro membro pode ser preenchido de (n − 2) maneiras, devido ao uso dos que o antecederam. H Esse padrão continua até que tenham sido utilizados os r membros na permutação. Isso significa que o último membro pode ser preenchido de (n − r + 1) maneiras.

7 ©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 7/47Matemática Discreta 2 Permutação (3) __ __ __ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 3_ __ __ 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 3_ 7_ __ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 10 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 3_ 7_ 9_ 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 10 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 1, 2, 4, 5, 6, 8, 10 (n – 2) ou n = 10 r = 3 n – r + 1 = 8 n = 10 (n -1) = 9 Inserção da última coluna

8 ©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 8/47Matemática Discreta 2 Permutação (4) n Em síntese, se encontra um total de H n(n − 1)(n − 2) … (n − r + 1) permutações diferentes dos r objetos, retirados do grupo dos n objetos. H Caso se denote esse número por P(n,r) e utilizando a notação fatorial, pode-se escrever = n(n - 1)...(n - r +1) = = n(n - 1)...(n - r +1)(n - r)! = n! (n – r)! (n – r)! = P(n,r)

9 ©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 9/47Matemática Discreta 2 Permutação (5) n Assim, P(n,r) pode ser dado pela fórmula H P(n,r) = n!/(n - r)!, para 0  r  n 4 P(n,r) significa permutar n objetos em r objetos. n No cenário dos 4 dígitos, usando a fórmula de permutação, tem-se H P(10,4) = 10x9x8x7= = 10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 = 10! = 10! 6x5x4x3x2x1 = 6! = (10 - 4)! n Ex.: H P(7,3) = 7!/(7-3)! = 7!/4! = H P(7,3) = (7x6x5x4x3x2x1)/(4x3x2x1) = 210.

10 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 Permutação (6) n Há três casos especiais no cálculo de P(n,r): H P(n,0). H P(n,1). H P(n,n). n Para P(n,0): H P(n,0) = n!/(n - 0)! = n!/n! = 1. H Existe apenas um arranjo ordenado de zero objetos, o conjunto . n Para P(n,1): H P(n,1) = n!/(n - 1)! = n. H Existem n arranjos ordenados de um objeto.

11 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 Permutação (7) n Para P(n,n): H P(n,1) = n!/(n - n)! = n!/0! = n!. H Existem n! arranjos ordenados de n objetos.

12 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 Permutação (8) n Exemplo 1: Qual o número de permutações de três elementos obtidas com o conjunto S = {a,b,c}? H O número de permutações de 3 objetos, a, b, e c é dado por P(3,3) = 3! = 6. H As permutações são: 4 abc, acb, bac, bca, cab, cba.

13 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 Permutação (9) n Exemplo 2: Quantas palavras de 3 letras (que podem não fazer sentido) são formadas a partir da palavra “compilar”, se nenhuma letra pode ser repetida? H Neste caso, a ordem das letras importa, e se deseja saber o número de permutações de 3 objetos distintos retirados de um conjunto de 8 objetos. H P(n,r) = P(8,3) = 8!/(8 - 3)! = 8!/5!= 336. H Obs.: 4 Poderia ter sido usado o princípio da multiplicação para a solução desse problema. 4 Qual a solução usando esse princípio?

14 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 Permutação (10) n Exercício 1: Dez atletas competem num evento olímpico. São dadas medalhas de ouro, prata e bronze. De quantas maneiras podem ser dadas as medalhas aos atletas?

15 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 Permutação (11) n Exercício 1: Dez atletas competem num evento olímpico. São dadas medalha de ouro, prata e bronze. De quantas maneiras podem ser dadas as medalhas aos atletas? n Resposta: H Neste tipo de problema, a ordem é importante, ou seja, a dado 3 atletas, A, B e C, a premiação A(ouro), B(prata) e C(bronze) é diferente da premiação C(ouro), A(prata) e B(bronze). H Se quer então o número de arranjos ordenados de 3 objetos de um conjunto de 10 objetos, ou seja, P(10,3). H P(10,3) = 10!/(10 - 3)! = 10!/7! = 7!(8 x 9 x 10)/7! = 720.

16 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 Permutação (12) n Exercício 2: De quantas maneiras se pode selecionar um presidente e um vice-presidente de um grupo de 20 pessoas?

17 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 Permutação (13) n Exercício 2: De quantas maneiras se pode selecionar um presidente e um vice-presidente de um grupo de 20 pessoas? n Resposta: H Neste problema deseja-se selecionar 2 pessoas distintas de um conjunto de 20 pessoas. Deseja-se saber o valor de P(20,2). H P(20,2) = 20!/(20 – 2)! = 20!/18! = (19 X 20)18!/18! = 380.

