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MEDIDAS E INCERTEZAS O Que é Medição? É um processo empírico que objetiva a designação de números a propriedades de objetos ou a eventos do mundo real.

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1 MEDIDAS E INCERTEZAS O Que é Medição? É um processo empírico que objetiva a designação de números a propriedades de objetos ou a eventos do mundo real de forma a descrevê- los quantitativamente. Outra forma de explicar este processo é comparar a quantidade, ou variável desconhecida, com um padrão definido para este tipo de quantidade, implicando então num certo tipo de escala.

2 Tipos de medidas Medida Nominal Quando duas quantidades do mesmo tipo são comparadas para saber se são iguais (Ex. duas cores, acidez de dois líquidos) Medida Ordinal Quando é necessário ter informação a tamanhos relativos (Ex. Classificação por peso e altura de uma turma) Medida em Intervalos Quando deseja-se uma informação mais especifica, envolve-se então uma certa escala, sem incluir pontos de referência ou zero. (Ex. no caso anterior usar a escala de metros e quilogramas) Medidas Normalizadas Define-se um ponto de referência e realiza-se a razão, dividindo cada medida pelo valor de referência, determinando as magnitudes relativas. (Ex. O maior valor obtido será 1, quando foi escolhido como referência o valor máximo medido). Medidas Cardinais O ponto de referência é comparado com um padrão definido. Assim todo parâmetro físico pode ser medido contra uma referência padrão, como o Sistema Internacional de Medidas, o SI.

3 SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES SI

4 O Processo de Medida Operador: - Conhecimento do processo de medida - Escolha adequada do instrumento - Domínio do instrumento de medida O Conceito de Medida Os erros das medidas não podem ser completamente eliminados, conseqüentemente, não é possível conhecer o valor verdadeiro de uma grandeza. Por este motivo o valor de uma medida é representado por um intervalo de valores.

5 Expressão da Medida de uma Grandeza Quando Apenas uma Medida é Efetuada. Quando é efetuada apenas uma medida de uma grandeza a expressão da medida é condicionada à resolução do instrumento de medida. Como não é possível encontrar o valor verdadeiro de uma medida, ele é delimitado por um valor máximo e um mínimo, apontados pelo instrumento de medida. x mín x máx Define-se: - Precisão do instrumento (função do intervalo de confiança [x mín :x máx ]): p = x máx - x mín (1.1) - Incerteza da medida: (1.2)

6 Existe uma probabilidade muito grande de que o valor verdadeiro esteja entre x mín e x máx. x mín < x verdadeiro < x máx. (1.3) x mín x máx Como o valor verdadeiro não é conhecido então, faz-se uma estimativa da medida por meio do valor médio do intervalo,, e da incerteza do instrumento : Intervalo de confiança

7 cm Exercício 1Exercício 2 Objeto a ser medido Exemplo: Medir o comprimento de uma peça retangular: Observa-se que a medida m está no intervalo: 20 cm m 25 cm ; m O intervalo [20cm:25cm] é conhecido como Intervalo de confiança. Ele é, no mínimo, igual à precisão do equipamento. Neste caso, 5 unidades. Com este intervalo, determina-se a Incerteza e o valor médio do intervalo de confiança. Valor da medida

8 1.2. EXPRESSÃO DAS MEDIDAS QUANDO VÁRIAS MEDIDAS SÃO EFETUADAS Desvio Padrão O desvio padrão é a mais importante e mais útil medida da variação dos valores de uma amostra (TRIOLA, p. 38), pois ele considera todos os valores da amostra. O desvio padrão é um estimador das incertezas das medidas Média Aritmética A média aritmética é, de modo geral, a mais importante de todas as mensurações numéricas descritivas (TRIOLA, 1999, p. 31). Durante todo este trabalho ela será designada simplesmente por média.

9 a- Desvio Padrão Amostral É utilizado quando se analisa uma amostra de uma população. sendo i, o desvio da i-ésima medida em relação à média, o qual é expresso por: b- Desvio Padrão Populacional É utilizado quando todos os elementos de um conjunto participam da análise (população).

10 c- Desvio Padrão do Valor Médio. Quando houver uma distribuição normal, o desvio padrão do valor médio, que também é denominado por erro-padrão da média ( TRIOLA, 1999, p. 129), é definido por: Atenção: Normalmente as calculadoras eletrônicas, bem como alguns softwares, disponibilizam para o usuário o cálculo de s (desvio padrão amostral) e o de (desvio padrão populacional). Cabe ao usuário determinar o desvio padrão do valor médio, a partir destes.

