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Parte D Inversão de dados Sumário: Inversão 1-D e 2-D ER e TEM.

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1 Parte D Inversão de dados Sumário: Inversão 1-D e 2-D ER e TEM

2 Formulação do problema inverso DADOS d o PARÂMETROS m est MODELO 1-D; 2-D; 3-D Espaço dos dados Espaço dos parâmetros Método de Inversão d = g(m)

3 Dados: Seja d o o vector contendo os valores observados (valores medidos ou calculados a partir de valores medidos usando-se expressões algébricas). No caso específico dos métodos EM esses valores são, geralmente, os valores de resistividade aparente e/ou fases calculados para diferentes configurações geométricas do conjunto emissor- receptor e/ou para diferentes frequências. Cada elemento de d o pode ser descrito como o valor aproximado do verdadeiro valor da grandeza a medir d, ao qual não se tem acesso, possuindo-se uma estimativa do erro da medida, tal que d (d o, d ) < d com a condição d o d quando d 0 d representa uma distância (métrica) definida no espaço dos dados

4 Parâmetros do modelo: Seja m est o vector dos parâmetros do modelo adoptado para a interpretação dos dados. No caso dos métodos EM o vector m est corresponde a valores de resistividade (ou condutividade) eléctrica e, em alguns modelos, a profundidades (localização) de interfaces que separam meios com propriedades geoeléctricas distintas. No problema inverso o vector m est é o vector das incógnitas e a resolução do problema inverso deverá permitir conhecer os elementos deste vector. De acordo com os métodos adoptados neste curso, para a resolução do problema inverso, os valores de m est representam uma estimativa dos verdadeiros valores dos parâmetros m, isto é, m (m est, m ) < m com a condição m est m quando m 0 m representa uma distância (métrica) definida no espaço dos parâmetros

5 d = g (m) Modelo: relações matemáticas entre parâmetros e dados: Tipo de PI: -Linear -Não Linear -sobre-determinado -subdeterminado Métodos: -Optimização local -Optimização global

6 O problema inverso consiste, então, na determinação de m est cumprindo duas condições necessárias: 1) os valores da resposta do modelo d c = g (m est ), devem ser compatíveis com os dados do, isto é, d (d o, d c ) < 2) deve ser possível estimar os erros do modelo calculado, isto é, deve ser possível determinar os limites de validade do modelo calculado as duas condições enumeradas são necessárias mas não são suficientes. Uma terceira condição deverá ser imposta, a saber: 3) o modelo calculado deve ser interpretável em termos geológicos, devendo estar de acordo com a informação disponível

7 A resolução do PI deve levar em atenção a informação contida nos dados que depende: - da qualidade dos dados (erros) - do desenho da aquisição e resolução do método - dos problemas de equivalência Deve-se evitar: - a sobre-parametrização - o sobre-ajustamento (over-fitting) dos dados Algumas lembranças:

8 Problema Linear: g(m) = d - A m = d Problema sobre-determinado (N > M) Método dos mínimos quadrados 1.Definir a função objectivo a minimizar Q = || d o – g(m est ) || 2 2.Minimizar Q = || d o – A m || 2 ; 3.Constituir o sistema: A T A m est = A T d o 4.Solução do sistema: m est = (A T A) -1 A T d o Método minimização local

9 Exemplo: ajuste de uma recta: y= a + b x Dados: y1, y2, y3, y4, y5 Q =|| y – (a+bx)|| 2

10 Método minimização local Inversão 1-D - Seja um problema não linear; - Método iterativo - Problema sobre-determinado (N > M) que pode ser resolvido usando mínimos quadrados Função objectivo: = d = || d o - g(m est ) || 2 a minimizar conhecido o vector de dados d o (d 1,…,d N ), deve determinar- se o vector de parâmetros m est (m 1,…,m M ) que, de acordo com o modelo d c = g (m est ), cumpre a condição d (d o, d c )<.

