A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

MÉTRICA EM ESPAÇOS DE CURVATURA CONSTANTE métrica de uma projeção estereográfica sobre um plano P1P1 R P 1 (projetado sobre o plano) P2P2 P2P2 (r, ) r.

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "MÉTRICA EM ESPAÇOS DE CURVATURA CONSTANTE métrica de uma projeção estereográfica sobre um plano P1P1 R P 1 (projetado sobre o plano) P2P2 P2P2 (r, ) r."— Transcrição da apresentação:

1 MÉTRICA EM ESPAÇOS DE CURVATURA CONSTANTE métrica de uma projeção estereográfica sobre um plano P1P1 R P 1 (projetado sobre o plano) P2P2 P2P2 (r, ) r transformação de coordenadas: esféricas: ds 2 =R 2 d 2 +R 2 sin 2 d 2

2 1. perímetro de um círculo geodésico r é fixo dr0 2. área de um círculo geodésico

3 Como para uma superfície esférica: métrica de um plano em coordenadas polares deformação que uma esfera deve sofrer para tranformar-se num plano ou vice-versa.

4 reescrevendo x 1 =rcos x 2 =rsin Métrica válida para superfície de curvatura constante de qualquer sinal Forma generalizada a um n o de dimensões n

5 Métricas 3D para espaço de Ҝ constante Em coordenadas esféricas : x 1 =r sin cos x 2 =r sin sin x 3 =r cos Forma + comum da métrica na cosmologia : r x3x3 x1x1 x2x2 Nota: a não é o raio próprio.

6 R r a Ex. caso 2D Coordenadas (a, ) r = raio próprio medido sobre a superfície Cálculo do raio próprio Fixando os ângulos e : voltando a superfície 3D...

7 APLICAÇÃO : HIPER-ESFERA Definição: espaços de curvatura positiva e constante com K > 0 e constante raio próprio de uma esfera geodésica área (de uma esfera de raio a dentro deste espaço)

8 A área de uma esfera de raio próprio r imersa em um espaço de Ҝ > 0 e constante: r cresce: área máxima quando quando

9 O volume de uma esfera de raio a dentro de um espaço Ҝ > 0 e constante para uma métrica ortogonal : V máx volume engloba todo o espaço de Ҝ > 0 e constante: volume finito !espaço de Ҝ > 0 e constante é finito mas sem bordas...

10 Espaço de Ҝ 0 e constante são infinitos Entretanto... Ex.: uma esfera de volume V(a) dentro de um espaço de curvatura negativa Quando a V(a) Espaços deste tipo são ditos espaços infinitos Se Ҝ=0, o volume de uma esfera em um espaço euclidiano é: V(a)=(4 /3)a 3 Tb quando a V(a)

11 Espaços Riemannianos Definição: sempre que ds 2 for representado por uma forma diferencial qualdrática MÉTRICA RIEMANNIANA Ex. para uma superfície Característica importante: métrica riemanniana é localmente euclidiana !!

12 Demonstração: nas viz. De um ponto P 0, A 0, B 0 e C 0 são números: Fazendo: ds 2 =dx 1 +dx 2 Nas viz. De ponto sobre uma superfície Riemanniana a métrica pode ser aproximada como uma métrica euclidiana

13 Através de medidas de ângulos, perímetros ou áreas sobre uma dada superfície podemos medir a Ҝ Ir até as galáxias mais distantes e fazer medidas por triangulação (!!!!??)

14 Número de galáxias num dado volume Galáxias uniformemente distribuídas: aumentando o raio aumenta o n o de galáxias Se raio 2 raio: K=0: N 8N k=+1: N < 8N k=-1: N > 8N

15 Modelos cosmológicos R(t) esféricahiperbólica


Carregar ppt "MÉTRICA EM ESPAÇOS DE CURVATURA CONSTANTE métrica de uma projeção estereográfica sobre um plano P1P1 R P 1 (projetado sobre o plano) P2P2 P2P2 (r, ) r."

Apresentações semelhantes


Anúncios Google