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GEOMETRIA DE ESPAÇOS CURVOS distribuição de matéria afeta a geometria do espaço-tempo possibilidade do espaço não ser euclidiano Geometria euclidiana soma.

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1 GEOMETRIA DE ESPAÇOS CURVOS distribuição de matéria afeta a geometria do espaço-tempo possibilidade do espaço não ser euclidiano Geometria euclidiana soma dos ângulos = 180 o C=2 R

2 ESPAÇOS UNIFORMES Espaço euclidiano uniforme = homogêneo + isotrópico ( espaço plano) geometria congruente formas espaciais invariantes a rotações e translações Princípio cosmológico Existem somente 2 tipos de espaços não-euclidianos que são uniformes: espaço esférico (geometria de Riemann) espaço hiperbólico (geometria de Lobachevski) espaços de comprimento intrínseco R Se R >> região geometria local euclidiana + + =s

3 Se R for muito grande em comparação com regiões conhecidas em escalas cósmicas dificuldade em distinguir entre os três tipos de espaços nossa experiência é com fenômenos em pequena escala Universo localmente euclidiano Postulados: 1.Em um espaço plano somente uma paralela a uma dada linha reta que passa num dado ponto. 2.Em um espaço esférico paralela a uma dada linha reta que passa num dado ponto 3.Em um espaço hiperbólico várias paralelas a uma dada linha reta que passam num dado ponto

4 Espaço esférico: Soma dos ângulos > 180 o C > 2 r Espaço hiperbólico: Soma dos ângulos < 180 o C < 2 r

5 Exemplo : Terra arco de círculo máximo (geodésica)

6 Quantidade que se quer determinar: curvatura do espaço K relacionada com a escala intrínseca R do espaço

7 CURVATURA DE UMA CURVA PLANA Definição: curvatura média entre M e M = ângulo formado pelas duas tangentes à curva nos pontos M e M = distância entre os dois pontos medida sob a curva

8 Curvatura no ponto M: w = - y y+ y x x+ x s y=f(x)

9 Aplicação de reta: y=ax+b K (x) = 0 círculo: x 2 +y 2 = R 2 K (x) = 1 / R parábola: y=ax 2 K (x)=2a/(1+4a 2 x 2 ) 3/2 origem K (0)=2a (dependente do sistema de coordenadas)

10 CURVATURA DE UMA SUPERFÍCIE Superfície representada por uma função Z = f (x,y) DEFINIÇÃO: Ҝ =k 1 K 2 Escolhendo a orientação de x e y tal que F(x,y) ~ parabolóide: z = F(x,y) ~ ax 2 +bx 2 x y P onde k 1 =2a e k 2 =2b Na vizinhança de P: F(x,y) ~ 1/2k 1 x 2 +1/2k 2 y 2

11 Aplicação: ESFERA x 2 +y 2 +(z - R) 2 = R 2 X Y Z R P z ~ (x 2 +y 2 )/2R K 1 = 1/R = K 2 Ҝ= 1/R 2 Neste caso a curvatura independe das coordenadas esfera de raio R é uma superfície de curvatura constante e positiva

12 HIPERBOLÓIDE P z = ax 2 + by 2 com a e b > 0 Ҝ= -4ab

13 ATENÇÃO!!! Somente a região central representa um espaço hiperbólico uniforme Ҝ= -1/R 2 fora da região central o espaço não é isotrópico nem homogêneo

14 Medidas intrínsecas de curvatura de uma superfície Triângulos desenhados sobre a superfície Teorema de gauss: sobre a área do triângulo K=0 + + = K > > K < <

15 Hilbert: não se pode construir num espaço plano uma superfície bidimensional que represente exatamente a geometria de um espaço UNIFORME hiperbólico Ҝ constante e < 0


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