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Operação de inflação usando superfícies implícitas variacionais Apresentado por: Alvaro Cuno Laboratorio de Computação Gráfica-UFRJ.

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1 Operação de inflação usando superfícies implícitas variacionais Apresentado por: Alvaro Cuno Laboratorio de Computação Gráfica-UFRJ Junho -2003

2 06/06/03 LCG-UFRJ 2 Resumo Neste seminário descreveremos os conceitos relacionados ao processo de criação, à mão livre, de modelos usando superficies implícitas variacionais. Apresentaremos uma interface que permite descrever uma silhueta e, a partir desta, a criação de um modelo 3D aproximado. Também discutiremos de forma sucinta o problema da ambigüidade na criação de interfaces naturais para o computador.

3 06/06/03 LCG-UFRJ 3 Sumario Contexto do seminário O problema Trabalhos relacionados Objetivo da pesquisa Marco Teórico Representação de objetos Superfícies implícitas variacionais Funções base radiais Detalhes da implementação A operação de inflação Interfaces naturais Conclusões Próximos passos

4 06/06/03 LCG-UFRJ 4 O problema O ênfase dos atuais sistemas de modelagem 3D (i.e. Maya, 3D Studio, etc.) está na criação e manipulação de modelos precisos. Eles não permitem a criação rápida de objetos de forma livre. Porém, suas últimas versões ofereçam algumas liberdades. O paradigma WIMP (Windows, Icons, Menus, Pointer ) usado no seu desenvolvimento requer um treinamento especial para poder realizar as suas complicadas operações de edição.

5 06/06/03 LCG-UFRJ 5 Trabalhos relacionados Teddy: A Sketching Interface for 3D Freeform Design [1] (SIGGRAPH 1999) Limitações: O sistema não suporta a criação de multiplos modelos simultaneamente, não há operações para combinar objetos. Os modelos criados têm topología esferíca (o usuario não pode criar um torus). Free-form sketching with Variational Implicit Surfaces [2] (EUROGRAPHICS 2002) Limitações: A sua representação não suporta sharp features na superficie. O merging é demasiadamente lento para um sistema interativo O sistema prototipo não foi disponibilizado.

6 06/06/03 LCG-UFRJ 6 Pesquisa Desenvolver uma interface natural para a criação rápida e interativa de objetos de forma livre. Onde a representação da superfície dos objetos estará definida implicitamente por funções base radiais. Contribuições: Criação de objetos de forma livre inclusive com sharps edges, corners e holes. Operações para fácil edição dos objetos (Inflation,Merging, Oversketching, Cutting) A interface natural, intuitiva e interativa disponível

7 06/06/03 LCG-UFRJ 7 Marco teórico: Representação de objetos A forma de um objeto sólido pode ser descrita pela superfície S que delimita sua fronteira. Dentro da modelagem geométrica, uma formulação discreta e duas formulações matemáticas se destacam na sua representação.

8 06/06/03 LCG-UFRJ 8 Modelos Discretos: é uma representação poligonal definida por uma coleção de vértices, arestas e polígonos (triângulos).

9 06/06/03 LCG-UFRJ 9 Vantagens Representação de superfícies de topologia arbitraria Hardware especializado para o rendering (triângulos) Desvantagens Devido ao tamanho do modelo há dificuldade na sua manipulação interativa. Somente pode aproximar superfícies suaves Resolução fixa

10 06/06/03 LCG-UFRJ 10 Modelos Paramétricos: A superfície é descrita por uma coleção de mapeamentos, que correlacionam coordenadas do espaço de parâmetros em coordenadas de pontos sobre a superfície. Ou seja, um ponto p S pode ser descrito por: A superfície está representada por partes (patchs) descritos por uma equação paramétrica.(hermite, bezier patches, splines, NURBS)

11 06/06/03 LCG-UFRJ 11 Vantagens Amostragem em resolução arbitraria Modelagem de superfícies suaves Desvantagens Precisa-se de muitos partes (patches) para modelar uma superfície fechada. Isto origina costuras. Dificuldade para modelar detalhe fino

