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Lei de Little. Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l.

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1 Lei de Little

2 Recursos limitados Geração de filas Tomada de decisões Ferramentas simples Lei de Little Otimização de recursos Lei de Little l l l l l l

3 Parâmetros de uma Fila l L: número médio de usuários no sistema l L Q : número médio de usuários na fila l W: tempo médio que um usuário permanece no sistema l W Q : tempo médio que um usuário permanece na fila LQLQ L L S

4 Lei de Little Idéia de custo: Cada usuário que entra ao sistema paga uma quantia de dinheiro, de acordo a certa regra. l Identidade de custo: Velocidade média com que o sistema ganha dinheiro = taxa média de chegada ao sistema multiplicada pela quantia paga por cada usuário.

5 Lei de Little l Definições: V s : velocidade média com que o sistema ganha dinheiro a : taxa média de chegada de usuários ao sistema : quantia paga por cada usuário l Identidade de custo em termos matemáticos:

6 Lei de Little l Demonstração intuitiva da identidade de custo: T: período de observação $(T): quantia média ganha pelo sistema em [0,T] N(T): número de usuários que entra no sistema em [0,T]

7 Lei de Little l Tem-se que: $(T) = V s T (1) $(T) = N(T). (2) N(T) a.T (3) De (1), (2) e (3), tem-se que: Portanto:

8 Lei de Little l Aplicações de identidade de custo: regra 1 Cada usuário paga $ 1 por unidade de tempo em que está no sistema. [$/ut] W[$/pessoa] Sistema

9 Lei de Little Definição: D: velocidade com que o sistema ganha dinheiro W: quantia paga por um usuário (já que ele está há W unidades de tempo no sistema) Então, da igualdade de custo :

10 Lei de Little l Aplicações da identidade de custo: outro enfoque Ponto de vista do caixa à entrada do sistema, que observa que há L usuários no sistema. L usuários Sistema

11 Lei de Little Definição: D: velocidade com que o sistema ganha dinheiro [$/ut] L: número médio de usuários no sistema Cada usuário paga 1$ por unidade de tempo. Então: Juntando ambos pontos de vista:

12 l Aplicações da identidade de custo: regra 2 Cada usuário paga $ 1 por unidade de tempo em que está na fila. Definição: D q : velocidade com que a fila ganha dinheiro. W q : quantia paga por um usuário (já que está há W unidades de tempo na fila) Então, valor que corresponde aos pagamentos feitos pelos usuários: Lei de Little

13 l Aplicações da identidade de custo: outro enfoque Ponto de vista do caixa à entrada da fila, que observa que há N usuários na fila. Definição: D q : velocidade com que a fila ganha dinheiro L q : número médio de usuários na fila Resumo da regra: Juntando ambos pontos de vista:

14 l Aplicações da identidade de custo: regra 3 Cada usuário paga $ 1 por unidade de tempo em que está no servidor. Definição: E[s]: tempo médio em que cada usuário está no servidor L s : número médio de usuários em serviço Então, da igualdade de custo: Lei de Little

15 l Aplicações da identidade de custo: outro enfoque Ponto de vista do caixa à entrada da zona de serviço, que observa que há N usuários em serviço. Definição: D s : velocidade com que o serviço ganha dinheiro L s : número médio de usuários em serviço Então, da igualdade de custo : Juntando ambos pontos de vista: Lei de Little

16 Aplicações da Lei de Little

17 Transmissão de pacotes : taxa média de chegada de pacotes a uma rede de computadores N q : número médio de pacotes esperando na fila : tempo médio de transmissão Pacotes em espera Pacotes em transmissão destino fonte Linha de transmissão Pode ser modelado por:

18 l Pergunta 1: qual é o tempo médio de permanência de um pacote na fila? Aplicando a Lei de Little: l Pergunta 2: qual é o número médio de pacotes na linha de transmissão? Seja o número de pacotes na linha de transmissão. Pela Lei de Little: Transmissão de pacotes

