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Cálculo tensorial e elementos de geometria diferencial para relatividade. Túlio Levi-Civita René Decartes.

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Apresentação em tema: "Cálculo tensorial e elementos de geometria diferencial para relatividade. Túlio Levi-Civita René Decartes."— Transcrição da apresentação:

1 Cálculo tensorial e elementos de geometria diferencial para relatividade. Túlio Levi-Civita René Decartes

2 Imagine um sistema de coordenadas cartesiano. Vamos representar um vetor V neste sistema.

3 Agora, imagine um sistema de coordenadas não ortogonal. Neste novo sistema de coordenadas vamos descrever o mesmo vetor V.

4 Num sistema de coordenadas não ortogonal é possivel descrever um vetor V por dois modos. Por produto escalar com a base. Ou por projeção do vetor V na base.

5 Descrever o vetor V por produto escalar com a base não ortogonal é simbólicamente representado pela expressão:

6 Vamos descrever o vetor V por projeção paralela! Obs: índices repetidos serão somados.

7 A forma por não depende nunca da escolha do sistema de referência escolhido pois V e o versor e i são formas simbólicas. é a forma covariante.

8 Na forma por projeção paralelaos valores de a i na expressão dependem do versor e i. é a forma contravariante.

9 Descrever as leis da física na forma covariante significa em fazê-la independer do referencial escolhido que é a essência do primeiro postulado da relatividade restrita. A forma contravariante se presta para algebrizar as quantidades físicas em estudo entretanto covariante ou contravariante são formas equivalentes de se representar um vetor num sistema de coordenadas não ortogonal genérico, p. ex.:

10 Vamos realizar o produto escalar do vetor, i.é. na forma contravariante por ele mesmo. e aproveitamos fazendo Se o vetor V for uma quantidade infinitésima na forma ds : Reescrevemos o produto escalar: Obs: índices repetidos serão somados. Esta é a forma mais geral de se representar a distância entre dois pontos.

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16 Contravariante

17 Covariante e contravariante Coordenadas covariantes.

18 Ortogonal covariante e contravariante

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