EXPERIMENTOS FATORIAIS FRACIONÁRIOS (II)

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1 EXPERIMENTOS FATORIAIS FRACIONÁRIOS (II)

2 Delineamento fatorial 2k-1
volta Exemplo: Micróbios  Delineamento fracionário 24-1 com gerador de confundimento I = ABCD, que produziu o esquema de confundimento resultando que os tratamentos que devem ser realizados são: 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16 AB = CD AC = BD AD = BC A = BCD B = ACD C = ABD D = ABC A0 A1 B0 B1 C0 D0 (1) (3) (2) (4) D1 (5) (7) (6) (8) C1 (9) (11) (10) (12) (13) (15) (14) (16)

3 Delineamento fatorial 2k-1
volta Observação: Para este delineamento 24-1 podemos ainda realizar os tratamentos 2, 3, 5, 8, 9, 12, 14, 15, que são resultantes da relação de definição I = -ABCD, produzindo o esquema de confundimento AB = - CD AC = - BD AD = - BC A = - BCD B = - ACD C = - ABD D = - ABC ou seja, é o mesmo esquema obtido anteriormente, porém com sinal contrário, e estas experiências são a outra fração ½ do delineamento fatorial completo. A0 A1 B0 B1 C0 D0 (1) (3) (2) (4) D1 (5) (7) (6) (8) C1 (9) (11) (10) (12) (13) (15) (14) (16) Obs.: Os dois planos fornecem informações similares e qualquer um pode ser usado. No entanto, se o pesquisador tem interesse em checar o tratamento com todos os níveis baixos e todos altos, o anterior deve ser escolhido.

4 Rebatimento de delineamentos fatoriais fracionários
Delineamento fatorial fracionário 2k-1 Rebatimento de delineamentos fatoriais fracionários Exemplo: Em um processo químico, suspeita-se que quatro fatores possam influir no rendimento da operação: temperatura (A), pressão (B), concentração (C) e quantidade de catalisadores (D). Foram considerados dois níveis para cada fator e a indústria optou, então, por um experimento fatorial. Como o custo com tal tipo de experiência é alto, decidiu-se, inicialmente, executar somente metade do total de experiências possíveis. Utilizando a relação de definição, I = ABCD, já sabemos que os tratamentos a serem realizados são : 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16. O experimento foi realizado e os valores de rendimento sob esses tratamentos foram obtidos.  Estimar os efeitos envolvidos no estudo. Trata-se de um experimento 24-1 cujas observações encontram-se a seguir.

5 Delineamento fatorial 2k-1
Dados: (1) (10) (11) (4) (13) (6) (7) (16) Exp. A B C D Rendim 1 -1 71 2 50 3 89 4 82 5 59 6 61 7 87 8 78  lembrar que D = ABC AB = CD AC = BD AD = BC A = BCD B = ACD C = ABD D = ABC Esquema de confundimento Para estimar os efeitos, expandimos a tabela de contrastes com as interações : Trat Y Rend A B C D AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD BCD 1 y0000 71 -1 4 y1100 82 6 y1010 61 7 y0110 87 10 y1001 50 11 y0101 89 13 y0011 59 16 y1111 78 Efeitos -8,75 23,75 -1,75 -6,25 0,75 5,25 -1,25

6 Delineamento fatorial 2k-1 Efeitos e Inter. Confund.
 Resumindo: Efeitos e Inter. Confund. Estimativas A = BCD -8,75 B = ACD 23,75 C = ABD -1,75 D = ABC -6,25 AB = CD 0,75 AC = BD 5,25 AD = BC -1,25 O efeito do fator B (pressão) produziu a maior estimativa, no entanto, este fator está confundindo com a interação tripla ACD. Surge, então, a dúvida, se a significância estatística é devido ao fator B ou à interação entre os outros fatores (temperatura, concentração e quantidade de catalisador). Para resolver este tipo de dúvida (se a interação tripla não pode ser assumida desprezivel!) poderia ser utilizado o experimento rebatido deste, ou seja, repetir o experimento considerando o confundimento I = -ABCD, que implica B = - ACD. Então a coluna do fator B terá sinais trocados e, consequentemente, todas as colunas em que B aparece, também.

7 Delineamento fatorial 2k-1
Novos dados: (3) (12) (9) (2) (15) (8) (5) (14) Exp. A B C D Rendim 1 -1 91 2 83 3 61 4 5 85 6 80 7 68 8 51  23 completo (A, B, C), com D=ABC e, depois, B trocado por -B. AB = - CD AC = - BD AD = - BC A = - BCD B = - ACD C = - ABD D = - ABC Esquema de confundimento Com a tabela de contrastes expandida a partir da tabela acima (multiplicando as colunas dos efeitos principais para obter as colunas de todas as interações) encontramos as estimativas dos efeitos da mesma forma que antes.

