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EQ/UFRJ Carlos André Vaz Junior

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Apresentação em tema: "EQ/UFRJ Carlos André Vaz Junior"— Transcrição da apresentação:

1 EQ/UFRJ Carlos André Vaz Junior

2 EQ/UFRJ Mais de 1 milhão de resultados O mundo MATLAB

3 EQ/UFRJ ? Ajuda

4 EQ/UFRJ Livros

5 EQ/UFRJ Exemplo 1

6 EQ/UFRJ No processo de compra de um equipamento de pesquisa, o preço final é a soma do custo do equipamento (A), frete (B) e impostos (C). Elaborar uma function que execute o somatório e retorne o resultado. Exemplo 1

7 EQ/UFRJ Exemplo 1

8 EQ/UFRJ Exemplo 2

9 EQ/UFRJ Tenho uma matriz 2x6 e devo encontrar o elemento de menor valor. Como se faz? Exemplo 2

10 EQ/UFRJ x=[ ; ]; %Forma linear: xmin=min(x); xmin=min(xmin); [i,j]=find(x==xmin); Exemplo 2 Achando a posição do menor valor de uma matriz: %Forma condensada: [i,j]=find(x==(min(min(x))));

11 EQ/UFRJ Exemplo 3

12 EQ/UFRJ Para que possamos continuar um projeto é necessário analisar o comportamento do parâmetro Z diante das variáveis X e Y. A equação é: Elabore um gráfico de Z(x,y). Z=exp(-0.5*(X 2 + Y 2 )) Exemplo 3

13 EQ/UFRJ xx=0:0.01:1; yy=0:0.01:1; [X,Y]=meshgrid(xx,yy); Z=exp(-0.5*(X.^2+Y.^2)); colormap jet figure(1);surf(X,Y,Z); rotate3d on; shading interp; Exemplo 3

14 EQ/UFRJ Exemplo 3

15 EQ/UFRJ Exemplo 4

16 EQ/UFRJ Exemplo 4 Nesse exemplo desejamos elaborar um gráfico de superfície que uma propriedade termodinâmica. O valor dessa propriedade é função da composição (X1, X2 e K) da mistura. Assim, a base do gráfico será X e Y, e o eixo vertical representa o valor da propriedade dado por: Z=(X.*log(X))+(Y.*log(Y))+(K.*log(K)); Restrição: K refere-se a concentração do terceiro componente. Desse modo, K= 1 – X – Y E K não pode ser negativo!

17 EQ/UFRJ Exemplo 4 %Malha triangular da base %malha da base xx=0:0.01:1; yy=0:0.01:1; [X,Y]=meshgrid(xx,yy); K=1-X-Y; %aplica a restrição para usar só a base do triangulo %onde existe consistência física (o que nao tem vira "Not a Number") iz=find(K<0);K(iz)=nan; Z=(X.*log(X))+(Y.*log(Y))+(K.*log(K)); %gráfico da superfície colormap jet figure(1);surf(X,Y,Z); rotate3d on; shading interp; xlabel('X1');ylabel('X2');zlabel('DeltaGi/RT');

18 EQ/UFRJ Exemplo 4

19 EQ/UFRJ Exemplo 5a Exemplo 5

20 EQ/UFRJ Exemplo 5

21 EQ/UFRJ Exemplo 5

22 EQ/UFRJ Exemplo 5

23 EQ/UFRJ Exemplo 5

24 EQ/UFRJ % Definição das constantes do modelo R = 1; % h/m2 A = 2; % m2 Fe = 10; % m3/h % Tempo de simulação t = 0.0 : 0.01 : 10.0; % h % Simulação da altura de líquido h = R*Fe*(1 - exp(-t/(R*A))); % m % Visualização da simulação plot(t,h); title('Simulação do tanque de nível'); xlabel('Tempo (h)'); ylabel('Altura (m)'); Exemplo 5

25 EQ/UFRJ Verifique a consistência do calculo: a matriz h gerada também deve ser 1x1000, já que cada instante t gerou um valor h. É sempre útil conferir a dimensão das variáveis, principalmente a medida que as rotinas forem tornando-se complexas. Dica! Exemplo 5

