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PublicouHugo Castelo Alterado mais de 10 anos atrás
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Reconstrução de Curvas com Algoritmos de Crust , B-Skeleton e Gathan
Antonio Luiz Vitalo Calomeni Rodrigo de Souza Lima Espinha Manuel Eduardo Loaiza Fernández
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Motivação Problema Reconhecimento de fronteiras de objetos. Dados: amostras de pontos. Exemplo: visão computacional. Necessidade de definir uma curva baseada na amostragem dada.
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Objetivo A partir de uma amostragem de pontos obtermos a melhor reconstrução possível da(s) curva(s) definida(s) por esses pontos.
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Algoritmos Desenvolvidos
Crust , B-Skeleton e Gathan. Critério de Reconstrução se baseia na densidade da amostragem de pontos. Utilizam a Triangulação de Delaunay e Diagrama de Voronoi como ferramentas básicas para definição das arestas candidatas a serem parte da curva reconstruída.
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Algoritmo Crust Seja S um conjunto finito de pontos no plano, e V os vértices do diagrama de Voronoi de S ( vor(S) ). Seja S’ a união S U V, e considere a triangulação de Delaunay de S’ ( del(S’) ).
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Algoritmo Crust Uma aresta da triangulação de Delaunay de S’ pertence ao Crust de S se ambos os vértices pertencem a S, ou alternativamente, se há um disco vazio em seu interior de pontos de S’ que toca os vértices da aresta.
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Algoritmo Crust CRUST( S )
1. V <- conjunto de vértices do diagrama de Voronoi de S. 2. S' <- S U V 3. Obter a triangulação de Delaunay de S'. 4. Selecionar todas as arestas de del( S' ) que ligam pontos do conjunto S original. A complexidade será de O(n*logn).
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Algoritmo B - Skeleton Beta : 1, 3/2, 2 Seja S um conjunto finito de pontos no plano, com pontos s1 e s2 pertencentes a S, a uma distância d(s1, s2) entre si. A região proibida de s1,s2 é a união dos dois discos de raio beta*d(s1, s2) / 2 tocando s1 e s2.
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Região proibida pela área dos círculos
Algoritmo B - Skeleton BETA_SKELETON( S, beta ) 1. Obter a triangulação de Delaunay de S. 2. Selecionar todas as arestas e, pertencentes a del( S ), para as quais os centros dos circuncírculos dos triângulos adjacentes a e estão em lados opostos em relação a e, e seu raio é maior que : (beta/2)*(comprimento(e)). A complexidade será de O(n*logn). Região proibida pela área dos círculos
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Algoritmo B - Skeleton Aqui fazemos uma comparação dos possíveis resultados para uma amostra de pontos com os algoritmos Crust e B – Skeleton. Crust Skeleton
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Condições de amostragem
Garantir qualidade da reconstrução. “Local Feature Size” Relativo ao eixo medial LFS(p) = d(p, m)
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Condições de amostragem
Eixo medial
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Condições de amostragem
Curva r-amostrada
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Condições de amostragem
Triangulação de Delaunay contém os pares de arestas adjacentes da curva. r >= 1 Pode não haver reconstrução única para a curva.
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Critérios para a amostragem
Crust r < 0.4 Contém as arestas que conectam os vértices adjacentes da curva reconstruída. r < 0.252 Não contém arestas entre vértices não adjacentes da curva reconstruída. Condição de amostragem: r < 0.252
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Critérios para a amostragem
Beta-Skeleton Beta = 1.7 Maximiza o espaçamento permitido entre as amostras. r < 0.297
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Comentários adicionais
Crust e Beta-Skeleton não tratam curvas com “sharp corners” corretamente. LFS(p) obriga amostragem infinita nesses locais. Variação de beta introduz alguma flexibilidade. Em geral, obtivemos melhores resultados utilizando Crust…
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Algoritmo Gathan Trata sharp corners Regulável por dois parâmetros
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Trabalhos anteriores Algoritmo proposto por Gielsen, baseado no problema do Caixeiro Viajante Dado que a densidade da amostragem é maior que um valor de referência, a curva é reconstruída, mesmo com sharp corners
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Algoritmo de Gielsen Algoritmo não funciona para vários componentes (solução exige conexão) Não é clara a generalização para três dimensões
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Algoritmo Gathan Condição de amostragem deve ser modificada: seguindo a regra de Crust, é necessária uma amostragem infinita perto dos cantos. Eixo medial (não encosta no canto)
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Algoritmo Gathan Condição de Crust não é suficiente: “Ideal” Crust
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Condições Iniciais Curva planar e simples, podendo ter vários componentes. Tangentes à esquerda e à direita de qualquer ponto são definidas e iguais, exceto nos cantos. Curva pode ser fechada ou aberta. Vizinhança dos cantos devem ser bem amostradas (alta densidade).
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Normais das Amostras O algoritmo necessita da estimativa das normais das amostras. normal estimada
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Estimando as Normais Técnica de “poles”.
Dada uma amostra, seu “pole” é o vértice de Voronoi mais distante, pertencente à sua célula de Voronoi. pole amostra
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Estimando as Normais Se a célula é limitada: Se a célula é ilimitada:
A estimativa da normal é dada pela linha que corta a amostra e seu “pole”. Se a célula é ilimitada: A estimativa é dada pela média dos raios ilimitados da célula.
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Tratando Cantos Caso 1: p3 se comporta como corner point, normal ok
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Tratando Cantos Caso 2: p1 e p2 são corner points.
Estimativa da normal errada em ambos os pontos. Pode levar a arestas incorretas. Um pós-processamento corrige.
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Condição de Amostragem
A condição de Crust funciona bem para curvas suaves. Logo, pode-se utilizá-la ao longo da curva e definir uma outra na “vizinhança” de um canto, pois neste caso a condição de Crust não funciona.
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Condição de Amostragem
O que seria a “vizinhança” de um canto? Conceito de protective ball protective ball de g g eixo medial
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Condição de Amostragem
Se um ponto p da curva está dentro de uma protective ball, deve-se possuir uma amostra de distância no máximo: k . r . ө k constante empírica (1/6) r raio da protective ball ө ângulo entre as tangentes de g Fora da protective ball: mesma condição de Crust.
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Funcionamento Técnica de Vizinhos mais próximos:
Estratégia para reconstrução de curvas onde conecta-se as amostras com seus vizinhos mais próximos, em cada lado da normal estimada. Algumas restrições: ângulo e rateio Remoção de arestas inválidas
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Condição de ângulo A aresta pq só é candidata se sua normal faz um ângulo agudo menor que α com a normal da amostra. α parâmetro fornecido pelo usuário (entre 35 e 40 graus na maioria dos casos)
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Condição de rateio h/l > ρ h comprimento do dual (voronoi)
l comprimento da aresta ρ parâmetro fornecido pelo usuário (1.7)
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Remoção de arestas Ainda assim, podem ter arestas inválidas.
Deixar, para cada amostra, somente as duas menores arestas incidentes.
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O Algoritmo Gathan(P, α, ρ) Computar o diagrama de Voronoi Vp;
para cada p de P faça Computar pole e estimar normal Np Assuma E conjunto das arestas de Delaunay incidentes a p que satisfazem as condições: A. normal de cada aresta de E faz ângulo agudo menor que α com Np B. h/l > ρ Manter apenas as menores arestas pq e ps de E em cada lado de Np fim para Deletar aresta que não está entre as duas menores que incidem em uma amostra
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