8 Delineamento fatorial 2k-1 Efeitos e Inter. Confund.
 Efeitos e Inter. Confund. Estimativas A = -BCD -7,50 B = -ACD 24,50 C = -ABD -3,00 D = -ABC -5,00 AB = -CD 1,00 AC = -BD -3,50 AD = -BC -1,500 O efeito de B é, então, estimado por ½ (23,75+24,50) = 24,125 e a significância estatística, se for observada, será atribuída ao fator B, exclusivamente.

9 Planejamentos com fração ¼ ou frações menores
Resolução de um delineamento fatorial fracionário Vimos que, para a fração 24-1 = ½ 24 = 23 de um delineamento fatorial completo 24, o gerador de confundimento é D = ABC ou I = ABCD, ou seja, efeitos principais confundidos com interações triplas. Neste caso, dizemos que o planejamento fracionário tem resolução IV. Há outros tipos de resolução em planejamentos fatoriais, que se diferenciam de acordo com a quantidade de fatores envolvidos e da fração de interesse.

10 Planejamentos com fração ¼ ou frações menores
Os delineamentos fatoriais fracionados são planejados segundo algum dos seguintes tipos de resolução: Resolução Confundimentos III efeitos principais confundidos com interações duplas (I = ABC) IV efeitos principais confundidos com interações triplas e interações duplas com duplas (I = ABCD) V efeitos principais confundidos com interações quádruplas e interações duplas com triplas (I = ABCDE) VI efeitos principais confundidos com interações quíntuplas, duplas com quádruplas e triplas com triplas (I = ABCDEF) etc .... etc ...

11 Planejamentos com fração ¼ ou frações menores
Alguns autores utilizam uma notação, que especifica o tipo de resolução do experimento fracionário, como, por exemplo, significando, delineamento fatorial fracionário dois níveis quatro fatores fração de ½ do fatorial completo correspondente resolução IV (em algarismo romano) Obs.: Na literatura estatística, existem alguns livros que apresentam sugestões para os geradores de confundimento em planos fatoriais fracionários, variando o número de fatores e a fração utilizada, por exemplo, “Design and analysis of experiments”, Montgomery, D.C., 3 ed., New York, John Wiley, 1991.

12 Planejamentos com fração ¼
DELINEAMENTO ¼ 25 O delineamento ¼ 25 é, em verdade, um delineamento Neste situação, somente ¼ do total de experiências do fatorial completo serão realizadas (¼ 32 = 8) . Como antes, temos as seguintes etapas: a) Escrever a tabela de contrastes do fatorial completo 1/4 25 = 23, sem incluir os dois últimos fatores (D e E): Experiência Tratamento A B C 1 A0B0C0 -1 2 A1B0C0 3 A0B1C0 4 A1B1C0 5 A0B0C1 6 A1B0C1 7 A0B1C1 8 A1B1C1

13 Planejamentos com fração ¼
DELINEAMENTO ¼ 25 b) Completar a tabela com os dois últimos fatores, usando os geradores propostos na Tabela “Sugestões de Geradores de Confundimento” (anexa): D = AB e E = AC (ou I = ABD e I = ACE) I = ABD = ACE = BCDE em que o último termo do gerador foi obtido como produto dos anteriores. Exp A B C D = AB E = AC 1 -1 2 3 4 5 6 7 8 anexo

14 Planejamentos com fração ¼
DELINEAMENTO ¼ 25 c) Determinar o esquema de confundimento, utilizando produto módulo 2, a partir da relação de definição I = ABD = ACE = BCDE Obtem-se, então, A = B = C = D = E = BD = CE = ABCDE BD = ABCE = CDE ABCD = AE = BDE AB = ACDE = BCE ABDE = AC = BCD BC = ACD = ABE = DE BE = ACDE = ABC = CD ou seja, basta estimar os efeitos principais A, B, C, D, E e as interações duplas BC e BE, que as demais interações estarão confundidas com estas (não é necessário construir toda tabela de contrastes de um experimento completo 25 para estimar todos os efeitos).