18 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 Permutação (14) n Exercício 3: De quantas maneiras seis pessoas podem se sentar em uma fileira de seis cadeiras?

19 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 Permutação (15) n Exercício 3: De quantas maneiras seis pessoas podem se sentar em uma fileira de seis cadeiras? n Resposta:?

20 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 Combinação (1) n Em certas ocasiões deseja-se selecionar r objetos de um conjunto de n objetos, mas sem considerar a ordem da sequência gerada, ou seja, a sequência 123 é a mesma que 321. H Neste caso está-se contando o número de combinações de r objetos distintos escolhidos entre n objetos distintos, ou seja, o número de subconjuntos de r elementos de um conjunto de n elementos. H Lembrando-se do princípio da multiplicação, o número de permutações de r objetos distintos escolhidos num conjunto de n objetos distintos P(n,r) é o produto do número de escolhas possíveis de r objetos (combinações), simbolizado aqui por C(n,r), pelo número de maneiras de ordenar os objetos escolhidos (permutações de r objetos em r), simbolizado aqui por r!.

21 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 n ,2,6 6,1,2 r-uplas de 3 elementos 2,6,1 Combinações de 3 elementos entre si (não importa a ordem dos elementos) Maneiras de se ordenar 3 elementos em um subconjunto de 3 elementos... Combinação (2) multiplicado pelas Número de permutações de r (03) objetos distintos escolhidos num conjunto de n (06) objetos distintos P(n,r) =

22 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 n ,2,6 6,1,2 r-uplas de 3 elementos 2,6,1... Combinação (3) Número de permutações de r (03) objetos distintos escolhidos num conjunto de n (06) objetos distintos P(n,r) = P(6,3) = 6!/(6-3)! = 6!/3! = 4x5x6=120 permutações

23 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 n ,2,6 6,1,2 r-uplas de 3 elementos 2,6,1 Maneiras de se ordenar 3 elementos em um subconjunto de 3 elementos... Combinação (4) 32 1 = 6 maneiras

24 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 n ,2,6 6,1,2 r-uplas de 3 elementos 2,6,1 Combinações de 3 elementos entre si (não importa a ordem dos elementos) Maneiras de se ordenar 3 elementos em um subconjunto de 3 elementos... Combinação (5) multiplicado pelas Número de permutações de r (03) objetos distintos escolhidos num conjunto de n (06) objetos distintos P(n,r) = x

25 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 Combinação (6) n Dessa forma, tem-se que: H P(n,r) = C(n,r) x r! ou H C(n,r) = P(n,r)/r! = n!/(r!(n - r)!), para 0  r  n. 4 C(n,r) significa combinar n objetos em r objetos. 4 C(n,r) representa o número de subconjuntos de tamanho r que podem ser obtidos de um conjunto de n elementos. n Outras notações utilizadas para C(n,r): n C r, C r n, n Ex.:O valor de C(7,3) é H C(7,3) = 7!/(3!(7 - 3)!) = 7!/(3! x 4!) = 35.

26 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 Combinação (7) n Casos especiais para C(n,r): H C(n,0). H C(n,1). H C(n,n). n Para C(n,0): H C(n,0) = n!/(0!(n - 0)!) = n!/(1(n)!) = 1. H Isso reflete o fato de que há uma única maneira de escolher zero objetos entre n objetos, escolher o conjunto . n Para C(n,1): H C(n,1) = n!/(1!(n - 1)!) = n(n - 1)!/(n - 1)! = n. H Isso reflete o fato de que há n maneiras de selecionar um objeto entre n objetos.

27 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 Combinação (8) n Para C(n,n): H C(n,n) = n!/(n!(n - n)!) = n!/(n!(0!)) = 1. H Isso reflete o fato de que há uma única maneira de escolher n objetos entre n objetos, escolher todos os objetos.

28 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 Combinação (9) n Exemplo 3: Quantas mãos de pôquer, com 5 cartas cada, podem ser distribuídas com um baralho de 52 cartas? H Neste caso a ordem não é importante, já que o se deseja saber é quais cartas ficaram em cada mão. H Quer se calcular o número de maneiras de escolher 5 objetos dentre 52, ou seja, C(52,5). H C(52,5) = 52!/5!(52 - 5)! = 52!/5!47! =

29 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 Combinação (10) n Exemplo 4: Dez atletas competem em um evento olímpico, e três deles serão declarados vencedores. De quantas maneiras podem ser escolhidos os vencedores? H Neste caso, a ordem de escolha dos atletas não é importante, de modo que se deve escolher simplesmente 3 objetos dentre um conjunto de 10 objetos, ou seja, C(10,3). H C(10,3) = 10!/3!(10 - 3)! = 10!/3!7! = 120.

