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Lógica de primeira ordem First Order Logic (FoL) Capítulo 8 Fundamentos da IA Mestrado FEI.

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1 Lógica de primeira ordem First Order Logic (FoL) Capítulo 8 Fundamentos da IA Mestrado FEI

2 Lógica proposicional é declarativa permite informação disjuntiva e/ou negada –(ao contrario da maioria das estruturas de dados e base de dados) é composicional: –o significado de B 1,1 P 1,2 é derivado do significado de B 1,1 e P 1,2 O significado das sentenças proposicionais é independente do contexto –(ao contrário da linguagem natural) Possui um poder de expressão limitado –(ao contrário da linguagem natural) –E.g., "poços causam brisas em quadrados adjacentes em LP: B1,1 (P1,2 V P21) etc... –Uma sentença para cada quadrado

3 FoL: compromisso ontológico A lógica proposicional assume mundos compostos somente por fatos, A lógica de primeira ordem (como a linguagem natural) assume mundos compostos por –Objetos: people, houses, numbers, colors, baseball games, wars, … –Relações: red, round, prime, brother of, bigger than, part of, comes between, … –Funções: father of, best friend, one more than, plus, …

4 Sintaxe da FOL ConstantesKingJohn, 2, NUS,... PredicadosBrother, >,... FunçõesSqrt, LeftLegOf,... Variáveisx, y, a, b,... Conectivos,,,, Igualdade= Quantificadores, Símbolos para! Não são a coisa em sí!!

5 Sintaxe da LPO Termos =função(term 1,...,term n ) ou constante ou variável [referem-se a objetos] Sentenças atômicas =predicado(term 1,...,term n ) ou term 1 = term 2 [enunciam fatos] E.g. sentença atômica, – Brother(KingJohn,RichardTheLionheart), – > (Length(LeftLegOf(Richard)), Length(LeftLegOf(KingJohn)))

6 Sentenças Complexas Sentenças complexas são construídas de sentenças atômicas usando conectivos: S, S 1 S 2, S 1 S 2, S 1 S 2, S 1 S 2, E.g. Sibling(KingJohn,Richard) Sibling(Richard,KingJohn) >(1,2) <(1,2) >(1,2) >(1,2)

7 Semântica em lógica de primeira ordem A semântica deve relacionar sentenças a modelos a fim de determinar verdade. –Para isso precisamos de uma interpretação que especifique quais objetos, relações e funções são referidos pelos símbolos de constantes, relações e funções. Interpretação é, portanto, um mapeamento entre símbolos de constantes -->objetos símbolos de predicados --> relações símbolos de funções -->funções Uma sentença atômica predicate(term 1,...,term n ) é verdadeira sse os objetos relativos à term 1,...,term n estão contidos na relação relativa à predicate

8 Modelos para FOL: Exemplo

9 Interpretação Interpretação: especifica exatamente quais objetos, relações e funções são referidos pelos símbolos de constantes, predicados e funções;

10 Interpretação Interpretação pretendida para o exemplo: Ricardo: Ricado coração de leão; Joao: rei João Irmão: conjunto de tuplas: –, NaCabeça: relação Na cabeça, que é válida para coroa e rei Joao; Pessoa, Rei, Coroa: conjuntos de objetos Perna esquerda: função perna esquerda, I.e.: – -> perna esquerda de Ricardo – -> perna esquerda de Joao

11 Há várias outras interpretações possíveis E.g. Ricardo -> Coroa, Joao -> perna do rei joao 5 objetos no modelos, portanto há 25 interpretações possíveis apenas para os símbolos Ricardo e Joao Confuso? Em logica proposicional é possível uma interpretação tal que ensolarado e nublado sejam verdade Cabe a base de conhecimento eliminar modelos inconsistentes com nosso conhecimento

12 Semântica em lógica de primeira ordem A verdade de qualquer sentença é determinada por um modelo e uma interpretação para os símbolos das sentenças. Então, consequência lógica, validade, etc são definidas em termos de todos os modelos possíveis e todas as interpretações possíveis. O n. de elementos pode ser ilimitado N. de modelos ilimitado –Verificação lógica pela enumeração de modelos não é uma opção.