12 06/06/03 LCG-UFRJ 12 Modelos Implícitos: A superfície é caracterizada analiticamente por uma função tal que: F(x,y,z) = c Ou seja, F atua como uma função de classificação de pontos do domínio de F, de modo que é possível decidir se um ponto pertence ou não à superfície do objeto pela avaliação desta função. Também, um modelo implícito, pode ser descrito por amostragem discreta (gridded volumes and octree representations), sofrem das mesmas desvantagens das representações discretas

13 06/06/03 LCG-UFRJ 13 Vantagens Topologia a arbitraria Testes do tipo inside/outside, collision detection Morphing, Blending, boolean operations Modelagem com CSG (Computer Solid Geometry) Fácil transformação para representação discreta por extração de iso-superficies. Representam bem a suavidade e podem ser avaliadas em resolução arbitraria Desvantagens Visualização custosa, uma vez que a avaliação de F não fornece diretamente um ponto na superfície do objeto.

14 06/06/03 LCG-UFRJ 14 Curva Implícita Curva Paramétrica f(t): onde está a abelha no tempo t? D=f(x,y,z): Quão longe do objeto está?

15 06/06/03 LCG-UFRJ 15 Superfícies implícitas algébricas: se a função que a define é polinomial. A superfície implícita dessa função é o conjunto dos pontos onde a função tem valor zero Classes de modelos implícitos f(x,y,z)=0 [e.g. x 2 +y 2 +z 2 -r 2 =0]

16 06/06/03 LCG-UFRJ 16 Superfícies implícitas baseadas em esqueletos: A superfície implícita será gerada a partir dos pontos localizados a uma distância D do esqueleto ( Blobby, Meta Balls, Soft Objects, etc.). Superfícies implícitas baseadas em amostras Classes de modelos implícitos

17 06/06/03 LCG-UFRJ 17 O problema: Superfícies implícitas variacionais Dados os pontos (restrições) {c 1,c 2,...,c n } e os escalares {h 1,h 2,...,h n } para cada um deles....procurar a função mais suave f(x) que interpole os pontos c i avaliando f(c i )= h i, para i=1,...,n

18 06/06/03 LCG-UFRJ 18 Se definimos a palavra suave de um jeito particular, existe uma única solução para o problema. A solução é uma função f(x) que satisfaça todas as restrições f(c i )= h i e que minimize o seguinte funcional E : Caso 2D: E mede a curvatura agregada de f(x) numa região de interesse Uma função suave que não tenha regiões de alta curvatura terá um valor pequeno de E

19 06/06/03 LCG-UFRJ 19 Há muitos métodos numéricos que são usados para resolver este problema: Elementos finitos Diferenças finitas Estes métodos discretizam a região de interesse num conjunto de células e definem funções base locais sobre estas células Então, a função solução f(x) é expressa como uma combinação linear destas funções base Mas, a discretização origina funções que descrevem superfícies visivelmente escalonadas, tem dificuldade para representar detalhe fino e o custo do método cresce cubicamente com a resolução.

20 06/06/03 LCG-UFRJ 20 Uma solução alternativa é expressar a solução f(x) em termos de funções base radiais centradas nas restrições c i Extraordinariamente, é possível escolher as funções radiais de forma que resolvam automaticamente as equações diferenciais de E Para a interpolação em 3D a função base mais comumente usada é: x=(x,y,z)

21 06/06/03 LCG-UFRJ 21 Usando a função base radial apropriada está demonstrado que podemos escrever a função de interpolação f(x) desta forma: x=(x,y,z) f(x) é definida como o somatório de uma coleção de funções base radiais. Resolvendo para d j e para os coeficientes de P(x) sujeitos as restrições c i obtemos uma função que interpola as restrições e minimiza o funcional E.