30 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 Combinação (11) n Exercício 4: De quantas maneiras pode-se escolher uma comissão de 3 pessoas de um grupo de 12 pessoas?

31 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 Combinação (12) n Exercício 4: De quantas maneiras pode-se escolher uma comissão de 3 pessoas de um grupo de 12 pessoas? n Resposta:?

32 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 Combinação (13) n Exercício 5: Uma comissão de 8 alunos deve ser escolhida em um grupo contendo 19 alunos do primeiro ano e 34 alunos do segundo ano. H De quantas maneiras pode-se selecionar 3 alunos do primeiro ano e 5 alunos do segundo ano? H De quantas maneiras pode-se selecionar uma comissão contendo exatamente um aluno do primeiro ano?

33 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 Combinação (14) n Exercício 5: Uma comissão de 8 alunos deve ser escolhida em um grupo contendo 19 alunos do primeiro ano e 34 alunos do segundo ano. a) De quantas maneiras pode-se selecionar 3 alunos do primeiro ano e 5 alunos do segundo ano? b) De quantas maneiras pode-se selecionar uma comissão contendo exatamente um aluno do primeiro ano? n Resposta a): H Como a ordem dos indivíduos escolhidos é irrelevante, esse é um problema de combinação. H Há uma seqüência de duas tarefas: selecionar alunos do primeiro ano e depois escolher alunos do segundo ano. H Deve-se usar o princípio da multiplicação.

34 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 Combinação (15) H Como existem C(19,3) modos de se escolher um aluno do primeiro ano e C(34,5) maneiras de escolher um aluno do segundo ano, a resposta é H C(19,3) x C(34,5) = (19!/3!16!) x (34!/5!29!) = 969 x n Resposta b): ?

35 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 Combinação (16) n Exercício 6: A Lotofácil é um tipo de loteria onde o jogador escolhe 15 dezenas entre 25 dezenas possíveis. De quantas maneiras pode-se escolher as 15 dezenas?

36 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 Combinação (17) n Exercício 6: A Lotofácil é um tipo de loteria onde o jogador escolhe 15 dezenas entre 25 dezenas possíveis. De quantas maneiras pode-se escolher as 15 dezenas? n Resposta: –Como a ordem das dezenas escolhidas é irrelevante, esse é um problema de combinação. –Existem C(25,15) maneiras de escolher 15 dezenas num conjunto de 25 dezenas. –C(25,15) = 25!/(25-15)!15! = combinações de 15 dezenas. –As chances de acertar as 15 dezenas são 1/ = ?

37 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 Combinação (18) n Exercício 7: A Lotofácil também premia com 14 dezenas que o jogador escolhe dentre as 25 dezenas possíveis (lembrando que as 14 dezenas são na realidade obtidas das 15 dezenas premiadas). De quantas maneiras pode- se escolher as 14 dezenas premiadas? E quais são as chances de se acertar 14 pontos? n Resposta: H Como a ordem das dezenas escolhidas é irrelevante, esse é um problema de combinação. H Existem C(15,14) maneiras de escolher 14 dezenas premiadas num conjunto de 15 dezenas premiadas. H C(15,14) = 15!/(15-14)!14! = 15 combinações de 14 dezenas.

38 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 Combinação (19) H Como se tem 14 dezenas premiadas, mas se joga com 15 dezenas, temos que escolher a dezena não premiada das 10 dezenas não premiadas que sobram (quando se escolhe as 15 dezenas das 25 para se jogar). H Logo, se tem 15 combinações de 14 dezenas multiplicadas por C(10,1) = 15 x 10!/(10-1)!1! = 15 X 10 = 150 combinações premiadas de 14 dezenas. H Para se saber as chances, é só dividir o número de combinações de 14 dezenas premiadas pelo total de combinações de 15 dezenas. H Logo, as chances de se ganhar um sub-prêmio de 14 dezenas são 150/ = 1/21791.

39 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 Combinação (20) n Exercício 7: A Lotofácil também premia com 11 dezenas que o jogador escolhe dentre as 25 dezenas possíveis (lembrando que as 11 dezenas são na realidade obtidas das 15 dezenas premiadas). De quantas maneiras pode- se escolher as 11 dezenas premiadas? E quais são as chances de se acertar 11 pontos? n Resposta:

40 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 Permitindo Repetição (1) n Há cenários onde deve-se tratar com permutações e combinações envolvendo objetos repetidos. n Por exemplo, seja a palavra MISSISSIPI. Nessa palavra há 4 objetos (letras) repetidos, ou seja, tem-se MIS 1 S 2 IS 3 S 4 IPI, onde S 1, S 2, S 3 e S 4 referem-se ao mesmo objeto (letra). H Caso se deseje calcular o número de permutações distintas que podem ser feitas com as letras que formam a palavra MISSISSIPI, a resposta não será 10!, pois os 10 caracteres da palavra não são distintos. H Isso significa que o número 10! conta alguns arranjos mais de uma vez (MIS 1 S 2 IS 3 S 4 IPI e MIS 2 S 1 IS 3 S 4 IPI, por exemplo.)

