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O problema da divisão das apostas e outras histórias Carlos Tenreiro Departamento de Matemática Universidade de Coimbra Escola Superior de Tecnologia e.

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Apresentação em tema: "O problema da divisão das apostas e outras histórias Carlos Tenreiro Departamento de Matemática Universidade de Coimbra Escola Superior de Tecnologia e."— Transcrição da apresentação:

1 O problema da divisão das apostas e outras histórias Carlos Tenreiro Departamento de Matemática Universidade de Coimbra Escola Superior de Tecnologia e Gestão Guarda, 23 de Novembro de 2006

2 Paradoxo Opinião contrária à opinião comum ou ao sentir comum; Contradição ou contra-senso, pelo menos aparente; Coisa que não liga bem com outra; Coisa incrível; Discordância, discrepância, desarmonia.

3 Paradoxo do dia de aniversário Se não mais que 365 pessoas estiverem reunidas, é possível que todas tenham um dia de aniversário diferente. Com 366 pessoas é certo que pelo menos duas delas têm o mesmo dia de aniversário.

4 Paradoxo do dia de aniversário Se 57 pessoas estiverem reunidas, qual é a probabilidade de pelo menos duas terem o mesmo dia de aniversário? Com certeza deve ser pequena...

5 Paradoxo do dia de aniversário Probabilidade = resultados favoráveis resultados possíveis Para resultados igualmente prováveis:

6 Paradoxo do dia de aniversário 2 pessoas … 365 1,2,3,…,365 … 1,2,3,…, x 365 resultados possíveis resultados possíveis

7 Paradoxo do dia de aniversário 2 pessoas … resultados favoráveis … 365 resultados favoráveis

8 Paradoxo do dia de aniversário Para 2 pessoas a probabilidade pedida é igual a = Em 0.27% das reuniões com 2 pessoas, essas duas pessoas têm o mesmo dia de aniversário

9 Paradoxo do dia de aniversário Probabilidade = 1 - resultados desfavoráveis resultados possíveis Para resultados igualmente prováveis:

10 Paradoxo do dia de aniversário 2 pessoas … 365 2,3,…,365 1,3,…,365 1,2,…,365 … 1,2,…, x 364 resultados desfavoráveis resultados desfavoráveis

11 Paradoxo do dia de aniversário Para 2 pessoas a probabilidade pedida é igual a =

12 Paradoxo do dia de aniversário 3 pessoas 365 x 365 x 365 resultados possíveis 365 resultados possíveis

13 Paradoxo do dia de aniversário 3 pessoas 365 x 364 x 363 resultados desfavoráveis resultados desfavoráveis

14 Paradoxo do dia de aniversário Para 3 pessoas a probabilidade pedida é igual a = Em 0.82% das reuniões com 3 pessoas, há pelo menos duas que têm o mesmo dia de aniversário

15 Paradoxo do dia de aniversário Fórmula de cálculo para 2 pessoas Fórmula de cálculo para 3 pessoas

16 Paradoxo do dia de aniversário Fórmula de cálculo para 57 pessoas = !!!

17 Paradoxo do dia de aniversário Em 99.01% das reuniões com 57 pessoas, há pelo menos duas que têm o mesmo dia de aniversário

18 Paradoxo do dia de aniversário nºP P P 20.27% % % % % % % % %

19 Paradoxo do dia de aniversário Não devemos confundir o problema anterior com o seguinte: Qual é a probabilidade de alguém nesta sala ter o mesmo dia de aniversário que eu?

20 Paradoxo do dia de aniversário 3 pessoas além de mim 364 x 364 x resultados desfavoráveisresultados possíveis eu x 365 x

21 Paradoxo do dia de aniversário nºP P P % % % % % % % % %

22 O paradoxo das coincidências Numa festa de natal os alunos de uma escola decidem dar presente uns aos outros. Cada um traz um presente que é misturado com os outros presentes. Os presentes são distribuídos ao acaso pelos alunos.

23 O paradoxo das coincidências Este procedimento é usado acreditando-se que, se o número de alunos for grande, a probabilidade de alguém receber o seu próprio presente deve ser muito pequena... Será isto verdade?

24 O paradoxo das coincidências Este problema é referido por Pierre Rémond de Montmort ( ) em 1708.

25 O paradoxo das coincidências Este problema é referido por Pierre Rémond de Montmort ( ) em Uma tal probabilidade é dada por:

26 O paradoxo das coincidências nºP P P

27 O paradoxo das coincidências nºP P P 1100%

28 O paradoxo das coincidências nºP P P 1100%47 250%58 369

29 O paradoxo das coincidências nºP P P 1100%47 250% %69

30 O paradoxo das coincidências nºP P P 1100%462.5%7 250% %69

31 O paradoxo das coincidências nºP P P 1100%462.5%7 250%563.33% %69

32 O paradoxo das coincidências nºP P P 1100%462.5%7 250%563.33% %663.19%9

33 O paradoxo das coincidências nºP P P 1100%462.5%763.21% 250%563.33% %663.19%9

34 O paradoxo das coincidências nºP P P 1100%462.5%763.21% 250%563.33%863.21% %663.19%9

35 O paradoxo das coincidências nºP P P 1100%462.5%763.21% 250%563.33%863.21% %663.19%963.21%

36 O paradoxo das coincidências

37 Bibliografia Deheuvels, Paul (1990) La Probabilité, le Hasard et la Certitude, PUF. Hald, Anders (1990) A history of probability and statistics and their applications before 1750, Wiley. Laplace, Pierre-Simon (1812) Essai Philosophique sur les probabilités. Székely, Gábor J. (1986) Paradoxes in probability theory and mathematical statistics, Reidel.


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