94 Elsa Carvalho Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06)

Apresentação em tema: "94 Elsa Carvalho Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06)"— Transcrição da apresentação:

1 94 Elsa Carvalho Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06) Tipos que são por natureza paramétricos como as listas e as matrizes, podem também ser definidos em ML. O tipo lista (list) está predefinido por questões de eficiência, mas se assim não fosse poderia ser definido pelo mecanismo de definição de tipos do ML. Uma extensão natural da definição datatype inclui a definição de operadores de tipos. Para tal basta encarar a palavra datatype como uma definição funcional (parametrizada) em vez de como uma definição de valor (constante). Em vez de definirmos um só tipo iremos definir um operador que dado um tipo dá como resultado um novo tipo. Novos operadores de tipos

2 95 Elsa Carvalho Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06) Por exemplo, suponhamos que se pretende generalizar o seguinte tipo básico, que define uma matriz de inteiros: datatype int_matriz = Matriz of (int list list) Pretende-se definir matrizes cujos elementos sejam de outro tipo qualquer, mas sem ter que definir cada um dos tipos separadamente, ou seja, usando uma construtora polimórfica. Através da parametrização da definição acima, podemos introduzir um operador de tipos em vez de um tipo fixo: datatype  matriz = Matriz of (  list list) Novos operadores de tipos

3 96 Elsa Carvalho Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06) Agora, para qualquer tipo T, teremos também o tipo T matriz e a construtora é polimórfica sendo o seu tipo: Matriz: (  list list)   matriz Por exemplo poderemos ter: Matriz [[1, 2], [3, 4], [5, 6]] : int matriz Matriz [[Matriz [[true, false], [false, false]]]] : (bool matriz) matriz Novos operadores de tipos

4 97 Elsa Carvalho Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06) Com esta facilidade para definir operadores de tipos, não será necessário tratar as listas como um tipo especial pré-definido. Podemos simplesmente definir: datatype  list = :: of (  x  list) | [ ] que introduz as construtoras polimórficas :: : (  x  list)   list [ ]:  list Novos operadores de tipos

5 98 Elsa Carvalho Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06) Esta capacidade do ML mostra o real poder do mecanismo de definição de tipos. Todos os tipos e operadores de tipos (excepto  e x) podem ser introduzidos pelo programador. Os tipos pré-definidos são incluídos apenas por uma questão de eficiência. Em particular, os tipos pré-definidos int e string poderiam ser modelados como novos tipos, no entanto isso não seria muito conveniente. Novos operadores de tipos

6 99 Elsa Carvalho Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06) Árvores aparecem com frequência nas ciências da computação e existem diversas maneiras de as descrever. Vamos falar das árvores, mais concretamente em algumas das suas diversas variações: árvores binárias que só têm valores nas folhas e árvores binárias com valores em todos os nós. Árvores

7 100 Elsa Carvalho Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06) Estas árvores são chamadas binárias porque, a partir de cada nó, existe um par de ramos que conduzem a outros dois nós. Os nós que não têm ‘descendentes’ são chamados de folhas. Vamos chamar ao tipo que define árvores binárias com valores apenas nas folhas de bintree. Mais precisamente, vamos chamar  bintree, a árvores cujos valores que se encontram nas folhas sejam do tipo . De forma a construirmos uma nova definição de tipo para estes objectos, temos de considerar a forma como estes podem ser construídos. Árvores binárias com valores nas folhas

8 101 Elsa Carvalho Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06) Pode existir um único nó, que nesse caso será considerado uma folha e como tal (foi construído a partir de) contém um valor do tipo . No caso geral as árvores binárias serão compostas. Cada bintree composta pode ser construída se juntarmos as duas bintrees mais pequenas imediatamente abaixo do ponto de união, tal como mostra a figura: Lf(6)  Árvores binárias com valores nas folhas 6 6 93   93 6

9 102 Elsa Carvalho Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06) Isto sugere que apenas iremos necessitar de dois operadores (construtoras do tipo) que vamos chamar de Lf e . O que é pretendido para estas duas construtoras será: Lf:    bintree  : (  bintree x  bintree)   bintree em que a primeira serve para construir as folhas a partir do valor recebido e a segunda para formar árvores binárias compostas a partir de duas sub-árvores. Árvores binárias com valores nas folhas

10 103 Elsa Carvalho Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06) Assim, a definição para as construtoras polimórficas que constroem o tipo recursivo bintree é a seguinte: datatype  bintree = Lf of  |  of (  bintree x  bintree) infix  Desta forma a definição da árvore apresentada no diagrama é: val arv = Lf 6  (Lf 9  Lf 3) Árvores binárias com valores nas folhas