22 06/06/03 LCG-UFRJ 22 Definição do problema: Dado um conjunto de pontos c i, i=1,...,n e um conjunto de valores h i, i=1,...,n encontrar uma função interpolante f:R 3 -R tal que: Encontrar Considerando a ortogonalidade ou side conditions: (1) (2)

23 06/06/03 LCG-UFRJ 23 As equações (2) e (3) podem ser escritas na forma matricial, e assim obter d i e p i :

24 06/06/03 LCG-UFRJ 24 Características da matriz A utilização da função base thin-plate origina uma matriz densa Os valores não-nulos aumentam fora da diagonal. A complexidade computacional cresce linearmente quando mais restrições são adicionadas Ordem de complexidade para armazenamento: O(n 2 ) Ordem de complexidade para operações aritméticas: O(n 3 )

25 06/06/03 LCG-UFRJ 25 Determina a continuidade e a suavidade da superfície representada A thin-plate energy (equivalente à energia de segunda ordem) não é suficiente para produzir superfícies localmente detalhadas Uma opção é usar uma função base que envolva primeiro, segunda e terceira ordem de energia. Produzirá uma matriz diagonalmente dominante, os valores não-nulos diminuem fora da diagonal; a qual pode ser corretamente manipula por o método dos gradientes conjugados Funções base radiais

26 06/06/03 LCG-UFRJ 26 Função base multi-ordem O incremento da complexidade em relação ao incremento de # de restrições é medianamente linear com a função base multi-ordem em comparação com a função base thin-plate.

27 06/06/03 LCG-UFRJ 27 Características da superfície resultante Manifold Suave (smooth) Sem costuras (seamless) A função base multi-ordem produzirá modelos localmente mais detalhados mas mantendo sua suavidade global A função base thin-plate produzirá modelos demasiados suaves, resultando modelos de tipo arredondados (blobby)

28 06/06/03 LCG-UFRJ 28 Função base thin-plate (aproximadora) Função base gaussianaFunção base multi ordem

29 06/06/03 LCG-UFRJ 29 Detalhes da implementação Pre-processamento

30 06/06/03 LCG-UFRJ 30 A operação de inflação Amostragem e suavisação das pontas

31 06/06/03 LCG-UFRJ 31 Geração de restrições no plano Z=0 (surface constraints and exterior constraints)

32 06/06/03 LCG-UFRJ 32 Geração de restrições no plano Z=n (surface constraints and exterior constraints)

33 06/06/03 LCG-UFRJ 33 Renderização Poligonização: Marching Cubes

34 06/06/03 LCG-UFRJ 34

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37 06/06/03 LCG-UFRJ 37 Geração de restrições no plano Z=n usando Spine (surface constraints and exterior constraints)

38 06/06/03 LCG-UFRJ 38 Interfaces naturais Nova forma de interação com o usuário Manipulação direta O usuário expressa idéias através de traços e o computador faz uma determinada ação analisando as características perceptuais dos traços RecognizerReasoning Resolution stroke User Interface Arquitetura pipeline do sistema

39 06/06/03 LCG-UFRJ 39 Desenho a mão livre Curvas e ambigüidade

40 06/06/03 LCG-UFRJ 40 Conclusões A análise das funções base radiais e do funcional de enegía utilizado permitem um maior controle sobre a superficie gerada. O fato de inferir a intenção do usuário (em função do traço feito) e executar a operação de edição apropriada não é uma tarefa simples. É difícil estabelecer regras gerais que abranjam todos os casos.

41 06/06/03 LCG-UFRJ 41 Próximos passos... Múltiplos objetos Operações: Merging Extrude Cutting Funções base anisotrópicas Interface natural, interativa e intuitiva

42 06/06/03 LCG-UFRJ 42 Referencias [1] IGARASHI T., MATSUOKA S., AND TANAKA H. Teddy: A Sketching Interface for 3D Freeform Design. In Proceedings of SIGGRAPH 99. [2] KARPENKO O., HUGHES J., AND RASKAR R. Free-form sketching with variational Implicit Surfaces. In Proceedings of EUROGRAPHICS [3] TURK G., AND O´BRIEN J. Modelling with Implicit Surfaces that Interpolate. ACM Transaction on Graphics,


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