13 Sintaxe: Quantificação Universal ( ) Todos os reis são pessoas: x Rei(x) Pessoa(x) x P é verdade em um modelo m sse P é verdadeira em todas as interpretações estendidas. –Cada interpretação estendida especifica um elemento de domínio ao qual x se refere

14 Semântica: Quantificação Universal ( ) i.e. a quantificação é equivalente à conjunção de instanciações de P Rei(KingJohn) Pessoa(KingJohn) Rei(Richard) Pessoa(Richard) Rei(Perna_esq._de_richard) Pessoa(Perna_esq._de_richard) Rei(Coroa) Pessoa(Coroa)... { São verdadeiras no modelo mas não trazem nenhuma informação, pois nenhuma das premissas são verdadeiras!

15 Equívoco comum Tipicamente, é o principal conectivo para ser usado com Equívoco comum: usar como o principal conectivo com : x Rei(x) Pessoa(x) i.e. Todos são reis e todos são pessoas

16 Sintaxe: Quantificação existencial –declaração sobre algum objeto sem nomeá-lo Existe uma coroa na cabeça do rei John: x Coroa(x) NaCabeça(x, John)

17 Semântica: Quantificação existencial x P é verdade em um modelo m sse P é verdade sendo x algum objeto possível no modelo; Informalmente, é equivalente à disjunção de instanciações de P Coroa(John) NaCabeça(John, John) Coroa(Richard) NaCabeça(Richar, John) Coroa(Crown) NaCabeça(Crown, John)...

18 Outro equívoco comum... Tipicamente, é o principal conectivo para Equívoco: usar como o principal conectivo com : x Coroa(x) NaCabeça(x, João) é verdadeira se x não for coroa (como x diz que existe pelo menos um, a sentença ser verdadeira para um outro objeto que não seja coroa torna esta sentença completamente irrelevante!)

19 Propriedades dos quantificadores x y é o mesmo que y x x y não é o mesmo que y x x y Loves(x,y) –há uma pessoa que ama todas as outras no mundo y x Loves(x,y) –todo mundo é amado por alguem Dualidade de quantificadores: são complementares: x Likes(x,IceCream) x Likes(x,IceCream) x Likes(x,Broccoli) x Likes(x,Broccoli)

20 Igualdade term 1 = term 2 é verdade em uma interpretação se e somente se term 1 e term 2 referem ao mesmo objeto. E.g., definição de Irmão em termos de Genitor: x,y Irmão(x,y) [ (x = y) m,f (m = f) Genitor(m,x) Genitor(f,x) Genitor(m,y) Genitor(f,y)]

21 Usando FOL Domínio de parentesco: mãe é um ancestral feminino de alguém m,c Mãe(c) = m (Feminino(m) Ancestral(m,c)) –Esta regra não restringe os modelos corretamente, por que? (este é um erro comum em engenharia de conhecimento) irmão é simétrico x,y irmão(x,y) irmão(y,x) um avô é genitor de alguém que é pai x,y Avô(x,y) p Pai(p,x) Genitor(p,y) –Onde está o erro?

22 Usando FOL Domínio de parentesco: x,y Avô(x,y) p Pai(p,x) Genitor(p,y) Outro erro comum: a ordem do argumento é inconsistente com o conceito a ser definido.

23 Axiomas e teoremas Cada sentença anterior é um axioma do domínio de parentesco; –utiliza-se um conjunto básico de predicados segundo os quais outros podem ser definidos a partir de axiomas. Um conjunto de axiomas é uma teoria lógica Fórmulas que são consequência lógica de um conjunto de axiomas são teoremas desta teoria ;

24 Usando FOL Teoria de conjuntos: s Set(s) (s = {} ) ( x,s 2 Set(s 2 ) s = {x|s 2 }) x,s {x|s} = {} x,s x s s = {x|s} x,s x s [ y,s 2 } (s = {y|s 2 } (x = y x s 2 ))] s 1,s 2 s 1 s 2 ( x x s 1 x s 2 ) s 1,s 2 (s 1 = s 2 ) (s 1 s 2 s 2 s 1 ) x,s 1,s 2 x (s 1 s 2 ) (x s 1 x s 2 )

