FÍSICA PARA ENGENHARIA ELÉTRICA

FÍSICA PARA ENGENHARIA ELÉTRICA
José Fernando Fragalli Departamento de Física – Udesc/Joinville SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO “A elegância, a riqueza, a complexidade e a diversidade dos fenômenos naturais que decorrem de um conjunto simples de leis universais é parte integrante do que os cientistas querem dizer quando empregam o termo beleza” – E. Schrödinger Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO
1. Introdução 2. Recombinação Direta e Indireta 3. Decaimento de Portadores Minoritários no Tempo 4. Difusão de Portadores 5. A Relação de Einstein 6. A Equação da Continuidade 7. Decaimento de Portadores Minoritários no Espaço 8. Exemplos de Aplicação Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

1. INTRODUÇÃO Bandas de energia Voltemos nossa atenção agora para a estrutura de bandas de um semicondutor. Os semicondutores são caracterizados por terem a banda de valência BV totalmente preenchida. Além disso, a 0 K a banda de condução BC está totalmente vazia. Por sua vez, o gap de energia não é muito grande (Eg  1 eV ), tal que elétrons podem ocupar a BC em T > 0. Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

1. INTRODUÇÃO Condução por elétrons e buracos Precisamente devido a ocupação de estados por elétrons na BC para T > 0, ocorre a desocupação simultânea de estados na BV. A figura abaixo descreve este comportamento de ocupação de estados por elétrons na BC e simultânea desocupação de estados na BV. Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

1. INTRODUÇÃO Buracos = estados desocupados na BV Estados desocupados (por elétrons) na BV também podem dar origem a processos de condução de portadores. Devemos ter mente que, do ponto de vista da Mecânica Quântica condutividade elétrica está associada a ocupação de estados eletrônicos. Assim, estados desocupados na BV podem ser ocupados por outros elétrons que ocupam níveis abaixo deles. Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

1. INTRODUÇÃO Elétrons livres na BC e buracos na BV A figura abaixo mostra este processo de ocupação e desocupação de estados na BV e na BC. 1) Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO 2. RECOMBINAÇÃO DIRETA E INDIRETA
Definição e exemplos de equilíbrio Na natureza existem dois tipos de equilíbrio: a) equilíbrio estático, no qual os objetos permanecem indefinidamente na mesma posição, a menos que sejam perturbados; - como exemplo, seja um tijolo repousando sobre uma superfície plana; b) equilíbrio dinâmico, no qual uma condição constante é mantida pelo balanceamento de movimento de entrada e saída de partículas. - como exemplo sejam moléculas evaporando de uma superfície líquida em equilíbrio com moléculas condensando do vapor. Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

Elétrons e buracos em equilíbrio dinâmico Elétrons na BC e buracos na BV estão em equilíbrio dinâmico. Um par elétron-buraco é gerado por cada elétron que “salta” (ganha energia) e vai para a BC, deixando um buraco (estado desocupado) na BV. Por sua vez, um par elétron-buraco é aniquilado quando um elétron na BC perde energia e retorna para a BV. 1) Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

Geração e recombinação de portadores Desta forma, existem dois processos distintos ocorrendo quando semicondutores são expostos à temperatura ou excitação luminosa. a) Geração de portadores: trata-se da criação de um par elétron-buraco devido à agitação térmica, e pode ser acelerado com aumento da temperatura ou exposição do semicondutor à radiação eletromagnética (luz). b) Recombinação de portadores: trata-se do processo inverso, isto é, a aniquilação de um par elétron-buraco, e ocorre quando elétrons voltam a ocupar o estado (energia) anteriormente ocupado por um buraco. 1) Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

O processo de recombinação de portadores pode ocorrer de duas formas distintas, conhecidas como recombinação direta e recombinação indireta. a) Recombinação direta: neste caso um elétron livre decai espontaneamente para um sítio (energia) originalmente “ocupado” por um buraco, como mostra a figura ao lado. 1) Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

