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Geometria Computacional Prof. Walter Mascarenhas Segundo semestre de 2004 Aula 6.

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1 Geometria Computacional Prof. Walter Mascarenhas Segundo semestre de 2004 Aula 6

2 Triangulação em O(n logn) 1 - Ordene os pontos pela coordenada y O(n logn) 2- Decomponha o polígono em trapézios usando uma scanline O(n logn) 3- Usando os trapézios, quebre o polígono em partes monótonas através da eliminação das cúspides internas O(n) 4- Triangule as partes monótonas O(n)

3 Vértices reflexos e cúspides internas Um vértice v de um polígono P é reflexo se o seu ângulo interno é estritamente maior que pi. Um vértice reflexo r é uma cúspide interna de P com relação à reta r se seus dois vizinhos estão contidos no mesmo semi-plano fechado definido pela paralela a r que passa por v.

4 Partição em trapézios Um polígono particionado em trapézios (triângulos são trapézios degenerados.) Note que o lado inferior de cada trapézio contém exatamente um vértice e o superior também

5 Método da scanline

6 Poligonais estritamente monótonas Uma poligonal P é estritamente monótona com respeito à uma reta r se toda perpendicular à r corta P em no máximo um ponto

7 Poligonais monótonas Uma poligonal P é monótona com respeito à uma reta r se toda perpendicular à r corta P em no máximo uma componente conexa

8 Observação

9 Polígonos monótonos Uma polígono é (estritamente) monótono com respeito à uma reta r se puder ser particionado em duas poligonais que são (estritamente) monótonas com respeito a r

10 Conseqüência da observação passada

11 Critério de não monotonicidade Lema: Um polígono P não monótono com relação a uma reta r contém pelo menos uma cúspide interna com relação a r.. A recíproca deste lema e versões mais fortes são falsas:

12 Porque o lema é correto

13 Porque é chato provar o lema

14 Prova: simplifique o polígono 1- Polígonos com menos vértices são mais simples 2- Polígonos com máximos locais mais para baixo são mais simples 3- Polígonos com mínimos locais mais para cima são mais simples

15 Se não der para simplificar então há cúspides

16 Prova 1- Remova todos os máximos locais com pelo menos um vizinho acima da reta crítica 2- Remova todos os mínimos locais com pelo menos um vizinho abaixo da reta crítica.. 3- Os vértices do polígono resultante não podem ter os dois vizinhos em lados opostos da reta crítica! 4- O polígono resultante é um ``zig zag 5- Dentre três vértices consecutivos em um zig-zag há uma cúspide

17 Prova

18

19 De trapézios para partes monótonas: Basta remover as cúspides internas conectando-as da seguinte maneira: 1- Uma cúspide interna que está no lado inferior de um trapézio é ligada ao vértice do polígono que está no lado superior do mesmo trapézio por uma diagonal 2- Uma cúspide interna que está no lado superior de um trapézio é ligada ao vértice do polígono que está no lado inferior do mesmo trapézio por uma diagonal

20 De trapezóides para partes monótonas:

21 Triangulando polígonos monótonos em O(n)

22 A partir do topo, escolha o lado no qual o segundo vértice (v) está mais baixo (esquerda neste caso). Percorra os vértices no lado oposto a v, removendo os vértices convexos, como indicado na figura

23 Triangulando polígonos monótonos em O(n) A remoção de vértices convexos é recursiva, até que restem apenas vértices reversos.

24 Triangulando polígonos monótonos em O(n) Após a remoção dos vértices convexos, os vértices restantes podem ser ligados a v, definindo triângulos. Após a remoção destes triângulos, o vértice do topo é atualizado.

25 Triangulando polígonos monótonos em O(n) O processo requer O(n) operações pois cada triângulo é determinado em O(1) operações e, como já vimos, toda triangulação tem n - 2 triângulos.

26 Contando o número de operações Para contar as operações montaremos uma planilha com duas colunas: uma listará os vértices pendentes e a outra conterá os vértices externos em triângulos removidos. A cada passo atualizaremos o cursor (em vermelho).

27 Contando o número de operações No primeiro passo verificamos qual dos vizinhos do vértice 1 está mais abaixo, inserimos o vértice 1 na lista de pendências e movemos o cursor para o vizinho mais baixo.

28 Como o vértice anterior ao 2 é o 1 e o vértice 3 está acima do 11, coloco o 2 na coluna de pendências e movo o cursor para o 3.

29 O vértice anterior ao 3, o 2, é reverso: coloco o 3 na coluna de pendências e movo o cursor para o 4.

30 O vértice 3 é convexo: formo o triângulo 2-3-4, coloco 3 na coluna Triang e mantenho o cursor em 4.

31 O vértice anterior ao 4, o 2, é reverso: coloco o 4 na coluna de pendências e movo o cursor para 5.

32 O vértice anterior ao 5, o 4, é reverso: coloco o 5 na coluna de pendências e movo o cursor para 6.

33 O vértice anterior ao 6, o 4, é reverso: insiro o 6 na coluna de pendências e movo o cursor para o 7.

34 O vértice anterior ao 7, o 6, é reverso: insiro o 7 na coluna de pendências e movo o cursor para o 8.

35 O vértice anterior ao 8, o 7, é reverso: insiro o 8 na coluna de pendências e movo o cursor para o 9.

36 O vértice anterior ao 9, o 8, é convexo: monto o triângulo , insiro o 8 na coluna Triang e mantenho o cursor no 9.

37 O vértice anterior ao 9, o 7, é convexo: monto o triângulo , insiro o 7 na coluna Triang e mantenho o cursor no 9.

38 O vértice anterior ao 9, o 6, é convexo: monto o triângulo , insiro o 6 na coluna Triang e mantenho o cursor no 9.

39 O vértice anterior ao 9, o 4, é convexo: monto o triângulo , insiro o 4 na coluna Triang e mantenho o cursor no 9.

40 O vértice anterior ao 9, o 2, é convexo: monto o triângulo , insiro o 2 na coluna Triang e mantenho o cursor no 9.

41 O vértice anterior ao 9 é o 1 e o vértice 10 está abaixo do 11: monto o triângulo , insiro o 1 na coluna Triang e repito o processo para os vértices abaixo do 9 (note que estamos numa situação similar à que estávamos ao analisar o vértice 1).

42 Estimativa final do número de operações 1- A cada passo inserimos alguém ou na coluna de pendências ou na de triângulos. Cada passo requer O(1) operações. Logo o número de operações é da ordem do número de elementos na duas colunas. 2- Cada vértice só é inserido uma vez na coluna de triângulos, pois no momento da inserção ele é removido do polígono 3- Cada vértice só é inserido uma vez na coluna de pendências, no momento em que o cursor se move dele para um vértice inferior. Conclusão: o número de operações é da ordem é O(2n) = O(n).


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