11 104 Elsa Carvalho Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06) Após a introdução deste novo operador de tipos, vamos definir algumas operações sobre árvores binárias. As mais imediatas serão left e rigth que seleccionam, respectivamente, a sub-árvore da esquerda e da direita que se encontra imediatamente abaixo. Estas operações não estão definidas para árvores que sejam apenas uma folha. fun left (t1  t2) = t1 | left (Lf a) = error “left de Lf não está definido” fun right (t1  t2) = t2 | right (Lf a) = error “right de Lf não está definido” Árvores binárias com valores nas folhas

12 105 Elsa Carvalho Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06) Temos também o predicado isleaf, que indica se uma dada árvore é ou não uma folha e as funções leftmostleaf, que retorna o valor da folha mais à esquerda da árvore e sumofleaves, que soma todos os valores que estão nas folhas da árvore. fun isleaf (t1  t2) = false | isleaf (Lf v) = true fun leftmostleaf (t1  t2) = leftmostleaf t1 | leftmostleaf (Lf v) = v fun sumofleaves (t1  t2) = sumofleaves t1 + sumofleaves t2 | sumofleaves (Lf v) = v Árvores binárias com valores nas folhas

13 106 Elsa Carvalho Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06) Existem ainda funções de ordem superior com árvores binárias, analogamente às que existem para listas (map, accumulate, etc.). Muitas operações sobre árvores binárias envolvem que se perscrute a árvore, ao mesmo tempo que se aplica uma qualquer função f aos valores das folhas. Deve existir ainda uma função binária g que combina os valores retornados por cada incursão nas sub-árvores esquerda e direita. Assim define-se uma função de âmbito geral btreeop: fun btreeop f g (Lf a) = f a |btreeop f g (t1  t2) = g (btreeop f g t1) (btreeop f g t2) Árvores binárias com valores nas folhas

14 107 Elsa Carvalho Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06) Note-se que operações tais como leftmostleaf e sumofleaves podem facilmente ser definidas à custa de btreeop: val sumofleaves = btreeop id plus À medida que a árvore é perscrutada, a função identidade é aplicada aos valores encontrados nas folhas (retornando os valores inalterados) e a função plus é aplicada aos resultados retornados pela incursão nas sub-árvores esquerda e direita, somando, assim, todos os valores das folhas. Isto é análogo ao uso de reduce plus 0 para somar todos os elementos de uma lista. Árvores binárias com valores nas folhas

15 108 Elsa Carvalho Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06) Outra operação genérica sobre árvores binárias, btreemap, que aplica uma função às folhas da àrvore (análoga ao map no caso das listas) também pode ser definida como um caso especial de btreeop: fun join t1 t2 = t1  t2 fun btreemap f = btreeop (Lf ° f) join A função join é apenas uma versão ‘curried’ do construtor . O que está a ser feito é decompor a árvore, até chegar às folhas, aplicar a função f aos valores das folhas e depois voltar a compor a árvore, agora já com os valores modificados! Árvores binárias com valores nas folhas

16 109 Elsa Carvalho Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06) Vamos agora estudar as árvores binárias com valores também nos nós internos, que a partir de agora chamaremos apenas de árvores. Uma definição de tipo para estes objectos será: datatype  tree = Empty | Tr of (  tree x  x  tree) A primeira construtora é uma constante que representa o caso especial da árvore sem nós. A segunda construtora constrói uma árvore a partir de 2 sub- árvores e o nó que as une tem um valor do tipo . Árvores com valores em todos os nós

17 110 Elsa Carvalho Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06) Para estas árvores consideramos que estamos na presença de uma folha quando ambas as suas sub-árvores têm o valor Empty. Para poupar na escrita definimos uma função (que não é uma construtora) que retorna uma folha: leaf:    tree fun leaf a = Tr(Empty, a, Empty) A árvoreserá representada por Árvores com valores em todos os nós 93 26 1 val t1 = Tr (leaf 6, 1, Tr (leaf 9, 2, leaf 3))

18 111 Elsa Carvalho Universidade da Madeira Departamento de Matemática e Engenharias Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2005/06) Também para estas árvores vamos definir algumas funções úteis. Começamos por definir a operação análoga ao map (para listas) e a btreemap (para árvores binárias), que será expressa da seguinte forma: fun treemap f Empty = Empty | treemap f (Tr (t1, a, t2)) = Tr (treemap f t1, f a, treemap f t2) Árvores com valores em todos os nós