Detalhes do processo de recombinação direta Como se vê pela figura abaixo, a energia do gap Eg é devolvida ao meio em forma de um pulso de energia eletromagnética na forma de um fóton de luz. Recombinação direta é o processo inverso da geração de um par elétron-buraco pela absorção de luz. 1) Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

Recombinação indireta a) Recombinação indireta: neste caso um elétron da BC inicialmente decai para um estado intermediário, conhecido como armadilha ou centro de recombinação, como mostra a figura ao lado. A seguir, ele pode decair em um buraco inicialmente desocupado, como mostrado na figura abaixo. 1) As armadilhas podem ser tanto átomos de impurezas quanto defeitos na rede cristalina. Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

Detalhes do processo de recombinação indireta Estas armadilhas introduzem níveis de energia localizados dentro do gap de energia. Admitindo que tal nível de energia esteja inicialmente vazio, um elétron pode ficar “detido” neste estado por um curto intervalo de tempo, como mostra a figura abaixo. 1) Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

Emissão de fónons no processo de recombinação indireta Enquanto estiver mantido na armadilha, o elétron interage fortemente com as vibrações térmicas da rede cristalina. O resultado desta interação é a emissão de energia térmica. Esta energia térmica é liberada em forma de um pacote de onda denominada fónon. 1) Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

Semicondutores de gap direto e de gap indireto Materiais semicondutores comuns tendem a revelar ou um outro tipo de comportamento quanto à recombinação. Silício (Si) e germânio (Ge) são chamados de semicondutores de gap indireto. Por outro lado, arseneto de gálio (GaAs) e suas ligas são semicondutores de gap direto. Do ponto de vista prático a importância do tipo de recombinação que cada material semicondutor executa está no fato que dispositivos semicondutores emissores de luz (LED’s e lasers de diodo) só podem ser fabricados com semicondutores de gap direto. 1) Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

Taxa de geração de portadores Definimos a grandeza taxa de geração de portadores G como a concentração de pares elétron-buraco criados por unidade de tempo. Como as concentrações de estados ocupados na BV e de estados desocupados na BC são praticamente constantes, a única dependência da taxa de geração G é com a temperatura T. A razão para isto é que a temperatura regula a excitação dos elétrons, controlando a ocupação dos estados na BC e a consequente desocupação de estados na BV. 1) Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

Taxa de recombinação de portadores Definimos a grandeza taxa de recombinação de portadores R como a concentração de pares elétron-buraco aniquilados por unidade de tempo. O processo de recombinação de portadores tem relação direta com as concentrações de estados ocupados na BC (n) e concentração de estado desocupados na BV (p). 1) Por outro lado, em um semicondutor de gap direto R não depende da temperatura, pois a recombinação é um processo exotérmico (necessita de energia para ocorrer). Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

Expressão matemática para R Numa primeira aproximação R deve depender do produto np. Nesta equação r é uma constante conhecida como coeficiente de recombinação. A equação acima é uma boa aproximação pois a chance de um elétron “encontrar” um buraco deve ser proporcional ao número de buracos. 1) Além disso, a taxa de perda de todos os elétrons também deve depender do número de elétrons presentes. Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

Taxa líquida de recombinação de portadores Definimos a grandeza taxa líquida de recombinação de portadores U como a diferença entre a taxa de recombinação e a taxa de geração de pares elétron-buraco. No equilíbrio a taxa líquida de recombinação é nula, e portanto as taxas de recombinação e de geração são iguais. 1) Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

Uma expressão para Req Usamos então a dependência de R com as concentrações n e p, que deve valer também para a situação de equilíbrio. Lembremos que, no equilíbrio o produto np define a já conhecida Lei de Ação das Massas. 1) Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

Uma expressão para Geq e para G(T) Voltamos então à condição de equilíbrio para obter uma expressão para Geq. Lembremos que G depende apenas da temperatura, e assim temos que G(T) = Geq. Usamos esta expressão para obter uma equação melhorada para U(T). 1) Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