15 Planejamentos com fração ¼
DELINEAMENTO ¼ 25 Exemplo: Um posto de triagem de correspondência está fazendo um estudo de produtividade, visando aumentá-la mediante a redução de erros na separação de cartas. Suspeita-se que a produtividade possa ser afetada pelos seguintes fatores, considerados em dois níveis: Fator Nível (-) Nível (+) iluminação (A) 150 lux 250 lux temperatura (B) 18 oC 25 oC ruído (C) 45 dB 30 dB layout (D) atual novo hora (E) 9 hs 15 hs Como o experimento completo demandaria um tempo que foi considerado excessivo pela Diretoria, optou-se por um fatorial fracionado do tipo Os resultados, em termos de erros por cartas estão a seguir:

16 Planejamentos com fração ¼
Dados: Exp. A B C D E Erros/10000 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 +1 50 56 40 57 48 59 43 1. Expandir a tabela para encontrar as estimativas dos efeitos principais e interações Exp. Erros/103 A B C D E BC BE 1 2 3 4 5 6 7 8 50 56 40 57 48 59 43 -1 +1 S “-”/4 45,25 53,25 50,75 49,50 51,00 52,25 S “+”/4 57,75 49,75 53,50 52,00 Estimativa dos efeitos 12,50 -3,50 1,50 4,00 1,00 -1,50

17 Planejamentos com fração ¼ Planejamentos com fração ¼
2. Inspeção dos efeitos e interações ativos Planejamentos com fração ¼

18 Delineamento fatorial fracionário 2k-p
PROCEDIMENTO GERAL PARA CONSTRUÇÃO DE UM DELINEAMENTO FRACIONÁRIO 2k-p Para construir um experimento fatorial fracionado 2k-p, as seguintes etapas podem ser adotadas: Escrever a tabela de contrastes para o fatorial completo 2c, onde c = k-p; Completar a tabela com os fatores faltantes, usando os confundimentos propostos por Montgomery (Anexo); Obter o gerador de confundimentos (I); Determinar o esquema de confundimentos, obtido pelo produto de efeitos principais e algumas interações de baixa ordem na relação de definição.

19 Delineamento fatorial fracionário 2k-p
Exemplo: DELINEAMENTO 27-4 Trata-se de um delineamento (1/16)27, em que corresponde a realização de 8 experiências, das 128 possíveis. a) Escrever a tabela de contrastes do fatorial completo (1/16)27 = 23, sem incluir os quatro últimos fatores (D, E, F e G): Experiência A B C 1 -1 2 3 4 5 6 7 8

20 Delineamento fatorial fracionário 2k-p
anexo Exemplo: DELINEAMENTO 27-4 b) Completar a tabela usando os geradores do ANEXO. Geradores são: D = AB, E = AC, F = BC e G = ABC, que equivale ao gerador de confundimentos I = Experiência A B C D =AB E=AC F=BC G=ABC 1 -1 2 3 4 5 6 7 8

21 Delineamento fatorial fracionário 2k-p
anexo Exemplo: DELINEAMENTO 27-4 c) Determinar os confundimentos para efeitos principais, a partir do gerador de confundimento: I = ABD = ACE = BCF = ABCG = BCDE = ACDF = ABEF = CDG = BEG = AFG = DEF = ADEG = BDFG = CEFG = ABCDEFG Observar que, para este delineamento, a relação de definição tem 16 = 24 termos iguais.

22 Delineamento fatorial fracionário 2k-p
anexo Regra geral para determinar os termos na relação de definição num delineamento 2k-p Num planejamento 2k-p , a relação de definição (gerador de confundimento) terá 2p termos. São eles: O termo de intercepto I; p termos de interação obtidos a partir dos geradores sugeridos na tabela de confundimentos (anexo), utilizando produto módulo 2 para obter a relação com I; os restantes (2p - p – 1) termos são construídos pela multiplicação módulo 2 entre os termos do passo 2. Logo, cada efeito principal será confundido com 2p – 1 outros efeitos. Estabelecida a relação de definição, obter o esquema de confundimento, totalizando, portanto, 2p relações de confundimento. Os tratamentos escolhidos para formar o planejamento devem obedecer à relação de definição.

23 Delineamento fatorial fracionário 2k-p
anexo Delineamento fatorial fracionário 2k-p Exemplo: Considere um 25. Obter ¼ (25). Devemos realizar 25-2 = 23 = 8 tratamentos. Relação de definição terá 22 = 4 termos. Na tabela de confundimentos (anexo), os confundimentos sugeridos para este planejamentos são: que produz I = e I = Então o gerador de confundimento, com 4 termos é: I = sendo o último termo obtido por produto módulo 2 entre ____ e ____; O esquema de confundimento é dado pelas seguintes relações: Tratamentos incluídos serão aqueles em se tem ABD=1, ACE=-1 e ACDE=-1, simultaneamente.

