Carlos Ferreira 1 ALGUMAS DEFINIÇÕES Quando colocamos uma pedra num aquário vai ao fundo.

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1 Carlos Ferreira 1 ALGUMAS DEFINIÇÕES Quando colocamos uma pedra num aquário vai ao fundo

2 Carlos Ferreira 2 ALGUMAS DEFINIÇÕES Quando deixo cair um ovo no chão parte-se

3 Carlos Ferreira 3 ALGUMAS DEFINIÇÕES Estas experiências das quais conhecemos o resultado que se vai verificar chamam-se Experiências deterministas Não é este tipo de experiências que vamos estudar nas probabilidades Nas mesmas condições verifica-se sempre o mesmo resultado

4 Carlos Ferreira 4 ALGUMAS DEFINIÇÕES Quando lançamos dois dados não sabemos quais são as faces que vão ficar voltadas para cima apesar de conhecermos quais os resultados possíveis

5 Carlos Ferreira 5 ALGUMAS DEFINIÇÕES Quando viramos cartas colocadas ao acaso com as costas viradas para cima não sabemos quais são as cartas que vão ficando visíveis

6 Carlos Ferreira 6 ALGUMAS DEFINIÇÕES Quando um jogador vai marcar uma grande penalidade não sabemos se marca golo

7 Carlos Ferreira 7 ALGUMAS DEFINIÇÕES Estas situações em que não é possível prever o resultado, apesar de conhecidos os casos possíveis denominam-se aleatórias ou do acaso São estas experiências que vão ser objecto do nosso estudo

8 Carlos Ferreira 8 ALGUMAS DEFINIÇÕES Considera a seguinte experiência: - lança-se um dado, equilibrado (não viciado) numerado de um a seis e verifica-se qual é a face voltada para cima. Há seis casos possíveis 1, 2, 3, 4, 5, 6 S = { } Ao conjunto, S ou  formado por todos os casos possíveis da experiência denomina-se CONJUNTO (ou ESPAÇO) de RESULTADOS Também se pode designar por ESPAÇO AMOSTRAL

9 Carlos Ferreira 9 ALGUMAS DEFINIÇÕES A cada um dos subconjuntos do conjunto de resultados chamamos No exemplo do lançamento do dado considera os seguintes acontecimentos S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } A: “A face voltada para cima é 10” Não existe nenhuma face com o número 10 ACONTECIMENTO O acontecimento é impossível A = { } = 

10 Carlos Ferreira 10 ALGUMAS DEFINIÇÕES A cada um dos subconjuntos do conjunto de resultados chamamos Outro acontecimento S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } B: “A face voltada para cima é um número par e primo” O número 2 é o único número par que é primo ACONTECIMENTO O acontecimento é elementarB = { 2 } Só tem um elemento Números primos são aqueles que só têm dois divisores, ele próprio e o 1

11 Carlos Ferreira 11 ALGUMAS DEFINIÇÕES A cada um dos subconjuntos do conjunto de resultados chamamos Outro acontecimento S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } C: “A face voltada para cima é um número par” Números pares são 2, 4 e 6 ACONTECIMENTO O acontecimento é compostoC = { 2, 4, 6 } Tem mais do que um elemento

12 Carlos Ferreira 12 ALGUMAS DEFINIÇÕES A cada um dos subconjuntos do conjunto de resultados chamamos Outro acontecimento S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } D: “A face voltada para cima é diferente de 9” Todas as faces são diferentes de 9 ACONTECIMENTO O acontecimento é certoD = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } = S Todos os elementos de S verificam o acontecimento

13 Carlos Ferreira 13 LEI DE LAPLACE – CÁLCULO DE PROBABILIDADES Se perguntarmos quais são as hipóteses que temos de ganhar se escolhermos o número 5 Poderemos obter como resposta: 1 em 6 1 : porque só há uma face (favorável) com o número 5 e 6 : porque há seis hipóteses possíveis no dado Foi LAPLACE que enunciou pela primeira vez esta lei 1 em 6 pode ser escrito na forma de fracção