Uma expressão para U(T) Assim, para um semicondutor em equilíbrio vale n = neq e p = peq, e portanto temos U(T) = 0. Ao excitarmos a amostra haverá geração de elétrons livres. Logo, temos que 1) Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

Uma melhor definição para U(T) A recombinação líquida positiva (U(T) > 0) indica que mais pares elétron-buraco estão se recombinando do que aqueles que estão sendo gerados. De fato, para cada evento de recombinação o número de elétrons (ou de buracos) diminui de uma unidade. Obtemos então a taxa de recombinação líquida como 1) Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

Uma equação diferencial para a recombinação Assim, após a excitação ser eliminada, a tendência do sistema será reduzir o número de portadores n e p até que U(T) seja novamente nula. Nesta situação n = neq e p = peq, que é a situação de equilíbrio. Obtemos então a seguinte equação diferencial que descreve a situação fora de equilíbrio. 1) Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO Portadores majoritários e minoritários Definimos portadores majoritários como sendo aquele que é maioria em um semicondutor. Por sua vez, definimos portadores minoritários como sendo aquele que é minoria em um semicondutor. Assim, para um semicondutor do tipo n, elétrons são os portadores majoritários (nn), enquanto que os buracos são os portadores minoritários (pn). Por outro lado, para um semicondutor do tipo p, buracos são os portadores majoritários (pp), enquanto que os elétrons são os portadores minoritários (np). Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO Efeito da excitação em semicondutores do tipo n A partir destas definições, vamos aplicar a equação desenvolvida acima. Seja inicialmente um semicondutor do tipo n, no qual vimos que os portadores majoritários são os elétrons e os portadores minoritários são os buracos. É fácil observar que quando provocamos algum tipo de excitação sobre o semicondutor dopado com impurezas doadoras, a população de elétrons pouco se altera, ao passo que a de buracos é fortemente influenciada pela excitação. Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO Neutralidade da carga em semicondutor do tipo n Após a excitação, temos uma nova situação. A neutralidade da carga a qualquer tempo implica que a seguinte equação seja válida. Como continuamos a ter n(t) >> p(t), então podemos concluir que a concentração de portadores majoritários (neste caso, os elétrons) praticamente não sofrerá alteração. Por outro lado, temos que o transiente será todo ele devido aos portadores minoritários (neste caso, os buracos). Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO Equação diferencial da “descarga” de buracos Assim, temos que A manipulação desta segunda equação nos conduz à equação diferencial mostrada abaixo. Nesta equação peq é a concentração de equilíbrio dos buracos (portadores minoritários). Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO Condições de contorno para a descarga de buracos Esta equação diferencial é de fácil solução. Impomos as seguintes condições de contorno para esta situação: a) para t = 0 admitimos que a excitação está “ligada” e que portanto a concentração de portadores minoritários é igual a um valor p0 que depende de como a excitação é conduzida. b) para um tempo t > 0 qualquer temos que p = p(t). Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO Solução da descarga de buracos Resolvemos então a equação diferencial com as condições de contorno descritas acima. Na equação ao lado p é tempo de vida médio dos buracos (portadores minoritários. p é uma constante que depende do material (a constante r) e da concentração de impurezas doadoras (ND). Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO Gráfico da “descarga” de buracos Apresentamos abaixo um gráfico que representa o comportamento dos portadores majoritários e minoritários ao longo do tempo durante o processo de recombinação. Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO Equação diferencial da “carga” de buracos Podemos estudar também a situação da excitação de buracos em semicondutor do tipo n. Neste caso, impomos que a taxa de criação de buracos é igual à taxa de geração menos a taxa de recombinação. Nesta equação G é a taxa de geração de buracos, que depende da forma como o semicondutor é excitado. Nesta equação peq é a concentração de equilíbrio dos buracos (portadores minoritários). Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO Condições de contorno para a “carga”a de buracos Esta equação diferencial também é de fácil solução. Impomos as seguintes condições de contorno para esta situação: a) para t = 0 admitimos que a excitação está “desligada” e que portanto a concentração de portadores minoritários é igual a peq. b) para um tempo t > 0 qualquer temos que p = p(t). Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO Solução da “carga” de buracos Resolvemos então a equação diferencial com as condições de contorno descritas acima. Na equação ao lado p é tempo de vida médio dos buracos (portadores minoritários. p é uma constante que depende do material (a constante r) e da concentração de impurezas doadoras (ND). Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO Gráfico da “carga” de buracos Apresentamos abaixo um gráfico que representa o comportamento dos portadores majoritários e minoritários ao longo do tempo durante o processo de excitação. Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO Gráfico da “carga” e “descarga” de buracos Apresentamos abaixo um gráfico que representa o comportamento dos portadores majoritários e minoritários ao longo do tempo durante o processo de excitação e de recombinação. Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO Efeito da excitação em semicondutores do tipo p Podemos aplicar os mesmos conceitos desenvolvidos acima para um semicondutor do tipo p. Neste caso, os portadores majoritários são os buracos enquanto que os portadores minoritários são os elétrons. Analogamente ao caso anterior, temos que quando provocamos algum tipo de excitação sobre o semicondutor dopado com impurezas aceitadoras, a população de buracos pouco se altera, ao passo que a de elétrons é fortemente influenciada pela excitação. Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO Neutralidade de carga em semicondutor do tipo p Após a excitação, temos uma nova situação. A neutralidade da carga a qualquer tempo implica que a seguinte equação seja válida. Como continuamos a ter p(t) >> n(t) , então podemos concluir que a concentração de portadores majoritários (neste caso, os buracos) praticamente não sofrerá alteração. Por outro lado, temos que o transiente será todo ele devido aos portadores minoritários (neste caso, os elétrons). Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO Equação diferencial da “descarga” de elétrons Assim, temos que A manipulação desta segunda equação nos conduz à equação diferencial mostrada abaixo. Nesta equação neq é a concentração de equilíbrio dos elétrons (portadores minoritários). Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO Condições de contorno A solução desta equação diferencial é obtida de forma análoga ao caso anterior. Impomos agora as seguintes condições de contorno para esta situação: a) para t = 0 admitimos que a excitação está “ligada” e que portanto a concentração de portadores minoritários é igual a um valor n0 que depende de como a excitação é conduzida. b) para um tempo t > 0 qualquer temos que n = n(t). Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO Solução da descarga de elétrons Resolvemos então a equação diferencial com as condições de contorno descritas acima. Na equação ao lado n é tempo de vida médio dos elétrons (portadores minoritários. n é uma constante que depende do material (a constante r) e da concentração de impurezas aceitadoras (NA). Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO Gráfico da “descarga” de elétrons Apresentamos abaixo um gráfico que representa o comportamento dos portadores majoritários e minoritários ao longo do tempo durante o processo de recombinação. Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO Equação diferencial da “carga” de elétrons Podemos estudar também a situação da excitação de buracos em semicondutor do tipo p. Neste caso, impomos que a taxa de criação de buracos é igual à taxa de geração menos a taxa de recombinação. Nesta equação G é a taxa de geração de buracos, que depende da forma como o semicondutor é excitado. Nesta equação peq é a concentração de equilíbrio dos buracos (portadores minoritários). Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO Condições de contorno para a “carga”a de buracos Esta equação diferencial também é de fácil solução. Impomos as seguintes condições de contorno para esta situação: a) para t = 0 admitimos que a excitação está “desligada” e que portanto a concentração de portadores minoritários é igual a neq. b) para um tempo t > 0 qualquer temos que n = n(t). Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO Solução da “carga” de buracos Resolvemos então a equação diferencial com as condições de contorno descritas acima. Na equação ao lado p é tempo de vida médio dos buracos (portadores minoritários. p é uma constante que depende do material (a constante r) e da concentração de impurezas doadoras (ND). Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO Gráfico da “carga” de buracos Apresentamos abaixo um gráfico que representa o comportamento dos portadores majoritários e minoritários ao longo do tempo durante o processo de excitação. Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