41 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 Permitindo Repetição (2) n Seja uma seqüência (arranjo) qualquer das letras da palavra MISSISSIPI. Os quatro caracteres S ocupam determinadas posições na seqüência. H Rearrumando esses caracteres S nessas posições obtém- se a mesma cadeia, logo a seqüência tem 4! cadeias de caracteres iguais. H Para evitar contar a mesma cadeia mais de uma vez, deve- se dividir 10! por 4!, para se retirar todas as maneiras de se permutar os caracteres S na mesma posição. De modo análogo, tem que se dividir também por 4! por causa das letras I. n Logo, o número de permutações distintas desses n objetos é H 10!/4!4! = 5x6x7x8x9x10/4!

42 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 Permitindo Repetição (3) n Definição: Supondo que há n objetos dos quais um conjunto de n 1 são indistinguíveis entre si (são repetidos), um outro conjunto de n 2 objetos são também indistinguíveis entre si, e assim por diante até um conjunto de n k objetos que também são indistinguíveis entre si. H O número de permutações distintas desses n objetos é n!/(n 1 ! x n 2 ! x... x n k !).

43 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 Permitindo Repetição (4) n Exercício 6: Quantas permutações distintas das letras da palavra MONGOOSES existem?

44 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 Permitindo Repetição (5) n Exercício 6: Quantas permutações distintas das letras da palavra MONGOOSES existem? n Resposta:?

45 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 Permitindo Repetição (6) n As fórmulas apresentadas para permutação, P(n,r), e combinação, C(n,r) supõem que se seleciona r objetos dentre n objetos disponíveis, usando-se cada objeto uma só vez. Logo r  n. n Entretanto, pode-se supor que os n objetos estão disponíveis para se usar quantas vezes forem necessárias, ou seja, que há repetição na escolha de objetos. H Pode-se construir palavras usando as 26 letras do alfabeto, e as palavras podem ter qualquer tamanho, usando repetidamente as letras. H Ou pode-se falar em permutações e combinações de r objetos entre n objetos, mas com a possibilidade de repetição, o valor de r pode ser maior que n, ou seja, r  n.

46 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 Permitindo Repetição (7) n Contar o número de permutações com repetições de r objetos entre n objetos distintos é fácil. H Tem-se n escolhas para o primeiro objeto, e como se permite repetição, n escolhas para o segundo objeto, n escolhas para o terceiro e assim por diante. H Logo o número de permutações com repetições de r objetos escolhidos dentre n objetos distintos é n r.

47 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 Permitindo Repetição (8) n Exercício 7: Quantas palavras de 3 letras pode-se formar com as 26 letras do alfabeto, sendo permitida a repetição de letras? n Resposta:?

48 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 Permitindo Repetição (9) n Para se contar o número de combinações com repetições de r objetos entre n objetos distintos, usa-se a fórmula C(r + n -1,r). H C(r + n - 1,r) = (r + n - 1)/(r!(r + n -1 – r)!) = H = (r + n - 1)!/(r!(n - 1)!).

49 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 Permitindo Repetição (10) n Exemplo 5: Um joalheiro, ao projetar um broche, decidiu usar cinco pedras preciosas escolhidas entre diamantes, rubis e esmeraldas. De quantas maneiras diferentes podem ser escolhidas as pedras, admitindo-se que há repetição de pedras. H Este é um exemplo de combinação com repetição. H Logo, tem-se r = 5 (número de objetos repetidos escolhidos) e n = 3 (número de objetos distintos) H C(r + n - 1,r) = (r + n - 1)!/(r!(n - 1)!) H = ( )!/(5!2!) = 7!/(5!2!)

50 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 Permitindo Repetição (11) n Exercício 8: Seis crianças escolhem um pirulito cada entre uma seleção de pirulitos vermelhos, amarelos e verdes. De quantas maneiras isso pode ser feito? n Resposta:?

51 ©Prof. Lineu MialaretAula /47Matemática Discreta 2 Permitindo Repetição (12) n Sintetizando:


Carregar ppt "©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 1/47Matemática Discreta 2 Matemática Discreta 2 – MD 2 Prof. Lineu Mialaret Aula 4: Combinatória (2) Instituto Federal de."

Apresentações semelhantes


Anúncios Google