Operação de inflação usando superfícies implícitas variacionais

Apresentação em tema: "Operação de inflação usando superfícies implícitas variacionais"— Transcrição da apresentação:

1 Operação de inflação usando superfícies implícitas variacionais
Apresentado por: Alvaro Cuno Laboratorio de Computação Gráfica-UFRJ Junho -2003

2 Resumo Neste seminário descreveremos os conceitos relacionados ao processo de criação, à mão livre, de modelos usando superficies implícitas variacionais. Apresentaremos uma interface que permite descrever uma silhueta e, a partir desta, a criação de um modelo 3D aproximado. Também discutiremos de forma sucinta o problema da ambigüidade na criação de interfaces naturais para o computador. 06/06/03 LCG-UFRJ

3 Sumario Contexto do seminário Marco Teórico Detalhes da implementação
O problema Trabalhos relacionados Objetivo da pesquisa Marco Teórico Representação de objetos Superfícies implícitas variacionais Funções base radiais Detalhes da implementação A operação de inflação Interfaces naturais Conclusões Próximos passos 06/06/03 LCG-UFRJ

4 O problema O ênfase dos atuais sistemas de modelagem 3D (i.e. Maya, 3D Studio, etc.) está na criação e manipulação de modelos precisos. Eles não permitem a criação rápida de objetos de forma livre. Porém, suas últimas versões ofereçam algumas liberdades. O paradigma WIMP (Windows, Icons, Menus, Pointer ) usado no seu desenvolvimento requer um treinamento especial para poder realizar as suas complicadas operações de edição. 06/06/03 LCG-UFRJ

5 Trabalhos relacionados
Teddy: A Sketching Interface for 3D Freeform Design [1] (SIGGRAPH 1999) Limitações: O sistema não suporta a criação de multiplos modelos simultaneamente, não há operações para combinar objetos. Os modelos criados têm topología esferíca (o usuario não pode criar um torus). Free-form sketching with Variational Implicit Surfaces [2] (EUROGRAPHICS 2002) A sua representação não suporta sharp features na superficie. O merging é demasiadamente lento para um sistema interativo O sistema prototipo não foi disponibilizado. 06/06/03 LCG-UFRJ

6 Pesquisa Desenvolver uma interface “natural” para a criação rápida e interativa de objetos de forma livre. Onde a representação da superfície dos objetos estará definida implicitamente por funções base radiais. Contribuições: Criação de objetos de forma livre inclusive com sharps edges, corners e holes. Operações para fácil edição dos objetos (Inflation, Merging, Oversketching, Cutting) A interface “natural”, “intuitiva” e “interativa” disponível 06/06/03 LCG-UFRJ

7 Marco teórico: Representação de objetos
A forma de um objeto sólido pode ser descrita pela superfície S que delimita sua fronteira. Dentro da modelagem geométrica, uma formulação discreta e duas formulações matemáticas se destacam na sua representação. 06/06/03 LCG-UFRJ

8 Modelos Discretos: é uma representação poligonal definida por uma coleção de vértices, arestas e polígonos (triângulos). 06/06/03 LCG-UFRJ

9 Vantagens Desvantagens
Representação de superfícies de topologia arbitraria Hardware especializado para o rendering (triângulos) Desvantagens Devido ao tamanho do modelo há dificuldade na sua manipulação interativa. Somente pode “aproximar” superfícies suaves Resolução fixa 06/06/03 LCG-UFRJ

10 Modelos Paramétricos: A superfície é descrita por uma coleção de mapeamentos, que correlacionam coordenadas do espaço de parâmetros em coordenadas de pontos sobre a superfície. Ou seja, um ponto p  S pode ser descrito por: A superfície está representada por partes (patchs) descritos por uma equação paramétrica.(hermite, bezier patches, splines, NURBS) 06/06/03 LCG-UFRJ

11 Vantagens Desvantagens Amostragem em resolução arbitraria
Modelagem de superfícies suaves Desvantagens Precisa-se de muitos partes (patches) para modelar uma superfície fechada. Isto origina costuras. Dificuldade para modelar detalhe fino 06/06/03 LCG-UFRJ

