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MÉTRICA Distância entre dois pontos numa superfície Ex. Uma superfície plana, onde usamos coordenadas cartesianas Y X yByB yAyA xAxA xBxB ds ds 2 =dx 2.

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1 MÉTRICA Distância entre dois pontos numa superfície Ex. Uma superfície plana, onde usamos coordenadas cartesianas Y X yByB yAyA xAxA xBxB ds ds 2 =dx 2 +dy 2 dx=x B -x A dy=y B -y A Nota: ds é um invariante independe do sistema de coordenadas

2 Fazendo uma transformação de coordenadas: (x,y) (x 1,x 2 ) x e y = combinações de x 1 e x 2 x = x(x 1,x 2 ) y = y(x 1,x 2 ) Uma mudança dx em x resulta em mudanças dx 1 e dx 2 : ( o mesmo para y ) ds 2 =dx 2 +dy 2

3 Escrevendo a equação de forma mais compactada : tensor métrico distância entre 2 pontos próximos sobre uma superfície representação da distância em coordenadas

4 Métrica euclidiana EXEMPLOS: matriz unidade Coordenadas polares no plano (x,y) (r, ) x = r cos y = r sin r Calculando os g r …… ds 2 =dr 2 +r 2 d 2 métrica euclidiana em coordenadas polares ds 2 =dx 2 +dy 2

5 Determinação de K através da métrica Seja x 1 e x 2 um sistema de coordenadas arbitrário sobre uma superfície x2x2 x1x1 distância entre dois pontos vizinhos : Pode-se demonstrar que, com uma mudança de coordenadas conveniente, o tensor métrico pode ser representado por uma matriz diagonal

6 Define-se então a métrica ortogonal : ds 2 =g 11 (x 1,x 2 )dx 1 2 +g 22 (x 1,x 2 )dx 2 2 TEOREMA EGREGIUM DE GAUSS Conhecendo-se a métrica ortogonal de uma superfície determina-se a sua curvatura. K é um invariante que seja o sistema de coordenadas K tem o mesmo valor num dado ponto numa superfície Demonstrou que se pode derivar a K de uma superfície arbitrária somente conhecendo a forma que os coeficientes da métrica variam de um ponto a outro, não importando o valor absoluto destes coeficientes com o sistema de coordenadas escolhido

7 EXEMPLOS: Plano ds 2 =dx 2 +dy 2 K = 0 Cilindro Coordenadas cilíndricas: x = R cos (pontos na superfície) y = R sin z = z ds 2 =dz 2 +R 2 d 2 Usando gauss K = 0 nota: z=x e R =y ds 2 =dx 2 +dy 2 métrica euclidiana!!! R Z x y

8 R Z X Y Esfera x = R sin cos y = R sin sin z = R cos ds 2 =R 2 d 2 +R 2 sin 2 d 2 Usando o teorema de gauss: K = 1/R 2 Não há nenhuma transformação de coordenadas que leve a sua métrica a uma do tipo euclidiana esfera intrinsecamente curva

9 Determinação de perímetros e áreas de círculos geodésicos desenhados sobre uma superfície usando a métrica Círculo sobre uma superfície plana R elemento de arco elemento de arco (r=R fixo) ds=R d C= ds =2 R Se a métrica for ortogonal (g 12 =g 21 =0), o elemento de área sobre uma superfície é dado por: então dA=rdrd A = dA = Métrica: ds 2 =dr 2 +r 2 d 2 (coordenadas polares) = R 2

10 Círculo de raio r sobre uma superfície esférica R r a Métrica: ds 2 =R 2 d 2 +R 2 sin 2 d 2 perímetro do círculo de raio r fixo d =0 : ds = R sin d C= ds=2 Rsin =2 Rsin(r/R) r = raio próprio do círculo arco: r=R área do círculo : A=2 R 2 (1-cosr/R)


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