11 Valor da medida A expressão do valor da medida, conforme cada caso, é dada por: Normalmente, o desvio padrão, que nós devemos utilizar nas nossas práticas é o do valor médio: então,

12 1.3. Exemplos Determinar a altura média dos alunos da classe, considerando uma amostra de 5 alunos, escolhidos aleatoriamente: Problemas Propostos

13 Algarismos Significativos São todos os algarismos obtidos no processo de medida. Os zeros incluídos para localizar o ponto decimal não são significativos (zeros à esquerda). Ex.: 1945,1(5 algarismos significativos) Em geral, a Incerteza deve conter apenas UM (1) algarismo significativo. Logo: A incerteza deve ser arredondada após a sua determinação. 0,00034 (2 algarismos significativos) 1000(4 algarismos significativos) 2 x 10 5 (1 algarismo significativo) 4,189 x (4 algarismos significativos)

14 Mudanças de Unidade - Ao mudar a unidade de uma medida é importante não alterar o número de algarismos significativos - A notação em potência de dez evita este problema 46 cm 46 x 10 1 mm Por convenção apenas a mantissa tem algarismos significativos Ex.: 46 cm 0,46 m (Está correto) 46 cm 460 mm (está errado pois aumentou o número de algarismos significativos) - A notação científica também soluciona este problema 46 cm x 10 2 mm

15 Critérios de Arredondamento O critério de arredondamento a ser utilizado é o mesmo empregado por calculadoras científicas e programas afins. Se o número à direita do ponto de arredondamento é: 0, 1, 2, 3, 4 Simplesmente elimina-se a parte a direita Ex.: dado o número 0, Arredondando para 8 casas depois da vírgula = 0, Arredondando para 4 casas depois da vírgula = 0,5637 Arredondando para 2 casas depois da vírgula = 0,56 5, 6, 7, 8, 9 Incrementa o algarismo à esquerda e elimina a parte à direita. Ex.: dado o número 0, Arredondando para 7 casas depois da vírgula = 0, Arredondando para 5 casas depois da vírgula = 0,56373 Arredondando para 1 casa depois da vírgula = 0,6 Exercícios

16 Usando o Arredondamento para Representar Medidas Como a Incerteza de uma medida só deve ter um algarismo significativo então a medida anterior fica: - Medida Anterior Opção 2 A mais simples (a que nós empregamos) Tensão = (0, , ) V Ajustando a Incerteza para 1 algarismo significativo Tensão = (0, ,0006) V Para ajustar o valor médio da medida basta ver quantas casas decimais depois da vírgula existem na incerteza (4 neste caso) Logo o valor da medida deve ser ajustado para 4 casas decimais com o arredondamento necessário Então: Tensão = (0, ,0006) V (Resultado Final) OBSERVAÇÃO MUITO IMPORTANTE Os arredondamentos somente devem ser efetuados no final de todas as contas. Razão: cada arredondamento introduz erro (pequeno) mas que ao longo de diversas contas pode resultar em um número sem significado físico.

17 Operações Matemáticas com Medidas Sempre que uma operação matemática é efetuada com duas medidas o resultado deve considerar as incertezas de cada medida a fim de determinar a incerteza do resultado da operação. Existe uma formulação genérica que permite determinar a incerteza em qualquer operação matemática efetuada com uma ou mais medidas. Esta formulação leva em consideração os valores máximo e mínimo da operação. Ex.: Supondo duas medidas com suas respectivas incertezas conforme: A = a + a B = b + b Adição

18 Exemplo de adição: A = 14,2 + 0,2 B = 5,3 + 0,1 A + B =__________ Cálculos via Excel Via programa do site

19 Subtração: A = 14,2 + 0,2 B = 5,3 + 0,1 A – B =____________ Cálculos via Excel Via programa do site

20 Multiplicação: A = 14,2 + 0,2 B = 5,3 + 0,1 A x B =____________ Cálculos via Excel Via programa do site A x B

21 Divisão: A = 14,2 + 0,2 B = 5,3 + 0,1 A : B =______________ Cálculos via Excel Via programa do site

22 Exponenciação: B = 5,3 + 0,1 B 3 =________________ Cálculos via Excel Via programa do site

23 Exercício Exercício: Um paralelepípedo retângulo, de base quadrada, possui massa m = (550,4 + 0,7)g. As suas arestas da base medem A = (54,80 ± 0,01)mm e a altura h = (34,20 ± 0,02)mm. Determine: Área da base: S Base =_____________ Volume: V = _______________ Densidade: = _____________ Cálculos via Excel Via programa do site

24 Fim


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