11 m k+1 = m k + m Lineariza-se o problema (desenvol. Taylor). Tem-se na iteração k+1: g(m k+1 ) = g(m k ) + J(m k ) m + R (m k, m) J ij = g i / m j Na iteração (k+1) d = || d o - g(m est ) || 2 = || d o - g(m k ) + J(m k ) m || 2 Minimização:

12 A solução será: [ J(m k ) T J(m k ) ] m = J(m k ) T (d o - g(m k ) ) m = S -g (d o - g(m k ) ) S -g = [ J(m k ) T J(m k )] -1 J(m k ) T Inversa generalizada:

13 A resolução do sistema de equações pode ser feita através da SVD J = U V T JJ T JTJJTJ S -g = V -1 U T m = V -1 U T (d - g(m k ) ) m = ( i / ( 2 i + 2 ) β i V i β = U T (d - g(m k )) Levenberg- Marquardt

14 Este algoritmo corresponde a minimizar a função objectivo: = || d - g(m) || || m|| 2

15 Métodos de regularização (Tikhonov/Occam)...encontrar uma solução que minimize a norma euclidiana || L m || 2 cumprindo o constrangimento ||g(m) – d || 2. L é uma matriz conhecida como matriz de regularização (ou suavização). = || d - g(m) || ||Lm|| 2

16 m k+1 = m k + m = (J(m k ) T J(m k ) + 2 L T L) -1 J(m k ) T d(m k ) d = d - g(m k ) + J(m k ) m k Curva L || d - g(m) || versus ||Lm||

17 1) minimiza a norma L2 2) minimiza a rugosidade 3) minimiza a variação total dos parâmetros

18 Métodos LCI (Laterally Constrained 1D Inversion) Problemas com o método Tikhonov/Occam: - Modelos com anomalias difusas; - Em meios estratificados as interfaces mais profundas são mal resolvidas Problemas com os modelos 1-D: - Quando colocados lado a lado para formar uma imagem 2D, há variações bruscas originadas por interferências laterais ou ambiguidades devido ao corte geoeléctrico.

19 (de Auken et al. 2000) O método LCI tenta resolver alguns destes problemas.

20 δm = [ G T C -1 G ] -1 [ G T C -1 δd G = [J, P, R ] T d = [δd o, δm priori, δr ] T J – Matriz das derivadas P –Matriz da informação à priori R – Matriz de suavização

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23 LCI com constrangimentos 2D (de Monteiro Santos e Trianatafilis 2010)

24 Métodos de minimização global O que são; Quando se usam; Vantagens em relação aos métodos de minimização local; Desvantagens;

25 Simulated annealing (SA) Função objectivo (energia): Mimetiza o processo de têmpera do metal Ciclo externo modelo m ; (m) ciclo interno gera modelo m p (m p ); Δ = (m p )- (m); teste: Δ > 0 (Metropolis) Δ < 0 (aceita, m=m p ) fim cI T=T*0.9 Fim cE P = exp((- )/T) Gera r aleatório r [0,1] P > r (aceita, m=m p ) P< r (regeita modelo)

26 O esquema de arrefecimento Variação de T em três algoritmos SA. No esquema TimberWolf α aumenta inicialmente de 0.8 a 0.95 e depois diminui gradualmente. T k = α T k-1

27 P(m) é a densidade de probabilidade a posterior, P(m) exp ( (m)) = m P(m) C = (m - ) (m - ) T P(m)

28 Particle Swarm Optimization (PSO) c1 = 1.3, c2 = 2.0 e c3 = 0.05

29 imaging The S-inversion The conductance is: The flux in the receiver is:

30 V in the receiver is: These two equations can be used to calculate S and d Differentiating (numerically) the S curve one obtain conductivity in function of depth.

31 Equivalência em modelos 1-d Equivalências em ER: em S: em T:

32 Avaliação dos parâmetros -Valores extremos -Equivalência -Resolução

33 Valores extremos Elipse de confiança. A e B são os pontos extremos na direcção a. m 1min e m 1max são os valores extremos do parâmetro m 1. m 0 representa o ponto óptimo (menor valor da função objectivo).

34 Análise da matriz V

35 Equivalência em modelos 2-D (de Muñoz 2005)

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37 Aplicação a um modelo MT. a) modelo inicial obtido da inversão dos dados; b) Modelo de teste com modificação manual da anomalia C; c) Modelo obtido projectando a diferença entre a e b no espaço nulo; d) Modelo de teste em que se eliminou a anomalia C; e) modelo obtido da projecção da diferença entre d e a no espaço nulo (de Muñoz 2005).

38 Matriz Resolução dos parâmetros R = S -g J m c = (m c ) k + δm = (m c ) k + S -g (d – g(m k )) d = g(m v ) = g(m c ) k + J (m v – (m c ) k ) m c = (m c ) k + S -g [J (m v -(m c ) k )] = (m c ) k + S -g J m v - S -g J (m c ) k = R m v + (I – R) (m c ) k diag [R]

39 Sensibilidade

40 VOI ( volume of investigation index) Mapas de VOI para duas profundidades de um modelo 3-D. A tracejado estão representados os valores iguais a 0.2 (de Monteiro Santos et al. 2008).


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