3. DECAIMENTO DE PORTADORES MINORITÁRIOS NO TEMPO Gráfico da “carga” e “descarga” de buracos Apresentamos abaixo um gráfico que representa o comportamento dos portadores majoritários e minoritários ao longo do tempo durante o processo de excitação e de recombinação. Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

4. DIFUSÃO DE PORTADORES Efeitos do transiente sobre o deslocamento de portadores Vamos discutir agora o efeito de situações fora do equilíbrio sobre o processo de deslocamento de cargas em semicondutores. Estudaremos então a existência de correntes elétricas em situações fora do equilíbrio. Em situações de equilíbrio já analisamos o efeito de campos elétricos externos sobre o deslocamento de portadores de cargas em semicondutores. 1) Neste caso ocorre o que denominamos correntes de deslocamento (ou de deriva – drift), que é diretamente proporcional ao campo elétrico aplicado. Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

4. DIFUSÃO DE PORTADORES Correntes de deslocamento A relação entre densidade de corrente elétrica de deslocamento e campo elétrico já foi vista anteriormente e as suas expressões são dadas abaixo. Além destas correntes de deslocamento existe outro tipo de corrente elétrica. 1) Neste outro tipo de movimento os portadores de carga se movem em função da agitação térmica, deslocando-se de regiões de alta concentração para as de baixa concentração. Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

4. DIFUSÃO DE PORTADORES Correntes de difusão Assim, o “motor” desta nova modalidade de corrente elétrica é a eventual diferença de concentração de portadores que pode existir em um semicondutor. Tecnicamente esta diferença de concentração é denominada gradiente de concentração. A esta nova modalidade de corrente elétrica denominamos corrente de difusão. O nome corrente de difusão alude ao fato que este movimento de portadores ocorre de forma difusa no sentido de diminuir o gradiente de concentração existente no semicondutor. 1) Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

4. DIFUSÃO DE PORTADORES O processo de difusão Assim, o processo de difusão de portadores ocorrerá em qualquer meio desde que: a) tais portadores se movam em movimento aleatório; b) exista no meio um gradiente de concentração. O fluxo de partículas no processo de difusão, isto é, o número de partículas que atravessa uma dada seção por unidade de área e por unidade de tempo é dada pela Lei de Fick, mostrada ao lado. 1) Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

4. DIFUSÃO DE PORTADORES O coeficiente de difusão Na Lei de Fick, D é uma constante denominada coeficiente de difusão, que depende do tipo de partícula envolvida no processo e do material onde ele ocorre. No Sistema Internacional o coeficiente de difusão D tem a unidade m2/s. O sinal negativo presente na Lei de Fick indica que o fluxo de partículas se dá no sentido de diminuir o gradiente de concentração existente no meio. O fluxo de partículas é transformado em densidade de corrente elétrica multiplicando dif pela carga elétrica do portador e substituindo dN/dx pelo gradiente de concentração. 1) Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

4. DIFUSÃO DE PORTADORES A densidade de corrente de difusão Desta forma obtemos uma expressão geral para a densidade de corrente elétrica de um portador de carga q a uma dada concentração C, a qual é expressa abaixo. 1) Vamos agora adaptar este resultado para o caso de um semicondutor no qual sabemos que temos dois tipos de portadores envolvidos no processo de transporte de cargas. Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

4. DIFUSÃO DE PORTADORES Densidade de corrente de difusão para elétrons e buracos No caso dos estados ocupados na BC (elétrons) temos que q = -e e C = n. Já no caso dos estados desocupados na BV (buracos) temos que q = +e e C = p. 1) Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

4. DIFUSÃO DE PORTADORES Densidade de corrente total para elétrons No caso geral, os portadores de carga em um semicondutor estão sujeitos aos dois tipos de processos, tanto o deslocamento (deriva – drift), quanto a difusão. Assim, no caso geral escrevemos a densidade total de corrente para cada tipo de portador. Para elétrons temos então as equações mostradas ao lado. 1) Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