12 Modelos Implícitos: A superfície é caracterizada analiticamente por uma função tal que:
F(x,y,z) = c Ou seja, F atua como uma função de classificação de pontos do domínio de F, de modo que é possível decidir se um ponto pertence ou não à superfície do objeto pela avaliação desta função. Também, um modelo implícito, pode ser descrito por amostragem discreta (gridded volumes and octree representations), sofrem das mesmas desvantagens das representações discretas 06/06/03 LCG-UFRJ

13 Vantagens Desvantagens Topologia a arbitraria
Testes do tipo inside/outside, collision detection Morphing, Blending, boolean operations Modelagem com CSG (Computer Solid Geometry) Fácil transformação para representação discreta por extração de iso-superficies. Representam bem a suavidade e podem ser avaliadas em resolução arbitraria Desvantagens Visualização custosa, uma vez que a avaliação de F não fornece diretamente um ponto na superfície do objeto. 06/06/03 LCG-UFRJ

14 D=f(x,y,z): Quão longe do objeto está?
Curva Implícita Curva Paramétrica D=f(x,y,z): Quão longe do objeto está? f(t): onde está a abelha no tempo t? 06/06/03 LCG-UFRJ

15 Classes de modelos implícitos
Superfícies implícitas algébricas: se a função que a define é polinomial. A superfície implícita dessa função é o conjunto dos pontos onde a função tem valor zero f(x,y,z)=0 [e.g. x2+y2+z2-r2=0] 06/06/03 LCG-UFRJ

16 Classes de modelos implícitos
Superfícies implícitas baseadas em esqueletos: A superfície implícita será gerada a partir dos pontos localizados a uma distância D do esqueleto (Blobby, Meta Balls, Soft Objects, etc.). Superfícies implícitas baseadas em amostras 06/06/03 LCG-UFRJ

17 Superfícies implícitas variacionais
O problema: Dados os pontos (restrições) {c1,c2,...,cn} e os escalares {h1,h2,...,hn} para cada um deles. ...procurar a função mais suave f(x) que interpole os pontos ci avaliando f(ci)= hi ,para i=1,...,n 06/06/03 LCG-UFRJ

18 Se definimos a palavra suave de um jeito particular, existe uma única solução para o problema.
A solução é uma função f(x) que satisfaça todas as restrições f(ci)= hi e que minimize o seguinte funcional E : Caso 2D: E mede a curvatura agregada de f(x) numa região de interesse Uma função suave que não tenha regiões de alta curvatura terá um valor pequeno de E 06/06/03 LCG-UFRJ

19 Há muitos métodos numéricos que são usados para resolver este problema:
Elementos finitos Diferenças finitas Estes métodos discretizam a região de interesse num conjunto de células e definem funções base locais sobre estas células Então, a função solução f(x) é expressa como uma combinação linear destas funções base Mas, a discretização origina funções que descrevem superfícies visivelmente escalonadas, tem dificuldade para representar detalhe fino e o custo do método cresce cubicamente com a resolução. 06/06/03 LCG-UFRJ

20 Para a interpolação em 3D a função base mais comumente usada é:
Uma solução alternativa é expressar a solução f(x) em termos de funções base radiais centradas nas restrições ci Extraordinariamente, é possível escolher as funções radiais de forma que resolvam automaticamente as equações diferenciais de E Para a interpolação em 3D a função base mais comumente usada é: x=(x,y,z) 06/06/03 LCG-UFRJ

21 Usando a função base radial apropriada está demonstrado que podemos escrever a função de interpolação f(x) desta forma: x=(x,y,z) f(x) é definida como o somatório de uma coleção de funções base radiais. Resolvendo para dj e para os coeficientes de P(x) sujeitos as restrições ci obtemos uma função que interpola as restrições e minimiza o funcional E. 06/06/03 LCG-UFRJ