26 EQ/UFRJ Exemplo 5b Exemplo 5

27 EQ/UFRJ Muitas vezes é muito trabalhoso, ou mesmo impossível, encontrar a solução analítica para o conjunto de equações diferenciais. Nesse caso temos que simular usando solução numérica das equações diferenciais. Vamos assumir que o modelo do exemplo 1 não tivesse solução analítica, e então usar o Matlab para estudar o comportamento da altura do nível com o tempo. A equação diferencial será: Exemplo 5

28 EQ/UFRJ % Definição das constantes do modelo R = 1; % h/m2 A = 2; % m2 Fe = 10; % m3/h % Tempo de simulação t = 0.0 : 0.01 : 10.0; % h % Simulação da altura de líquido [t,h] = ode45('dhdt',t, 0,[],[R A Fe]); % Visualização da simulação plot(t,h); title('Simulação do tanque de nível'); xlabel('Tempo (h)'); ylabel('Altura (m)'); function dh = dhdt(t,h,flag,par) R = par(1); A = par(2); Fe = par(3); dh = (Fe-(h/R))/A; Exemplo 5

29 EQ/UFRJ Nesse caso temos uma equação diferencial, então deveremos usar uma função Matlab específica para a resolução de eq. diferenciais. No caso temos a ODE45. A função ODE45 implementa um esquema de solução de sistemas de EDOs por método de Runge-Kutta de ordem média (consulte o help sobre ODE45 para maiores detalhes). [t,h] = ode45('dhdt',t, 0,[],[R A Fe]); Exemplo 5

30 EQ/UFRJ Os parâmetros enviados entre parênteses são aqueles que devemos passar para a ODE45: -1º argumento de ode45 é uma string contendo o nome do arquivo.m com as equações diferenciais. Neste caso, o arquivo chama-se dhdt.m. -2º argumento é um vetor que pode conter (i) dois elementos: os tempos inicial e final da integração, ou (ii) todos os valores de tempo para os quais deseja-se conhecer o valor da variável integrada. -3º argumento é o vetor contendo as condições iniciais das variáveis dependentes das EDOs. Os valores dos elementos do vetor de condições iniciais precisam estar na mesma ordem em que as variáveis correspondentes são calculadas na função passada como 1º argumento para ode45 (neste caso, dhdt.m). Nesse caso em particular só temos uma variável dependente, assim temos uma única condição inicial. Exemplo 5

31 EQ/UFRJ -4º argumento é o vetor de opções de ode45. Há várias opções do método que podem ser ajustadas. Entretanto, não deseja-se alterar os valores-padrão. Neste caso, é passado um vetor vazio, apenas para marcar o lugar das opções. -5º argumento é um vetor contendo parâmetros de entrada para a função dhdt.m. Observe que a função.m deve ler esses parâmetros na ordem correta (recebe como variável local par). Os resultados da simulação são obtidos nos dois parâmetros entre colchetes (t, h). Exemplo 5

32 EQ/UFRJ A codificação do arquivo.m segue o mesmo formato já explicado para funções porém com algumas particularidades. No caso específico de um arquivo.m que deve ser chamado por uma função de solução EDOs (todas as ODExx), a declaração deste arquivo deve seguir a sintaxe: function dy = nomefun(t, y, flag, arg1,..., argN) onde dy é o valor da(s) derivada(s) retornadas t e y são as variáveis independente e dependente, respectivamente. Opcional: caso deseje-se receber outros parâmetros, a função deve receber um argumento marcador de lugar chamado flag. Após este, ela recebe quaisquer outros parâmetros. Exemplo 5

33 EQ/UFRJ Exemplo 5c Exemplo 5

34 EQ/UFRJ É necessário agora guardar alguns termos intermediários realizados no cálculo da function. Por exemplo: function dh = dhdt(t,h,flag,par) global Y tvetor R = par(1); A = par(2); Fe = par(3); dh = (Fe-(h/R))/A; Quero guardar: Y=Fe+A+dh; Como se faz? Exemplo 5

