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BCC244 Strings, Linguagens, Autômatos. Agenda Hoje Strings Linguagens Autômato Finito Determinista Para a próxima aula: Leia até antes do Cap. 1.2 (Sipser)

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1 BCC244 Strings, Linguagens, Autômatos

2 Agenda Hoje Strings Linguagens Autômato Finito Determinista Para a próxima aula: Leia até antes do Cap. 1.2 (Sipser)

3 Alfabetos, Strings, Linguagens DEF: Um alfabeto é um conjunto finito de símbolos (caracteres, letras). Um string (ou palavra) sobre é uma sequência finita de símbolos. O string vazio é um string que não contém nenhum símbolo, e é denotado por

4 Alfabetos, Strings, Linguagens DEF: O comprimento de um string é o número de símbolos que ele contém (repetições são permitidas). EX: Os comprimentos dos strings (QDD, DQD, DDQ, QQQQDD) são: 3, 3, 3, 6 Q: Qual é o comprimento de ?

5 Alfabetos, Strings, Linguagens DEF: Dados os strings u e v, denotamos sua concatenação por u v, ou simplesmente uv. EX: aba cate = abacate, QQ DD = QQDD, Q1: Defina concatenação recursivamente. Q2: Obtenha uma fórmula para u v

6 Alfabetos, Strings, Linguagens R1: v = v a:u v = a:(u v) R2: u v u + v

7 Alfabetos, Strings, Linguagens DEF: reverso de um string u é denotado por u R. EX: (banana) R = ananab DEF: denota o conjunto de todos os strings sobre o alfabeto Uma linguagem sobre é um subconjunto de, i.e. um conjunto de strings, sendo cada um uma sequência de símbolos de

8 Alfabetos, Strings, Linguagens EX: D, Q, D, Q, DD, DQ, QD, QQ, DDD, DDQ, DQD, DQQ, QDD, QDQ, QQD, QQQ, DDDD, DDDQ, …

9 9 Operações Regulares – Tabela Resumo OperaçãoSimboloVersão UNIXSignificado União | casa um dos padrões Concatenação implicito em UNIX casa os padrões em sequencia Kleene- star ** casa o padrão 0 ou mais vezes Kleene- plus ++ casa o padrão 1 ou mais vezes

10 10 Operações Regulares - Concatenação Seja: L = {aardvark, bobcat, chimpanzee} Q: Qual é a linguagem resultante de concatenar L com ela própria: L L ?

11 11 Operações Regulares - Concatenação A: L L = {aardvark, bobcat, chimpanzee} = {aardvarkaardvark, aardvarkbobcat, aardvarkchimpanzee, bobcataardvark, bobcatbobcat, bobcatchimpanzee, chimpanzeeaardvark, chimpanzeebobcat, chimpanzeechimpanzee} Q1: O que é L ? Q2: O que é L Ø ?

12 12 Algebra de Linguagens A1: L = L. De modo geral, é a identidade da algebra de linguagens. I.e., se pensarmos na concatenação como sendo multiplicação, age como o número 1. A2: L Ø = Ø. Dualmente a, Ø age como o número zero, obliterando qq string com o qual é concatenado. Nota: Na analogia entre números e linguagens, a adição corresponde à união e a multiplicação corresponde à concatenação, formando assim uma algebra.

13 13 Operações Regulares – Kleene-* Computabilidade: Considere a linguagem B = { ba, na } Q: Qual é a linguagem B * ?

14 14 Operações Regulares – Kleene-* A: B * = { ba, na }*= {, ba, na, baba, bana, naba, nana, bababa, babana, banaba, banana, nababa, nabana, nanaba, nanana, babababa, bababana, … }

15 15 Operações Regulares – Kleene-+ Kleene-+ é tal como Kleene-* exceto que o padrão deve ocorrer pelo menos uma vez. B + = { ba, na } + = {ba, na, baba, bana, naba, nana, bababa, babana, banaba, banana, nababa, nabana, nanaba, nanana, babababa, bababana, … }

16 16 Linguagens Regulares DEF: Linguagens regulares são aquelas que podem ser geradas a partir de linguagens finitas pela aplicação de operações regulares. Q: Podemos começar a partir de linguagens ainda mais básicas que linguagens finitas arbitrárias?