14 Carlos Ferreira 14 LEI DE LAPLACE Num conjunto de resultados equiprováveis a probabilidade de um acontecimento (A) é o quociente entre o número de casos favoráveis ao acontecimento e o número de casos possíveis LEI DE LAPLACE – CÁLCULO DE PROBABILIDADES Equiprováveis – com a mesma probabilidade Pierre-Simon de Laplace

15 Carlos Ferreira 15 Voltemos ao exemplo para determinar a probabilidade do acontecimentos A LEI DE LAPLACE – CÁLCULO DE PROBABILIDADES A: “A face voltada para cima é 10” A = { } =  Número de casos favoráveis (o que se pretende): 0 Número de casos possíveis (todas as hipóteses): 6 A probabilidade de um acontecimento impossível é 0

16 Carlos Ferreira 16 Voltemos ao exemplo para determinar a probabilidade do acontecimentos B LEI DE LAPLACE – CÁLCULO DE PROBABILIDADES B: “A face voltada para cima é um número par e primo” B = { 2 } Número de casos favoráveis (o que se pretende): 1 Número de casos possíveis (todas as hipóteses): 6

17 Carlos Ferreira 17 Voltemos ao exemplo para determinar a probabilidade do acontecimentos C LEI DE LAPLACE – CÁLCULO DE PROBABILIDADES C: “A face voltada para cima é um número par” C = { 2, 4, 6 } Número de casos favoráveis (o que se pretende): 3 Número de casos possíveis (todas as hipóteses): 6 Devemos apresentar o resultado na forma de uma fracção irredutível se não for pedida outra forma (decimal, percentagem) No caso seria 0,5 ou 50%

18 Carlos Ferreira 18 Voltemos ao exemplo para determinar a probabilidade do acontecimentos D LEI DE LAPLACE – CÁLCULO DE PROBABILIDADES D: “A face voltada para cima é diferente de 9” D = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } = S Número de casos favoráveis (o que se pretende): 6 Número de casos possíveis (todas as hipóteses): 6 A probabilidade de um acontecimento certo é 1

19 Carlos Ferreira 19 LEI DE LAPLACE – CÁLCULO DE PROBABILIDADES Podemos concluir que: A probabilidade de um acontecimento A é representada por um número de 0 a 1, isto é 0 P (acontecimento impossível)  P(A)  1 P (acontecimento certo) Se obtiveres como resultado num número que não esteja nestas condições tens de rever o teu raciocínio

20 Carlos Ferreira 20 LEI DE LAPLACE – CÁLCULO DE PROBABILIDADES Que fazer quando os acontecimentos não são equiprováveis (recorda que não podemos aplicar a Lei de Laplace)? Utilizamos a frequência relativa para fazer estimativas da probabilidade Recorda Quanto maior o número de experiências melhor será a estimativa para a probabilidade

21 Carlos Ferreira 21 MÉTODOS DE CONTAGEM Vejamos agora alguns métodos de contagem No lançamento de um dado sabemos que as faces são de 1 a 6 Ao retirarmos uma carta de um baralho sabemos quais são as hipóteses - Por observação directa ou conhecimento prévio

22 Carlos Ferreira 22 MÉTODOS DE CONTAGEM Por observação directa ou conhecimento prévio Ao lançarmos uma moeda sabemos que temos duas faces Quando falamos no dia de um mês sabemos quantos dias tem cada mês

23 Carlos Ferreira 23 MÉTODOS DE CONTAGEM - TABELA DE DUPLA ENTRADA Quando lançamos dois dados e queremos analisar a soma dos pontos, sabemos também quais são os resultados possíveis, no entanto, é melhor desenhar uma tabela onde todos esses resultados estejam representados 1 + 6 5 4 3 2 1 65432 Começamos por colocar o valor das faces dos dois dados: - na vertical representando um dado - na horizontal representando o outro