4. DIFUSÃO DE PORTADORES Densidade de corrente total para buracos Já para o caso dos buracos, temos então as equações mostradas abaixo. 1) Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

4. DIFUSÃO DE PORTADORES A importância do processo de difusão de portadores O processo de difusão de portadores é particularmente importante quando provocamos deliberadamente um gradiente de concentração ao longo de um semicondutor. Isto ocorre quando, por exemplo, criamos uma região de junção onde de um lado temos um semicondutor do tipo n (com excesso de elétrons) e de outro um semicondutor do tipo p (com excesso de buracos). É o caso da formação de um diodo, onde temos uma separação espacial de elétrons e buracos, e do transistor, onde temos duas junções. 1) Estes casos serão estudados em detalhes mais adiante. Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

5. A RELAÇÃO DE EINSTEIN Semicondutores intrínsecos É possível mostrar que existe uma relação direta entre o coeficiente de difusão e a mobilidade dos portadores de carga. Esta relação é mostrada abaixo. Abaixo mostramos esta equação aplicada a elétrons e buracos. 1) Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

4. DIFUSÃO DE PORTADORES Valores do coeficiente de difusão para alguns materiais Ao lado mostramos um esquema do deslocamento de cargas devido ao processo de difusão. Abaixo mostramos uma tabela com valores dos coeficientes de difusão para alguns semicondutores a 300 K. Material Dn (m2/Vs) Dp (m2/Vs) Si InSb Ge GaP GaAs InP 1) Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

SEMICONDUTORES FORA DO EQUILÍBRIO 6. A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
Dependência espacial e temporal dos portadores de carga No caso mais geral possível as concentrações de elétrons e buracos variam tanto no tempo como no espaço. Os mecanismos que determinam tal dependência são listados abaixo. a) processos de geração e recombinação; b) correntes de deslocamento devido a aplicação de campo elétrico externo; c) correntes de difusão devido a existência de gradientes de concentração. Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

A Conservação da Carga Elétrica O nosso objetivo passa a ser obter uma equação diferencial que envolva estes fatores citados acima. Uma equação diferencial que leve em conta todos estes fenômenos permite que obtenhamos as concentrações de portadores em qualquer situação. O método para obtenção desta equação diferencial baseia-se no Princípio da Conservação da Carga Elétrica. Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

A Conservação da Carga Elétrica Considere a variação da quantidade de carga existente em um volume diferencial dV ocorrendo em um intervalo infinitesimal de tempo dt. Considere que tal variação ocorra pelas cargas livres criadas pelo processo de geração de portadores e destruídas pelo processo de recombinação de portadores. Considere ainda que esta variação promova o fluxo de portadores (correntes elétricas) que entram e saem das fronteiras do elemento de volume dV. Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

Efeito em um semicondutor do tipo n Como fizemos em casos anteriores, vamos analisar um tipo específico de semicondutor, com as respectivas variações nas concentrações dos portadores. Seja então um elemento de volume dV de um semicondutor do tipo n, no qual tenhamos elevada dopagem de impurezas doadoras. Como já foi visto, as variações de concentração, tanto espaciais quanto temporais são relevantes apenas para os portadores minoritários.. No caso de um semicondutor do tipo n, os portadores minoritários são os buracos. Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

Balanço de cargas em um elemento de volume Vamos então fazer um balanço da quantidade de cargas existentes neste elemento de volume dV. A taxa de variação do número de buracos com o tempo em dV ocorre devido aos processos de geração e recombinação. Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

Hipótese para os processos de geração e recombinação Adotamos aqui a mesma hipótese feita anteriormente que n  ND >> p = peq – p’. Neste caso, já obtivemos a equação diferencial para o transiente dos portadores minoritários. Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

Participação da corrente de deslocamento Vamos agora calcular o número de buracos que entram por unidade de tempo no elemento dV no ponto x, devido à corrente de deslocamento, com campo elétrico constante. Analogamente, calculamos o número de buracos que saem por unidade de tempo no elemento dV no ponto x + x. Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