19 Rede de computadores 1, 2,…, n : taxa de chegada de pacotes aos n nós N: número médio de pacotes dentro da rede 1 2 Linha de transmissão 1 i n Rede de computadores 2 i n

20 l Pergunta: qual é o atraso médio de um pacote? Ao sistema chegam pacotes por unidade de tempo. Aplicando a Lei de Little: Além disso, onde N i : número médio de pacotes no nó i T i : atraso médio de pacotes no nó i Rede de computadores

21 Um concentrador de dados possui 40 terminais a ele conectados. Cada terminal gera pacotes com comprimento médio de 680 bits. 40 bits de informação de controle são agregados a cada pacote antes deste ser transmitido ao enlace de saída, que tem capacidade de 7200 b/s. 20 dos terminais geram um pacote cada 10 seg. em média. 10 dos terminais geram um pacote cada 5 seg. em média. 10 dos terminais geram um pacote cada 2.5 s em média. Análise de outro concentrador

22 l 20 terminais: um pacote a cada 10 s em média 10 terminais: um pacote a cada 5 s em média 10 terminais: um pacote a cada 2.5 s em média l Modelo: as estatísticas de entrada tem distribuição de Poisson. Análise de outro concentrador

23

24 Linha de transmissão K: período de chegada de um pacote à linha K: tempo de transmissão do pacote ( < 1) P: atraso de processamento e propagação do pacote Partida do segundo pacote K 2K 3K K+P Chegada do primeiro pacote Chegada do segundo pacote Partida do primeiro pacote t N(t) K K+P 2K

25 l Pergunta 1: qual é a taxa de chegada de pacotes ao sistema? l Como os pacotes chegam com períodos iguais, sua taxa de chegada será: Linha de transmissão

26 l Pergunta 2: qual é o número de pacotes no sistema? l Cada pacote permanece dentro do sistema: De acordo com a Lei de Little tem-se que: Linha de transmissão

27 l Observação 1: N(t) é determinístico e variável no tempo. l Observação 2: A Lei de Little é correta, caso interprete-se N(t) como uma média no tempo, ou seja: Linha de transmissão

28 Sistema fechado com K servidores Considere um sistema de uma fila com K servidores e com N ( K) usuários (seja na fila ou em serviço). O sistema está sempre cheio, isto é, o sistema começa com N usuários e quando um usuário sai do sistema é imediatamente substituído por um novo usuário. Tempo meio de serviço = E[x]. Pergunta : T = ?

29 l Calcular T em função do tempo médio de serviço E[x] Aplicando a Lei de Little ao sistema: Aplicando a Lei de Little ao servidor: Eliminando das duas equações anteriores se chega a : Sistema fechado com K servidores

30 Sistema fechado K: número de servidores no sistema T: tempo médio de um usuário no sistema N: número de usuário no sistema (N K) : tempo médio de serviço por usuário 1 2 K i N-K usuários servidores

31 l Hipóteses: 2 sistema começa com N usuários 2 sistema fechado l Qual é o tempo médio que um usuário permanece no sistema? Aplicando a Lei de Little no sistema: (1) Sistema fechado

32 l Considerando-se que todos os servidores estão sempre ocupados, aplicando a Lei de Little ao subsistema do servidor: (2) de (i) e (ii) tem-se que: Sistema fechado

33 Controle de fluxo pela janela X N: largura da janela para cada sessão : taxa de chegada de pacotes ao sistema T: atraso médio de cada pacote Transmissor Receptor N..

34 l Hipóteses: 2 A sessão sempre tem pacotes para enviar. 2 Os acks de resposta têm duração desprezível. 2 Quando o pacote i chega a destino, o pacote i+N é imediatamente introduzido na rede. l Análise pela Lei de Little: 2 Se T aumenta, então diminui 2 Para máximo fixo um incremento no tamanho da janela somente incrementa o atraso T Controle de fluxo pela janela

35 Análise de um computador a tempo compartilhado Arquitetura: Computador R P T1 T2 TN D

36 Parâmetros do sistema l N: número de terminais l R: tempo médio de pensar em cada terminal l P: tempo médio de processamento de cada tarefa l D: tempo médio desde que um trabalho é submetido ao computador até que termine sua execução l T = R+D: tempo médio de uma tarefa no sistema l : throughput do sistema