24 Delineamento fatorial fracionário 2k-p
anexo Delineamento fatorial fracionário 2k-p Exemplo: Joãozinho decidiu fazer uma nova experiência com sua nova bicicleta, testando sete fatores (ou variáveis): (A) posição do assento: alto ou baixo (B) farolete: ligado ou desligado (C) posição do guidão: alto ou baixo (D) marcha utilizada: alta ou baixa (E) tipo de roupa: justa ou folgada (F) comida: sim ou não (G) pressão dos pneus: alta ou baixa em que irá observar o tempo (em seg) para percorrer um dado trecho. Responda: Quem é a variável resposta? Quantas experiências seriam feitas (sem repetição) no caso de um delineamento fatorial completo ? E no caso de um fatorial fracionado do tipo 27-4 ? Como ficaria a tabela de contrates neste último caso ?

25 Delineamento fatorial fracionário 2k-p
anexo Delineamento fatorial fracionário 2k-p Admitindo-se um delineamento fatorial fracionado 27-4, com os resultados na tabela a seguir, calcular os efeitos principais Exp A B C D E F G Resp. 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 +1 69 52 60 83 71 50 59 88 Estimativas de efeitos principais A = B = C = D = E = F = G =

26 Delineamento fatorial fracionário 2k-p
anexo Delineamento fatorial fracionário 2k-p Interações: • todas interações duplas estão confundidas com efeitos principais (resolução III); • existem ainda outras interações, de ordem superior, não confundidas com efeitos principais, mas não vamos nos preocupar com estas. Como o experimento foi feito sem repetição, então pode-se analisar os resultados através do PPN. , utilizando a expressão P = (i – 0,5) x 100% 7 i Confund. Estimativa P 1 2 3 4 5 6 7 8 Fazer o gráfico de Estimativas versus P. O que se pode concluir?

27 ANEXO: SUGESTÕES DE GERADORES DE CONFUNDIMENTO
volta No. de Fatores no. Exp (fração) Delineamento Geradores 3 4 (1/2) C = AB 4 8 (1/2) D = ABC 5 16 (1/2) E= ABCD 8 (1/4) D = AB E = AC 6 32 (1/2) F = ABCDE 16 (1/4) E = ABC F = BCD 8 (1/8) F = BC 7 64 (1/2) G= ABCDEF 32 (1/4) F = ABCD G = ABDE 16 (1/8) G = ACD 8 (1/16) D = AB E = AC F = BC G= ABC volta

28 ANEXO: SUGESTÕES DE GERADORES DE CONFUNDIMENTO (cont)
No. de Fatores no. Exp (fração) Delineamento Geradores 8 64 (1/4) G = ABCD H = ABEF 32 (1/8) F = ABC G = ABD H = BCDE 16 (1/16) E = BCD F = ACD G = ABC H= ABD 9 128 (1/4) H= ACDFG J = BCEFG 64 (1/8) H = ACEF J= CDEF 32 (1/16) F= BCDE G = ACDE H= ABDE J = ABCE 16 (1/32) E = ABC F = BCD G= ACD H = ABD J= ABCD Fonte: MONTGOMERY, D.C. Design and analysis of experiments. 3 ed. New York, John Wiley, 1991.

29 MINITAB - criar fatorial 2k-p
Fractional Factorial Design Factors: 7 Base Design: 7; 8 Resolution: III Runs: Replicates: Fraction: 1/16 Blocks: Center pts (total): 0 NOTE * Some main effects are confounded with two-way interactions. Design Generators: D = AB; E = AC; F = BC; G = ABC Alias Structure I + ABD + ACE + AFG + BCF + BEG + CDG + DEF + ABCG + ABEF + ACDF + ADEG + BCDE + BDFG + CEFG + ABCDEFG A + BD + CE + FG + BCG + BEF + CDF + DEG + ABCF + ABEG + ACDG + ADEF + ABCDE + ABDFG + ACEFG + BCDEFG B + AD + CF + EG + ACG + AEF + CDE + DFG + ABCE + ABFG + BCDG + BDEF + ABCDF + ABDEG + BCEFG + ACDEFG C + AE + BF + DG + ABG + ADF + BDE + EFG + ABCD + ACFG + BCEG + CDEF + ABCEF + ACDEG + BCDFG + ABDEFG D + AB + CG + EF + ACF + AEG + BCE + BFG + ACDE + ADFG + BCDF + BDEG + ABCDG + ABDEF + CDEFG + ABCEFG E + AC + BG + DF + ABF + ADG + BCD + CFG + ABDE + AEFG + BCEF + CDEG + ABCEG + ACDEF + BDEFG + ABCDFG F + AG + BC + DE + ABE + ACD + BDG + CEG + ABDF + ACEF + BEFG + CDFG + ABCFG + ADEFG + BCDEF + ABCDEG G + AF + BE + CD + ABC + ADE + BDF + CEF + ABDG + ACEG + BCFG + DEFG + ABEFG + ACDFG + BCDEG + ABCDEF