Resultado da corrente de deslocamento Com estes dois resultados, calculamos a taxa de variação no número de buracos no elemento dV devido à corrente de deslocamento. Com o uso do conceito de diferencial, obtemos a equação mostrada abaixo. Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

Participação da corrente de difusão Vamos agora calcular o número de buracos que entram por unidade de tempo no elemento dV no ponto x, devido à corrente de difusão. Analogamente, calculamos o número de buracos que saem por unidade de tempo no elemento dV no ponto x + x. Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

Resultado da corrente de difusão Com estes dois resultados, calculamos a taxa de variação no número de buracos no elemento dV devido à corrente de difusão. Com o uso do conceito de diferencial, obtemos então a equação mostrada abaixo. Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

Resultado da soma de todos os efeitos A taxa de variação do número total de buracos no elemento dV é igual à soma das três taxas calculadas anteriormente. Após uma simples manipulação, chegamos à seguinte equação diferencial. Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

A corrente total de buracos A última equação obtida pode ser condensada e expressa em termos da densidade de corrente total de buracos. Assim, obtemos a Equação da Continuidade para os portadores minoritários (buracos) em um semicondutor do tipo n. Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

A Equação da Continuidade para buracos A Equação da Continuidade obtida acima pode ser expressa em termos mais gerais, considerando o movimento tridimensional dos portadores de carga. Neste caso, tratamos a densidade de cargas em sua forma vetorial. Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

A Conservação da Carga Elétrica Seja agora um elemento de volume dV de um semicondutor do tipo p, no qual tenhamos elevada dopagem de impurezas aceitadoras. Insistimos mais uma vez que as variações de concentração, tanto espaciais quanto temporais são relevantes apenas para os portadores minoritários.. No caso de um semicondutor do tipo p, os portadores minoritários são os elétrons. Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

A Conservação da Carga Elétrica Vamos então fazer um balanço da quantidade de cargas existentes neste elemento de volume dV. A taxa de variação do número de elétrons com o tempo em dV ocorre devido aos processos de geração e recombinação. Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

A Conservação da Carga Elétrica Adotamos aqui a mesma hipótese feita anteriormente que p  NA >> n = neq – n’. Neste caso, já obtivemos a equação diferencial para o transiente dos portadores minoritários. Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

A Conservação da Carga Elétrica Vamos agora calcular o número de elétrons que entram por unidade de tempo no elemento dV no ponto x, devido à corrente de deslocamento, com campo elétrico constante. Analogamente, calculamos o número de elétrons que saem por unidade de tempo no elemento dV no ponto x + x. Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

A Conservação da Carga Elétrica Com estes dois resultados, calculamos a taxa de variação no número de elétrons no elemento dV devido à corrente de deslocamento. Com o uso do conceito de diferencial, obtemos então Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

A Conservação da Carga Elétrica Vamos agora calcular o número de elétrons que entram por unidade de tempo no elemento dV no ponto x, devido à corrente de difusão. Analogamente, calculamos o número de elétrons que saem por unidade de tempo no elemento dV no ponto x + x. Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

A Conservação da Carga Elétrica Com estes dois resultados, calculamos a taxa de variação no número de elétrons no elemento dV devido à corrente de difusão. Com o uso do conceito de diferencial, obtemos então Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

A Conservação da Carga Elétrica A taxa de variação do número total de elétrons no elemento dV é igual à soma das três taxas calculadas anteriormente. Após uma simples manipulação, chegamos à seguinte equação diferencial. Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

A Conservação da Carga Elétrica A última equação obtida pode ser condensada e expressa em termos da densidade de corrente total de elétrons. Assim, obtemos a Equação da Continuidade para os portadores minoritários. Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

A Conservação da Carga Elétrica A Equação da Continuidade obtida acima pode ser expressa em termos mais gerais, considerando o movimento tridimensional dos portadores de carga. Neste caso, tratamos a densidade de cargas em sua forma vetorial. Física para Engenharia Elétrica – Semicondutores fora do Equilíbrio

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