35 EQ/UFRJ Exemplo 5 % Definição das constantes do modelo clear all global Y tvetor R = 1; % h/m2 A = 2; % m2 Fe = 10; % m3/h % Tempo de simulação t = 0.0 : 0.01 : 10.0; % h % Simulação da altura de líquido [t,h] = ode45('dhdt',t, 0,[],[R A Fe]); % Visualização da simulação plot(t,h); title('Simulação do tanque de nível'); xlabel('Tempo (h)'); ylabel('Altura (m)'); figure(2) plot(tvetor,Y,'*b') O programa principal ganhou apenas três linhas novas. O comando global vai estabelecer comunicação com a function e os comandos figure e plot fazem o gráfico do novo parâmetro.

36 EQ/UFRJ Exemplo 5 function dh = dhdt(t,h,flag,par) global Y tvetor R = par(1); A = par(2); Fe = par(3); dh = (Fe-(h/R))/A; Ylinha=Fe+A+dh; Y=[Y Ylinha]; tvetor=[tvetor t]; Dentro da function é necessário usar o comando global para estabelecer a troca dos novos dados. O novo dado é: Ylinha=Fe+A+dh; Para acumular usamos a matriz Y. O vetor tvetor guarda o tempo referente para cada valor de Y calculado.

37 EQ/UFRJ Exemplo 5

38 EQ/UFRJ Exemplo 6

39 EQ/UFRJ Exemplo 6

40 EQ/UFRJ Exemplo 6

41 EQ/UFRJ MatlabReal dy(1)dh/dt y(1)h dy(2)dT/dt y(2)T Traduzindo as equações diferenciais para o Matlab: Exemplo 6

42 EQ/UFRJ % Definição das constantes do modelo R = 1; % h/m2 A = 2; % m2 Fe = 10; % m3/h Cp = 0.75; % kJ/(kg. K) Ro = 1000; % kg/m3 U = 150; % kJ/(m2. s. K) Te = 530; % K Th = 540; % K % Tempo de simulação t = 0.0 : 0.01 : 10.0; % h % Simulação do modelo [t,y]=ode45('dydt',t,[(5/A) Th],[],[U A Ro Cp Fe R Te Th]); Exemplo 6

43 EQ/UFRJ % Visualização da simulação figure(1); plot(t,y(:,1)); title('Tanque de aquecimento'); xlabel('Tempo (h)'); ylabel('Altura (m)'); figure(2); plot(t,y(:,2)); title('Tanque de aquecimento'); xlabel('Tempo (h)'); ylabel('Temperatura (K)'); Exemplo 6

44 EQ/UFRJ A única modificação em relação ao exemplo anterior é que estamos passando duas condições iniciais (pois existem duas variáveis dependentes): [t,y]=ode45('dydt',t,[(5/A) Th],[],[U A Ro Cp Fe R Te Th]); Exemplo 6

45 EQ/UFRJ A função.m tem o código apresentado a seguir: function dy = dydt(t,y,flag,par); U = par(1); A = par(2); Ro = par(3); Cp = par(4); Fe = par(5); R = par(6); Te = par(7); Th = par(8); dy(1) = (Fe-(y(1)/R))/A; dy(2) = (1/y(1))* ( ((Fe*Te/A)+(U*Th/(Ro*Cp)))... - ( y(2)*((Fe/A)+(U/(Ro*Cp)))) ); dy = dy(:); Exemplo 6

46 EQ/UFRJ O vetor dy é criado como vetor linha (dy(1)) e (dy(2)). Porém temos que retornar como vetor coluna. Use o comando: matriz coluna = matriz linha (:) Dica! Exemplo 6

47 EQ/UFRJ figure(1); plot(t,y(:,1)); title('Tanque de aquecimento'); xlabel('Tempo (h)'); ylabel('Altura (m)'); Quando for fazer os gráficos no programa principal lembre-se que a primeira coluna de dy refere-se a h e a segunda a T. Então para graficar h vs. tempo faça: Dica! Exemplo 6