25 FOL para Base de Conhecimento Suponha que um agente no mundo de wumpus, usando uma BC em FOL, detecta um fedor e uma brisa (mas não brilho) em t=5: Tell (BC,Percept([Smell,Breeze,None],5)) Ask (BC, a BestAction(a,5)) I.e., A BC deduz a melhor ação em t=5? Resposta: Yes, {a/Shoot} substituição (lista de atribuição) Dada uma sentença S e uma substituição, S denota o resultado da substituição de em S; e.g., S = Smarter(x,y) = {x/Hillary,y/Bill} S = Smarter(Hillary,Bill) Ask (BC,S) retorna algum/todo tal que KB |=

26 Engenharia de conhecimento em FOL 1.Identificar uma tarefa; 2.Agregar conhecimento relevante; 3.Definir um vocabulário de predicados, funções, e constantes (ontologia); 4.Codificar o conhecimento geral sobre o domínio; 5.Codificar uma descrição da instância específica do problema; 6.Formular consultas ao procedimento de inferência e obter respostas; 7.Depurar a base de conhecimento.

27 Exemplo: domínio de circuitos eletrônicos Somador completo de um bit.

28 Domínio de circuitos eletrônicos 1.Identificar a tarefa –O circuito adiciona de maneira correta? (verificação do circuito) Agregar conhecimento relevante; –Composto de cabos e portas; Tipos de portas (AND, OR, XOR, NOT) –Irrelevante: tamanho, forma, cor,... Decidir um vocabulário –Alternativas: Type(X 1 ) = XOR Type(X 1, XOR) XOR(X 1 )

29 Domínio de circuitos eletrônicos 4.Codificar o conhecimento geral sobre o domínio – t 1,t 2 Connected(t 1, t 2 ) Signal(t 1 ) = Signal(t 2 ) – t Signal(t) = 1 Signal(t) = 0 –1 0 – t 1,t 2 Connected(t 1, t 2 ) Connected(t 2, t 1 ) – g Type(g) = OR Signal(Out(1,g)) = 1 n Signal(In(n,g)) = 1 – g Type(g) = AND Signal(Out(1,g)) = 0 n Signal(In(n,g)) = 0 – g Type(g) = XOR Signal(Out(1,g)) = 1 Signal(In(1,g)) Signal(In(2,g)) – g Type(g) = NOT Signal(Out(1,g)) Signal(In(1,g))

30 Domínio de circuitos eletrônicos 5.Codificar uma descrição da instância específica do problema Type(X 1 ) = XOR Type(X 2 ) = XOR Type(A 1 ) = AND Type(A 2 ) = AND Type(O 1 ) = OR Connected(Out(1,X 1 ),In(1,X 2 ))Connected(In(1,C 1 ),In(1,X 1 )) Connected(Out(1,X 1 ),In(2,A 2 ))Connected(In(1,C 1 ),In(1,A 1 )) Connected(Out(1,A 2 ),In(1,O 1 )) Connected(In(2,C 1 ),In(2,X 1 )) Connected(Out(1,A 1 ),In(2,O 1 )) Connected(In(2,C 1 ),In(2,A 1 )) Connected(Out(1,X 2 ),Out(1,C 1 )) Connected(In(3,C 1 ),In(2,X 2 )) Connected(Out(1,O 1 ),Out(2,C 1 )) Connected(In(3,C 1 ),In(1,A 2 ))

31 Domínio de circuitos eletrônicos 6.Formular consultas ao procedimento de inferência e obter respostas; –Que combinações de entradas fariam a primeira saida de C1 (o bit de soma) ser 0 e a sengunda saida de C1 (o bit e transporte) ser 1? i 1,i 2,i 3,o 1,o 2 Signal(In(1,C1)) = i 1 Signal(In(2,C1)) = i 2 Signal(In(3,C1)) = i 3 Signal(Out(1,C1)) = 0 Signal(Out(2,C1)) = 1 Resposta: conjunto de substituições para i1, i2 e i3 (ex. {i1/1, i2/1, i3/0})

32 Depurar a base de conhecimento Pode ter havido algumas omissões como 1 0 Testar perguntas com respostas já conhecidas.


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