24 Carlos Ferreira 24 MÉTODOS DE CONTAGEM - TABELA DE DUPLA ENTRADA Completamos o resto da tabela somando os pontos dos dois dados 1 + 6 5 4 3 2 1 65432 Por exemplo 9 234567 345678 456789 5678910 678 11 789101112 1 + 6 5 4 3 2 1 65432 Seguimos o processo para preencher a tabela Há (6 x 6 =) 36 casos possíveis

25 Carlos Ferreira 25 MÉTODOS DE CONTAGEM - DIAGRAMA DE ÁRVORE Vamos a um restaurante onde há como entradas Presunto Queijos Camarão como prato principal Frango Peixe assado e como sobremesa Pudim e arroz doce com manga

26 Carlos Ferreira 26 MÉTODOS DE CONTAGEM - DIAGRAMA DE ÁRVORE De quantas maneiras diferentes podemos escolher o menú sabendo que temos direito a uma entrada um prato e uma sobremesa? Podemos tentar enumerar mentalmente todas as hipóteses possíveis, mas pode ser um esforço desnecessário se soubermos construir um diagrama de árvore Vejamos qual o método de construção Ao escolhermos a entrada temos 3 hipóteses - a árvore vai começar com 3 ramos

27 Carlos Ferreira 27 MÉTODOS DE CONTAGEM - DIAGRAMA DE ÁRVORE Tendo escolhido presunto podemos agora escolher entre os dois pratos Seguindo o raciocínio completamos os 2ºs ramos Passamos agora às sobremesas Temos 12 ementas diferentes possíveis 3 x 2 x 2 = 12

28 Carlos Ferreira 28 MÉTODOS DE CONTAGEM - DIAGRAMA DE ÁRVORE Assim o conjunto de resultados é S = { PrFPu, PrFA, PrPaPu, PrPaA, QFPu, QFA, QPaPu, QPaA, CFPu, CFA, CPaPu, CPaA} Pr – presunto Pa – Peixe assado Pu – Pudim Q – Queijo F – Frango e A – Arroz doce

29 Carlos Ferreira 29 PROBABILIDADES COM DIAGRAMA DE ÁRVORE Determina a probabilidade de escolhendo a ementa ao acaso: a) Conter presunto. - casos favoráveis - casos possíveis P (presunto) = 12 1 4 = 3 4

30 Carlos Ferreira 30 Determina a probabilidade de escolhendo a ementa ao acaso: b) Comer frango e pudim. - casos favoráveis - casos possíveis P (frango e pudim) = 12 1 3 = 4 3 PROBABILIDADES COM DIAGRAMA DE ÁRVORE

31 Carlos Ferreira 31 Determina a probabilidade de escolhendo a ementa ao acaso: c) Comer peixe ou arroz doce. - casos favoráveis - casos possíveis P (peixe ou arroz) = 12 3 9 = 4 9 PROBABILIDADES COM DIAGRAMA DE ÁRVORE

32 Carlos Ferreira 32 Cálculo de probabilidades, com diagrama de árvore, quando os acontecimentos não são equiprováveis De uma caixa com 4 bolas verdes e 2 bolas laranjas, retiram-se sucessivamente duas bolas da caixa, sem repor a primeira bola retirada. PROBABILIDADES COM DIAGRAMA DE ÁRVORE

33 Carlos Ferreira 33 PROBABILIDADES COM DIAGRAMA DE ÁRVORE Vamos desenhar o diagrama de árvore que nos permitirá calcular, por exemplo, a probabilidade de serem as duas da mesma cor. V L A probabilidade da 1ª bola ser verde é quatro em seis A probabilidade da 1ª bola ser laranja é dois em seis 4 / 6 2 / 6 Não simplificamos a fracção para compreendermos melhor a situação Ficam na caixa 2 bolas laranja e 3 bolas verdes Ficam na caixa 1 bola laranja e 4 bolas verdes 4 / 6 + 2 / 6 = 1