48 EQ/UFRJ Exemplo 7

49 EQ/UFRJ Em uma amostragem experimental obtivemos o seguinte conjunto de pontos: xexp=[ ]; yexp=[ ]; Ajuste um polinômio de 2ª ordem para os dados Exemplo 7

50 EQ/UFRJ Exemplo 7 close all % chute inicial: A=4; B=2; C=3; X0=[A;B;C]; options = optimset('display','iter'); X = fminsearch('UUm',X0,options); disp('Resultado (A, B, C)') disp(X) figure(2) xexp=[ ]; yexp=[ ]; x=0:0.01:5; y=(X(1)*(x.^2))+(X(2).*x)+X(3); plot(x,y,'-b') hold on plot(xexp,yexp,'*r') Programa principal:

51 EQ/UFRJ Exemplo 7 function [erro] = UUm(entra) A=entra(1); B=entra(2); C=entra(3); xexp=[ ]; yexp=[ ]; ymod=(A*(xexp.^2))+(B.*xexp)+C; erro=(yexp-ymod).^2; erro=sum(erro); plot(xexp,yexp,'*r') hold on plot(xexp,ymod,'-b') pause(0.1) Função UUm:

52 EQ/UFRJ Exemplo 8

53 EQ/UFRJ Exemplo 8 A seguinte malha de controle foi elaborada no Simulink. Usar o Matlab para ajustar o controlador. PIDPID degrau unitário no instante 5

54 EQ/UFRJ clear all close all warning off options = optimset('display','iter'); global P I D erro Pmin = fminsearch('custo', [1 5 1],options) Programa principal: Exemplo 8

55 EQ/UFRJ function [erro] = custo(x) global P I D erro P=x(1); I=x(2); D=x(3); [T]=sim('malha',[0 65]); erro=sum(erro.^2); Função custo: Exemplo 8

56 EQ/UFRJ Solução encontrada para degrau unitário no SP: Pmin = Exemplo 8

57 EQ/UFRJ Arquitetura Simulink usada para gerar o gráfico do slide anterior: Exemplo 8

58 EQ/UFRJ Exemplo 8b

59 EQ/UFRJ Ao invés de minimizar o somatório quadrático do erro, posso minimizar o somatório quadrático ponderado com o tempo. Ou seja, erros em tempos mais elevados são mais significativos. Exemplo 8b

60 EQ/UFRJ Exemplo 8b

61 EQ/UFRJ clear all close all warning off options = optimset('display','iter'); global P I D erro tempo Pmin = fminsearch('custo', [10 5 1],options) Programa principal: Exemplo 8b

62 EQ/UFRJ function [erro] = custo(x) global P I D erro tempo P=x(1); I=x(2); D=x(3); [T]=sim('malha',[0 65]); %erro=sum(erro.^2); % somatorio quadratico do erro erro=sum((erro.*tempo).^2); % somatorio quadratico do erro ponderado com o tempo Função custo: Exemplo 8b

63 EQ/UFRJ Resultado obtido: Pmin = Chute inicial usado: Exemplo 8b

64 EQ/UFRJ Exemplo 9

65 EQ/UFRJ Um sistema de detecção de falhas retorna em seu relatório o índice de confiança de cada um dos sensores disponíveis. O resultado está na forma de texto: SVI-D sensor 1: SVI-D sensor 2: SVI-D sensor 3: SVI-D sensor 4:0.942 SVI-D sensor 5: SVI-D sensor 6: SVI-D sensor 7: SVI-D sensor 8: SVI-D sensor 9: SVI-D sensor 10: SVI-D sensor 11: SVI-D sensor 12: SVI-D sensor 13: SVI-D sensor 14: SVI-D sensor 15: SVI-D sensor 16: SVI: índice de validade do sensor Exemplo 9

66 EQ/UFRJ A questão então é achar o sensor que apresenta o menor índice de validade. Ou seja, achar o menor SVI. Como fazer isso sem precisar digitar tudo de novo? Exemplo 9

