Alex F. V. Machado alexcataguases@hotmail.com Curvas e Superfícies Alex F. V. Machado alexcataguases@hotmail.com.

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1 Alex F. V. Machado alexcataguases@hotmail.com
Curvas e Superfícies Alex F. V. Machado

2 Importância das Curvas
na engenharia, projeto e manufatura de uma ampla gama de produtos, como automóveis, cascos de navios, fuselagem e asas de aviões, lâminas de propulsão, sapatos, garrafas, edificações, etc. na descrição e interpretação de fenômenos físicos em áreas como geologia, física e medicina. Em sistemas CAD que incorpora modelos matemáticos e computacionais desenvolvidos para apoiar os processos de engenharia, projeto e manufatura.

3 Superfícies Frequentemente, superfícies são descritas por uma malha de curvas definidas em planos ortogonais. As curvas podem ser obtidas através da digitalização de um modelo físico ou desenho, e posterior ajuste de uma curva matemática aos pontos digitalizados.

4 Interpolação e Aproximação
Uma curva baseada em interpolação intercepta os pontos de controle. Uma curva baseada em aproximação sempre intercepta os pontos finais. Os pontos de controle servem para modelar a curva. Interpolação: Hermite, Catmull-Rom spline Aproximação: Bézier, curvas B-spline

5 Curvas de Hermite Formada por 2 pontos e 2 vetores tomados como tangentes à curva nos pontos Passa pelos 2 pontos especificados

6 Curvas de Bézier A curva de Bézier é definida pela equação:
Onde P é o ponto de controle e B é a função de blending

7 Curvas de Bézier Curva de Bézier Linear

8 Curvas de Bézier Curva de Bézier Quadrática

9 Curvas de Bézier Curva de Bézier Cúbica

10 Curvas de Bézier Construindo curvas de Bézier
The t in the function for a linear Bézier curve can be thought of as describing how far B(t) is from P0 to P1. For example when t=0.25, B(t) is one quarter of the way from point P0 to P1. As t varies from 0 to 1, B(t) describes a curved line from P0 to P1.

11 Curvas de Bézier Construindo curvas de Bézier
For higher-order curves one needs correspondingly more intermediate points. For cubic curves one can construct intermediate points Q0, Q1 & Q2 that describe linear Bézier curves, and points R0 & R1 that describe quadratic Bézier curves.

12 B-Splines Na síntese de imagens uma curva pode possuir formas muito complexas para serem representadas por simples curvas cúbicas de Bézier. Aumentando o grau da curva de Bézier será aumentado proporcionalmente a flexibilidade da forma projetada. Este fato no entanto aumenta consideravelmente o processamento e o gasto de memória. Por essas razões é divido a curva em “sub-curvas” que podem ser representadas por equações de menores graus. Uma curva que é constituída de diversas “sub-curvas” de Bézier, quer dizer, uma composição de curvas de Bézier, é chamada de B-Splines.

13 B-Splines

14 NURBS (Non-uniform rational B-spline)
É um modelo matemático usado regularmente em programas gráficos para gerar e representar curvas e superficies. É baseado na B-Spline

15 NURBS (Non-uniform rational B-spline)