37 l Condição de sistema fechado: N = constante no sistema l Condição máxima de utilização: Sempre existe um usuário com uma tarefa quando outro acaba de ser atendido. l Problema: encontrar os valores máximos e mínimos de e T. Análise de um computador a tempo compartilhado

38 Modelo Time sharing: T B 1 / P CPU TERMINAL 1 2 N R R R D P R A

39 l Análide: devido à hipotese, sempre existem N terminais que estão processando. Aplicando a Lei de Little entre os pontos (A) e (B): l Atraso mínimo de um trabalho Dmin = P l Atraso máximo de um trabalho Dmax = NP Análise de um computador a tempo compartilhado

40 l Conclusão P D NP Portanto, R + P T R + NP (1) Aplicando a Lei de Little em (1) (2) Como o processamento de uma tarefa demora P, tem-se que: (3) Análise de um computador a tempo compartilhado

41 Combinando (2) e (3), obtem-se: (4) Usando-se a Lei de Little, chega-se aos limites de tempo para o sistema (5) Análise de um computador a tempo compartilhado

42 Atraso máximo e mínimo do sistema R+P R 1 NP R+NP zona de operação

43 Throughput máximo e mínimo

44 Processos de nascimento e morte

45 E k-1 E k E k+1 k-1 k k k+1 Processos de nascimento e morte l É o caso especial de uma cadeia de Markov na qual as únicas transições permitidas (ou possíveis) a partir de um estado E k, são aos estados E k-1 ou E k+1, se estes estados existem.

46 E k+1 E k-1 EkEk EkEk Definições l Nascimento: transição ao estado adjacente superior (hipótese: num intervalo de tempo (t,t+ t) pode chegar no máximo um usuário ao sistema). l Morte: transição ao estado adjacente inferior (hipótese: num intervalo de tempo (t,t+ t) pode sair no máximo um usuário do sistema).

47 Definições l Razão de nascimento: número médio de nascimentos por unidade de tempo. Esta razão é dependente do estado, isto é, para o estado k: k q k,k+1 l Razão de morte: número médio de mortes por unidade de tempo quando o sistema está num determinado estado k: k q k,k-1 l Como a EBG estabelece que q k,i = 0 Então: q k,k = - ( k + k )

48 E k E k-1 E k E k+1 t + t t Deseja-se obter: Solução dos PNM l Evolução temporal de um PNM no intervalo (t, t+ t):

49 Solução dos PNM l Hipótese: quando se está no estado E 0, não é possível uma morte ( 0 = 0), mas é possível um nascimento ( 0 0) (exemplo: geração espontânea)

50 Solução dos PNM l Logo, as possibilidades de estar no estado E k no instante t + t, a partir do estado no instante t, são: E k E k-1 E k E k+1 t + t t 1 morte Não mudou 1 nascimento

51 B 1 (k,t) = P[um nascimento em (t,t+ t) | N(t)=E k ] = k t + o ( t) D 1 (k,t) = P[uma morte em (t,t+ t) | N(t)=E k ] = k t + o ( t) B 0 (k,t) = P[nenhum nascimento em (t,t+ t) | N(t)=E k ] = 1 - k t + o ( t) D 0 (k,t) = P[nenhuma morte em (t,t+ t) | N(t)=E k ] = 1 - k t + o ( t)Definições

52 Definições l Sejam: k (t) = P[N(t) = E k ] p i,j (t,t+ t) = P[N(t+ t) = E j | N(t) = E i ], para |i-j| < 1

53 l Logo: p k,k (t,t+ t) = B 0 (k,t) D 0 (k,t) + o( t) p k-1,k (t,t+ t) = B 1 (k,t) D 0 (k,t) + o( t) p k+1,k (t,t+ t) = B 0 (k,t) D 1 (k,t) + o( t) l Desenvolvendo: p k,k (t,t+ t) = 1 - ( k + k ) t + o( t) p k-1,k (t,t+ t) = k t + o( t) p k+1,k (t,t+ t) = k t + o( t) Definições