67 EQ/UFRJ celula=importdata('texto.m'); texto=char(celula); resultado=[]; sensores=[]; for i=1:16, posicao=find(texto(i,:)==':'); valor=texto(i,posicao+1:end); valor=str2num(valor); resultado=[resultado;valor]; end % Ordena do menor para o maior: ordenado=sort(resultado); for i=1:16, sensor=find(ordenado(i,:)==resultado); sensores=[sensores;sensor]; end disp('Valores ordenados') ordenado disp(' ') disp('Em ordem de sensores:') sensores Exemplo 9

68 EQ/UFRJ Exemplo 10

69 EQ/UFRJ

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77 Exemplo 11

78 EQ/UFRJ Na compra de uma calculadora gráfica, a loja ofereceu duas propostas de financiamento – proposta A e B. A proposta A é composta por 7 parcelas mensais iguais de 114 reais cada. Já a proposta B prevê 10 parcelas mensais iguais de 98 reais cada. Qual é a melhor opção de compra considerando a taxa de juros oferecida em investimentos denominados renda fixa? A princípio poderia resolver o problema simplesmente multiplicado 114 x 7 e 10 x 98, achando o valor final pago. Os valores encontrados seriam 798 e 980. Logo, a Proposta A parece mais favorável para o comprador. Exemplo 11

79 EQ/UFRJ É importante lembrar, porém, que essa forma de resolução não considera que o dinheiro desvaloriza-se ao longo dos meses. Ou seja, o poder de compra de 100 reais hoje, é superior ao poder de compra de 100 reais daqui a 10 meses. Outra forma de pensar é considerar o custo de oportunidade – a taxa de retorno livre de que conseguiria para o meu dinheiro caso, ao invés de pagar agora, investisse. De uma forma ou de outra o que precisamos é do VALOR PRESENTE (VP) de cada série de pagamentos, sendo os pagamentos descontados a dada taxa de juros. Para trazer VALOR FUTURO (VF) para valor presente usa-se a fórmula: Exemplo 11

80 EQ/UFRJ Onde i é a taxa de juros mensal e n o número de meses entre o VF e o VP. O código MATLAB abaixo representa os valores presentes para cada taxa de juros implementada. O programa aponta ainda o valor de juros que o VP de ambas as séries tornam-se iguais. Depois, apresenta-se detalhadamente a explicação do código implementado. Exemplo 11

81 EQ/UFRJ clc close all clear all ivetor=0:0.01:0.50; VPvetor114=[]; VPvetor98=[]; prompt{1}='Número de meses do pagamento da serie A:'; prompt{2}='Número de meses do pagamento da serie B:'; prompt{3}='Valor de cada parcela da serie A:'; prompt{4}='Valor de cada parcela da serie B:'; resposta=inputdlg(prompt,'Calculo da taxa de equilibrio'); nummeses114=str2num(char(resposta(1))); nummeses98=str2num(char(resposta(2))); v114=str2num(char(resposta(3))); v98=str2num(char(resposta(4))); Exemplo 11

82 EQ/UFRJ for J = 1:length(ivetor), i=ivetor(J); VP=[]; for K = 1:nummeses114, VP(K)=v114/(1+i)^K; end VPfinal=sum(VP); VPvetor114=[VPvetor114, VPfinal]; VP=[]; for K = 1:nummeses98, VP(K)=v98/(1+i)^K; end VPfinal=sum(VP); VPvetor98=[VPvetor98, VPfinal]; end Exemplo 11

83 EQ/UFRJ plot(ivetor*100,VPvetor114,'-b') hold on plot(ivetor*100,VPvetor98,'-r') title('Valor presente das parcelas a serem pagas') legend( [ num2str(nummeses114), ' parc de ', num2str(v114),' reais cada'],... [ num2str(nummeses98), ' parc de ', num2str(v98),' reais cada' ] ) xlabel('Taxa de juros mensal') ylabel('Valor presente em Reais') if (VPvetor114(1)

84 EQ/UFRJ Exemplo 11

85 EQ/UFRJ Carlos André Vaz Junior


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