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Uma variação do Lema do Bombeamento Reformularemos o enunciado do Lema de maneira a torná-lo mais facilmente aplicado em algumas situações. A reformulação.

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2 Uma variação do Lema do Bombeamento Reformularemos o enunciado do Lema de maneira a torná-lo mais facilmente aplicado em algumas situações. A reformulação permitirá o uso de um método de prova baseado num jogo contra o diabo

3 Variação do Lema Teorema. Seja A um conjunto regular. Então a seguinte propriedade se dá sobre A: (P) Existe k0 tal que para quais_quer cadeias x,y,z com xyz A e |y|k, existem cadeias u,v,w tais que y=uvw, vε, e para todo i0, a cadeia xuy i vwz A

4 Negando (P) Teorema. Seja A um conjunto de cadeias e suponha que: (~P) Para todo k0 existem cadeias x,y,z com xyz A e |y|k, e para todas cadeias u,v,w tais que y=uvw, vε, e existe i0, tal que cadeia xuy i vwz A. Então A não é regular.

5 Jogando contra o diabo O diabo quer mostrar que A é regular e voçê que não! Ele então pega k. Você vai escolhe xyz A e |y|k. Daí ele pega u,v,w tais que y=uvw, vε, Você mostra o i0, com xuy i vwz A

6 Exemplo de Uso No exercício 5 último foi pedido para mostrar que {x {a, b, c}* |x é palíndrome, i.e., x=rev(x)} não é regular. Dado k do diabo basta escolher x= ε, y=a k e z=ba k. Qualquer escolha u,v,w do diabo com, digamos |v|=m>0, basta escolher i=0 e xuv 0 wz=xuwz=a k_m ba k A

7 Minimização de Estados remover estados inalcançáveis ou colapsando estados equivalentes. a,b a b a b ab a b b a a a b b a

8 Um autômato mínimo b ab a a,b a b

9 Resumindo... dado M = (Q,,, s, F): –Livrar_se dos estados inalcançáveis, i.e. dos estados q tais que não existe cadeia x * tal que *(s,x)=q. –Colapse estados equivalentes

10 Mais exemplos a,b a b a b a a b b

11 Ainda mais exemplos a,b a b a a b b

12 A Construção do Quociente Como saber com segurança que dois estados podem ser colapsados como fazer o colapso formalmente? como determinar se mais colapsos podem ser feitos?

13 nunca colapsaremos um estado que rejeita com um que aceita: p= *(s,x) F e q= *(s,y) F colapsar p com q aceitar y ou rejeitar x. o colapso de p e q implica no colapso de (p,a) com (q,a)

14 A equivalência Logo, p e q não podem ser colapsados se *(p,x) F e *(q,x) F Então definamos uma relação de equivalência sobre Q por: p q se, e somente se x *( *(p,x) F *(q,x) F)

15 não é difícil mostrar que de fato é uma relação de equivalência. [p]:={q|qp} pq sss [p]=[q]

16 O Autômato Quociente Dado M, definamos M/ = (Q,,,s, F) onde: Q={[p] | p Q} ([p],a)=[ (p,a)] s=[s] F={[p] | p F}

17 Resultados Úteis Lema 1. Se pq, então (p,a) (q,a). Equivalentemente, se [p]=[q] então [ (p,a)]=[ (q,a)]. Lema2. p F sss [p] F. Lema3. *([p],x)=[ *(p,x)]

18 Teorema. L(M/)=L(M) Prova. Para x *, x L(M/) sss *(s,x) F def. de aceita sss *([s],x) F def. de s sss [ *(s,x)] F lema 3 sss *(s,x) F lema 2 sss x L(M) def. de aceita qed

19 M/ não pode ser mais colapsado Defina [p]~[q] sss x *( *([p],x) F *([q],x) F)

20 [p]~[q] x *( *([p],x) F *([q],x) F) x *([ *(p,x)] F [ *(q,x)] F) lema 3 x *( *(p,x) F *(q,x) F) lema 2 pq [p]=[q]

21 Algorítmo de Minimização 1. Escreva uma tabela dos pares {p,q}, inicialmente desmarcados 2. Marque {p,q} se p F e q F ou vice_versa. 3. Repita até que não poder mais: se existe um par desmarcado {p,q} tal que { (p,a), (q,a)} é marcado para algum a, então marque {p,q}. 4. Quando acabar 3, pq sss {p,q} é desmarcado.

22 1 _ 2 _ _ 3 _ _ _ 4 _ _ _ _ 5 _ _ _ _ _ Exemplo a,b 0 2 a b a,b b b

23 Corretude do Algorítmo Q ={{p,q} | p,q Q} ={{p,q} | pq} {{p} | p Q} logo existem ( )+n=(n 2 +n)/2. seja agora Δ: Q Q Δ({p,q},a)={ (p,a), (q,a)} e F ={{p,q} | p F, q F } X:= F repeat X:=X; X:=X { {p,q} | a. Δ ({p,q},a) X} until X=X X é o conjunto dos marcados n2n2

24 Corretude do Algorítmo X = {{p,q} | x *. Δ*({p,q},x} F } = {{p,q} | x *. *(p,x) F, *(q,x) F } = {{p,q} | ( x *.( *(p,x) F *(q,x) F ))} = {{p,q} | ( p q)


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