17 17 Linguagens Regulares R: Sim. Podemos começar com linguagens que consistem de um único string, os quais consistem de um único caractere. Essas são chamadas linguagens regulares atômicas. EX: Para gerar a linguagem finita L = { banana, nab } Podemos começar com as linguagens atômicas A = {a}, B = {b}, N = {n}. Então podemos expressar L como: L = (B A N A N A) (N A B )

18 18 Exemplos de Linguagens Números primos unários: { 11, 111, 11111, , , … } = {1 2, 1 3, 1 5, 1 7, 1 11, 1 13, … } = { 1 p | p é um número primo } Quadrados unários: {, 1, 1 4, 1 9, 1 16, 1 25, 1 36, … } = { 1 n | n é um quadrado perfeito } Strings de bits que são palíndromos: {, 0, 1, 00, 11, 000, 010, 101, 111, …} = {x {0,1}* | x = x R } Veremos mais adiante de que classe são essas linguagens.

19 Exercícios Recomendados Sipser pag. 26: 2, 3

20 Autômato Finito Determinista esta seta denota inicio círculo duplo denota aceita entrada em fita lida da esquerda p/ direita

21 Autômato Finito Determinista

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26 REJEITA!

27 Autômato Finito Determinista Q: Que tipos de bitstrings são aceitos?

28 Autômato Finito Determinista R: Bitstrings que representam números binários pares.

29 Autômato Finito Determinista Exercicio: Projete uma máquina que determina quando um string de entrada é um número na base-10 divisível por 3 Qual deve ser o alfabeto? Como você pode determinar se um número é divisível por 3?

30 Autômato Finito Determinista Solução: 0 mod 3 1 mod 3 2 mod 3 0,3,6,9 1,4,7 2,5,8

31 Definição Formal de FA DEF: Um autômato finito (determinista) (FA) consiste de um conjunto de estados Q, um alfabeto, transições rotuladas entre estados, um estado inicial q 0 Q, e um conjunto de estados de aceitação F. M = (Q,,, q 0, F )

32 Porque Determinista? Determinista significa que existe informação suficiente para sempre determinar qual é o próximo estado para o qual vai o autômato, ao ler um dado símbolo.

33 0 mod 3 1 mod 3 2 mod 3 0,3,6,9 1,4,7 2,5,8 Exercicio: Obtenha a descrição formal deste autômato.

34 Definição de FA, exemplo Q = { 0 mod 3, 1 mod 3, 2 mod 3 } ( renomeie: {q 0, q 1, q 2 } ) = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } q 0 = 0 mod 3 F = { 0 mod 3 } – requer explicação adicional

35 A função de transição Determina o estado para o qual vai o autômato, dado o estado corrente e o símbolo corrente na entrada. I.e., dado um estado q Q e um símbolo a, define um único estado alvo q Q. Em outras palavras, é uma função do produto Cartesiano Q x em Q :

36 A função de transição

37 Usualmente a função de transição não tem uma definição tal como nesse caso, dada por uma fórmula simples.

38 Definição Formal de FA: Dinâmica Como um FA opera sobre um string? Existe implicitamente a noção de uma fita que contém o string. O FA lê a fita da esquerda para a direita e cada caractere faz com que o autômato vá para um novo estado, definido pela função. Quando o string é lido completamente, ele é aceito ou não, conforme o estado final do FA seja ou não um estado de aceitação.

39 Definição Formal de FA: Dinâmica DEF: Um string u é aceito por um autômato se o caminho rotulado por u, a partir do estado inicial q 0, termina em um estado de aceitação. Nota: Para definir precisamente o que significa um caminho rotulado por um string, aplicamos repetidamente à sequência de caracteres de u, guardando a sequência de estados correspondente. Veja Sipser para maiores detalhes.

40 Linguagem aceita por um FA DEF: A linguagem aceita por um FA M é o conjunto de todos os strings que são aceitos por M e é denotada por L (M ). Intuitivamente, pense em todos os possíveis caminhos que levam do estado inicial a um estado de aceitação do autômato. Então pense em todas as possíveis maneiras de rotular esses caminhos (caso existam múltiplos rótulos em algumas setas).

41 Linguagens Regulares Veremos mais adiante que nem toda linguagem pode ser descrita como uma linguagem aceita por um FA. Uma linguagem que é aceita por algum FA exibe um alto grau de regularidade. THM: Toda linguagem L para a qual existe um FA M tal que L = L (M ) é uma linguagem regular

42 Exercício Defina um FA que aceita a linguagem L sobre o alfabeto {0,1} cujos strings começam com 0 e terminam com 10 ou com 11

43 Exercícios Recomendados Sipser pags 83, 84: 1, 2, 3 e 4


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