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Erros Representações na base decimal e binária. Introdução Os resultados obtidos dependem: da precisão dos dados de entrada; de como estes dados são representados.

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1 Erros Representações na base decimal e binária

2 Introdução Os resultados obtidos dependem: da precisão dos dados de entrada; de como estes dados são representados no computador; das operações efetuadas.

3 Precisão dos dados de entrada Exemplo: Determine a área de uma circunferência de raio 100 cm. Se A = 31400 m 2 Se A = 31416 m 2 Se A = 31415.92654 m 2 No ex. 1 os valores usados para (número irracional) foram 3.14, 3.1416 e 3.141593654, respectivamente. Quanto maior o números de dígitos utilizados, maior será a precisão. Note que é irracional.

4 Exemplo 2. Calcule para e para no lápis e no computador. Resultados obtidos: a) para no lápis: S = 15000 no computador: S =15000 b) para no lápis: S = 3300 no computador: S = 3299.99691 Representação de números

5 O computador opera no sistema binário. O usuário envia os dados no sistema decimal. Os números são convertido para o sistema binário no qual as operações são realizadas. Finalmente os resultados são convertidos para a base decimal e transmitidos para o usuário. Em uma base um número pode ter uma representação finita e em outra uma representação infinita (arredondamentos e truncamentos ocorrem!!!!!!!!!)

6 Sistemas decimal e binário Conversão de números inteiros: Em geral, um número na base com e, pode ser escrito na forma polinomial Ex 1: Ex 2:

7 Processo para converter um número inteiro do sistema binário para o sistema decimal A conversão de um número no sistema binário para o sistema decimal é obtida colocando o número 2 em evidência:

8 A representação do número na base 10, denotada por b 0 é obtida pelo seguinte processo:

9 Para o número do Ex 2:

10 Processo para converter um número inteiro do sistema binário para o decimal Considere o número e a sua representação na base 2. Pelo processo inverso O processo termina pois N 8 é zero

11 Assim, a representação de na base 2 será. Exercício 1. Represente na base 2. Exercício 2.Represente na base decimal

12 Conversão de números fracionários: Dado um número entre 0 e 1, como encontrar a sua representação na base 2? Exemplo: Considere (0.125) 10. Multiplicando 0.125 por 2 temos: Base binária admite somente 0 ou 1!!!!!!!!!!

13 Aplicando o mesmo procedimento para 0.250, E repetindo para 0.5, O processo termina pois a parte fracionária é zero. Assim, a representação de, na base 2, será, pois:

14 Seja agora um número entre 0 e 1 no sistema binário. Como encontrar a sua representação na base 10 ? Considere o número Definimos e multiplicamos por. Note que.

15 Multiplicação binária 0.000111 1010 --------------- 0.000000 0.000111 0.000000 0.000111 ----------------- 1.00011

16 Convertendo a parte inteira para a base decimal, obtemos Assim, Repetindo o processo até,

17 O processo termina pois r 7 =0 Logo,

18 Agora podemos compreender melhor o exemplo 2 !!!! (0.5) 10 =(0.1) 2 tem representação finita na base 2. Logo os resultados nas bases 2 e 10 são iguais!!!! (0.11) 10 tem representação infinita na base 2, ou seja: (0.11) 10 =(0.000111000010100011110101110000101000111101...) 2 Considerando um computador que trabalhe com 6 dígitos, (0.11) 10 será armazenado como(0.000111), o que acumulará erros após um grande número de operações. no lápis: S = 3300 no computador: S = 3299.99691

19 Bibliografia: Ruggiero, Márcia A. Gomes e Lopes, Vera Lúcia da Rocha Cálculo Numérico: Aspectos Teóricos e Computacionais 2 ed., São Paulo: Makron Books, 1996.


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