34 Carlos Ferreira 34 PROBABILIDADES COM DIAGRAMA DE ÁRVORE V L A probabilidade da 2ª bola ser verde é três em cinco A probabilidade da 2ª bola ser laranja é dois em cinco 4 / 6 2 / 6 V L V L Vamos retirar a 2ª bola 3 / 5 2 / 5 A probabilidade da 2ª bola ser verde é quatro em cinco 4 / 5 A probabilidade da 2ª bola ser laranja é uma em cinco 1 / 5

35 Carlos Ferreira 35 PROBABILIDADES COM DIAGRAMA DE ÁRVORE V L 4 / 6 2 / 6 V L V L A probabilidade das 2 bolas serem de cor laranja é 3 / 5 2 / 5 4 / 5 1 / 5 P (LL) = x 2 / 61 / 5= 1 / 15

36 Carlos Ferreira 36 PROBABILIDADES COM DIAGRAMA DE ÁRVORE V L 4 / 6 2 / 6 V L V L A probabilidade das 2 bolas serem de cor diferente é 3 / 5 2 / 5 4 / 5 1 / 5 P (VL ou LV) = + 4/6 x 2/52/6 x 4/5= 8/15

37 Carlos Ferreira 37 PROBABILIDADES COM DIAGRAMA DE VENN Perguntou-se aos 20 alunos de uma turma se tinham cães ou gatos em casa Obtiveram-se as seguintes respostas: - 12 têm gato; - 9 têm cão; - 2 não têm cão nem gato Um dos alunos da turma disse que as respostas não podiam ser estas pois, 12 + 9 + 2 = 23 e são apenas 20 alunos Decidiram ir perguntar ao professor de Matemática, pois de facto parecia que o aluno em causa tinha razão. Concordas com esse aluno?

38 Carlos Ferreira 38 PROBABILIDADES COM DIAGRAMA DE VENN O professor disse que o aluno estava errado e apresentou a seguinte explicação. Vamos desenhar um diagrama de Venn para explicar a situação Primeiro desenhamos um conjunto que representa o espaço de resultados (os alunos da turma) S G C Agora desenhamos os conjuntos que representam os alunos que têm gatos (G) e os que têm cães (C) Porque é que aparece uma região comum? Sabes dar uma resposta?

39 Carlos Ferreira 39 PROBABILIDADES COM DIAGRAMA DE VENN 2 S G C Na região comum (intersecção) estão os alunos que têm cães e gatos em casa Vamos completar o diagrama: - Há dois alunos que não têm nem cães nem gatos - Há 18 alunos que têm um desses animais (20 – 2) Mas na recolha da informação 12 responderam que tinham gato e 9 que tinham cão, ora 12 + 9 = 21, e só 18 é que têm um destes animais A diferença (21 – 18) dá-nos o número de alunos, 3, que têm cães e gatos 3

40 Carlos Ferreira 40 PROBABILIDADES COM DIAGRAMA DE VENN 2 S G C Dos 12 alunos que têm gato 3 já estão no diagrama, falta representar os restantes 9 Tal como falta representar 6 dos 9 que têm cães 396 Confirmando: 2 + 9 + 3 + 6 = 20 O aluno não tinha razão. Não analisou o facto de haver alunos com os dois animais

41 Carlos Ferreira 41 PROBABILIDADES COM DIAGRAMA DE VENN 2 S G C Qual é a probabilidade de escolhido um aluno ao acaso - ter cão? 396 P(cão) = 9 / 20 - só ter cão? P(só cão) = 6 / 20 = 3 / 10 - ter pelo menos um destes animais? P(pelo menos um dos animais) = 18 / 20 = 9 / 10