22 Definição do problema:
Dado um conjunto de pontos ci, i=1,...,n e um conjunto de valores hi, i=1,...,n encontrar uma função interpolante f:R3-R tal que: Encontrar Considerando a ortogonalidade ou side conditions: (1) (2) 06/06/03 LCG-UFRJ

23 As equações (2) e (3) podem ser escritas na forma matricial, e assim obter di e pi:
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24 Características da matriz
A utilização da função base thin-plate origina uma matriz densa Os valores não-nulos aumentam fora da diagonal. A complexidade computacional cresce linearmente quando mais restrições são adicionadas Ordem de complexidade para armazenamento: O(n2) Ordem de complexidade para operações aritméticas: O(n3) 06/06/03 LCG-UFRJ

25 Funções base radiais Determina a continuidade e a suavidade da superfície representada A thin-plate energy (equivalente à energia de segunda ordem) não é suficiente para produzir superfícies localmente detalhadas Uma opção é usar uma função base que envolva primeiro, segunda e terceira ordem de energia. Produzirá uma matriz diagonalmente dominante, os valores não-nulos diminuem fora da diagonal; a qual pode ser corretamente manipula por o método dos gradientes conjugados 06/06/03 LCG-UFRJ

26 Função base multi-ordem
O incremento da complexidade em relação ao incremento de # de restrições é medianamente linear com a função base multi-ordem em comparação com a função base thin-plate. 06/06/03 LCG-UFRJ

27 Características da superfície resultante
Manifold Suave (smooth) Sem costuras (seamless) A função base multi-ordem produzirá modelos localmente mais detalhados mas mantendo sua suavidade global A função base thin-plate produzirá modelos demasiados suaves, resultando modelos de tipo arredondados (blobby) 06/06/03 LCG-UFRJ

28 Função base thin-plate (aproximadora) Função base gaussiana
Função base multi ordem 06/06/03 LCG-UFRJ

29 Detalhes da implementação
Pre-processamento 06/06/03 LCG-UFRJ

30 A operação de inflação Amostragem e suavisação das pontas 06/06/03
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31 Geração de restrições no plano Z=0 (surface constraints and exterior constraints)
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32 Geração de restrições no plano Z=n (surface constraints and exterior constraints)
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33 Renderização Poligonização: Marching Cubes 06/06/03 LCG-UFRJ

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37 Geração de restrições no plano Z=n usando Spine (surface constraints and exterior constraints)
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38 Arquitetura pipeline do sistema
Interfaces naturais Interfaces naturais Nova forma de interação com o usuário Manipulação direta O usuário expressa idéias através de traços e o computador faz uma determinada ação analisando as características perceptuais dos traços stroke User Interface Recognizer Reasoning Resolution Arquitetura pipeline do sistema 06/06/03 LCG-UFRJ

39 Desenho a mão livre Curvas e ambigüidade 06/06/03 LCG-UFRJ

40 Conclusões A análise das funções base radiais e do funcional de enegía utilizado permitem um maior controle sobre a superficie gerada. O fato de inferir a intenção do usuário (em função do traço feito) e executar a operação de edição apropriada não é uma tarefa simples. É difícil estabelecer regras gerais que abranjam todos os casos. 06/06/03 LCG-UFRJ

41 Próximos passos ... Múltiplos objetos Operações:
Merging Extrude Cutting Funções base anisotrópicas Interface natural, interativa e intuitiva 06/06/03 LCG-UFRJ

42 Referencias [1] IGARASHI T., MATSUOKA S., AND TANAKA H. Teddy: A Sketching Interface for 3D Freeform Design. In Proceedings of SIGGRAPH 99. [2] KARPENKO O., HUGHES J., AND RASKAR R. Free-form sketching with variational Implicit Surfaces. In Proceedings of EUROGRAPHICS 2002. [3] TURK G., AND O´BRIEN J. Modelling with Implicit Surfaces that Interpolate. ACM Transaction on Graphics, 2002. . . . 06/06/03 LCG-UFRJ