54 Solução dos PNM l Pelo teorema das probabilidades totais, tem-se que: E k E k-1 E k E k+1 t+ t t 1 morte Não muda 1 nascimento

55 Solução dos PNM l Substituindo, agrupando e tomando, obtém-se: Além disso,

56 l Logo,obtém-se o seguinte sistema: Solução dos PNM

57 l Para uma cadeia de Markov qualquer: l Para um PNM, tem-se que: l Observa-se que esta equação coincide com a da transparência anterior. Solução dos PNM

58 l Um processo de Poisson é um processo de nascimento puro, onde: k k l As equações anteriores são reduzidas a: l Condição inicial: Exemplo

59 l Resolvendo, se tem que: Logo, por indução obtém-se: Processo de Poisson Exemplo

60 Solução de um PNM em equilíbrio l Em estado estacionário (t) é independente do tempo, logo (tvai ser representado somente por A EBG se reduz a: l Além disso:

61 Solução de um PNM em equilíbrio l Logo:

62 Solução de um PNM em equilíbrio l O caso anterior visualiza-se da seguinte maneira: Fluxo que sai = Fluxo que entra E k-1 E k E k+1 k k-1k k+1

63 Solução de um PNM em equilíbrio l O caso anterior visualiza-se da seguinte maneira: ( k + k ) k = Fluxo que entra E k-1 E k E k+1 k k-1k k+1

64 Solução de um PNM em equilíbrio l O caso anterior visualiza-se da seguinte maneira: ( k + k ) k = k-1 k-1 + k+1 k+1 E k-1 E k E k+1 k k-1k k+1

65 l Reorganizando-se: Por outro lado, definindo-se g k como: Solução de um PNM em equilíbrio

66 l Reconhecendo g k na EBG: com: Solução de um PNM em equilíbrio

67 l Reconhecendo g k na EBG : com = Solução de um PNM em equilíbrio

68 l Reconhecendo g k na EBG : logo, é constante com respeito a k = Solução de um PNM em equilíbrio

69 l Além disso, num PNM: l Da EBG para o estado 0, se vê que g 0 = 0. Juntando-se com a equacao que diz que g k+1 = g k, tem-se que: g k = 0 k 0 2 E 0 E Solução de um PNM em equilíbrio

70 l Além disso, num PNM: de onde 2 E 0 E Solução de um PNM em equilíbrio

71 l Além disso, num PNM: de onde 2 E 0 E Solução de um PNM em equilíbrio

72 l A equação anterior corresponde a uma equação de balanço local (EBL), isto é: Equação de balanço local E k+2 k+1 E k-1 E k E k+1 k k-1k k+1 k = k k+1 k+1

73 l Cabe comentar que a EBL não é verdadeira para qualquer cadeia de Markov, por exemplo: 20 E 0 E E 3 E 2 Equação de balanço local

74 l Cabe comentar que a EBL não é verdadeira para qualquer cadeia de Markov, por exemplo: 20 E 0 E E 3 E 2 Equação de balanço local

75 l Cabe comentar que a EBL não é verdadeira para qualquer cadeia de Markov, por exemplo: 20 E 0 E E 3 E 2 Equação de balanço local = 32 23

76 l Logo, segundo a EBL: E k+2 k+1 E k-1 E k E k+1 k k-1k k+1 k = k k+1 k+1 A EBL estabelece que, em estado estacionário, o FLUXO entre dois estados adjacentes é IGUAL Equação de balanço local

77 l É mais fácil resolver a EBL do que a EBG. Tem-se que: l Para: k = 0:, k = 1: Solução de um PNM em equilíbrio

78 l É mais fácil resolver a EBL do que a EBG. Tem-se que: l Para: k = 0:, k = 1: l Por indução: Solução de um PNM em equilíbrio

79 l Além disso: Logo: Solução de um PNM em equilíbrio


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