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Filas M/M/1. Chegadas de Poisson k Serviço exponencial M/M/1 l É o exemplo mais simple de um PNM. l Servidor único l Processos de chegada Poisson l Tempo.

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1 Filas M/M/1

2 Chegadas de Poisson k Serviço exponencial M/M/1 l É o exemplo mais simple de um PNM. l Servidor único l Processos de chegada Poisson l Tempo de serviço com distribuição exponencial. l Política de serviço FIFO

3 Sistema servidor fila Chegadas M/M/1

4 Sistema servidor fila M/M/1

5 Chegadas Sistema servidor fila M/M/1

6 Chegadas Sistema servidor fila M/M/1

7 Chegadas Sistema servidor fila M/M/1

8 Chegadas Sistema servidor fila M/M/1

9 Chegadas Sistema servidor fila M/M/1

10 Chegadas Sistema servidor fila M/M/1

11 Chegadas Sistema servidor fila M/M/1

12 Chegadas Sistema servidor fila M/M/1

13 k k M/M/1 l Exemplo 1: seja a seguinte representação de uma rede de comutação de pacotes k = : taxa de chegada dos pacotes ao nó k = : taxa de saída dos pacotes para o canal

14 M/M/1 l Segundo a solução de PNM se tem que: Por outro lado, a condição de normalização estabelece que: Portanto, se :

15 M/M/1 l Segundo a solução de PNM se tem que: Por outro lado, a condição de normalização estabelece que: Portanto, se :

16 M/M/1 De onde: O tempo médio de permanência no sistema, igual ao tempo de espera mais o tempo de serviço, se obtém pela fórmula de Little:

17 M/M/1 l Exemplo 2: considera-se agora o mesmo sistema de filas M/M/1 do exemplo anterior, porém a taxa de serviço é 2.

18 M/M/1 l O valor médio do número de pacotes no sistema é: O tempo médio de permanência no sistema é:

19 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 E[s] /2 M/M/1 ( ) M/M/1 (2 E[s]= tempo de resposta normalizado Gráfico comparativo

20 A ocupação média de um buffer de um concentrador de dados pode ser calculada para diferentes casos. Neste tipo de equipamento, os pacotes que entram de terminais a ele conectados são armazenados por ordem de chegada em um buffer, e são então lidos em FIFO sobre um enlace de saída de transmissão. Análise de um concentrador

21 l 10 terminais estão conectados ao concentrador l Cada um gera um pacote a cada 8 segundos (distribuição exponencial) l Pacotes têm 960 bits de comprimento em média (distribuição exponencial) l Linha de saída com capacidade de 2400 b/s Ocupação média do buffer = E [n] = ? Atraso médio no sistema = E [T] = ? Tempo médio de espera na fila = E [W] = ? Análise de um concentrador

22 l Modelo: para modelar o buffer será usada uma fila M/M/1 Ocupação média do buffer Portanto: Análise de um concentrador

23 Atraso médio, usando a Lei de Little: Tempo médio de espera: Análise de um concentrador

24 l Cada terminal gera pacotes a cada 5 seg em média. Encontre a ocupação média do buffer E[n], o atraso médio E[T] e a média do tempo de espera E[W]. Para modelar o buffer será usada uma fila M/M/1. Ocupação média do buffer: Análise de um concentrador

25 Atraso médio, usando a Lei de Little: Tempo médio de espera: Análise de um concentrador

26 Filas M/M/C

27 M/M/C l E[t] = 1/ =: tempo médio entre chegadas ao sistema l E[x] = 1/ : tempo médio dos clientes em serviço l u = E[x]/E[t] = / : intensidade de tráfego l C: número de servidores l A utilização de um servidor é então:

28 M/M/C l E[t] = 1/ =: tempo médio entre chegadas ao sistema l E[x] = 1/ : tempo médio dos clientes em serviço l u = E[x]/E[t] = / : intensidade de tráfego l C: número de servidores l A utilização de um servidor é então:

29 M/M/2 l Exemplo 3: adiciona-se outra saída, formando um sistema de filas M/M/2

30 M/M/2 l Para k a taxa de serviço efetiva é 2. Logo, segundo a solução geral de um PNM : Junto com a equação de normalização, obtém- se:

31 M/M/2 Então, Finalmente, a ocupação média do sistema e o tempo médio de permanência no sistema são:

32 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 E[s] /2 M/M/1 M/M/2 M/M/1 2 E[s]= tempo de resposta normalizado Gráfico comparativo

33 M/M/1 l Exemplo 4: 2 Fila M/M/1 2 Tempo entre chegadas = 20 [s] = 1/ 2 Tempo de serviço = 10 [s] = 1/ 2 Número de servidores = 1 = C O servidor está ocupado na metade do tempo

34 M/M/1 l Exemplo 5: 2 Fila M/M/1 2 Tempo entre chegadas = 20 [s] = 1/ 2 Tempo de serviço = 30 [s] = 1/ 2 Número de servidores = 1 = C O sistema é inundado com chegadas (sistema instável): pode ser resolvido com outro servidor.

35 M/M/2 l Exemplo anterior com dois servidores: 2 Tempo entre chegadas = 20 [s] = 1/ 2 Tempo de serviço = 30 [s] = 1/ 2 Número de servidores = 2 = C Os servidores estarão ocupados durante 75% do tempo

36 Modelos de filas aplicavéis a centrais telefônicas

37 Fila M/M/ Fila M/M/ l Parâmetros Tempo entre chegadas ~ Exp ( ) Tempo de serviço ~ Exp ( ) Infinitos servidores não existem filas Exp ( ) 1 2 Exp ( )

38 Cadeia de Markov M/M/ l Equações: Neste caso: 01 m + 1 m m – 1 (m–1) m (m+1) (m+2)

39 De onde obtém-se que: Probabilidade de que existam n pessoas em um sistema M/M/, com A=15 Erlangs n Pn

40 l Observação: Em uma fila M/M/ : P n ~ P ( Por definição: L = / Aplicando a Lei de Little : L = ·W L Q = ·W Q = L – m · = L –, com: m: número médio de servidores em uso r: uso médio destes servidores Então: L Q = W Q = 0, o que está de acordo com o modelo de infinitos servidores.

41 Fila M/M/m l Parâmetros Tempo entre chegadas ~ Exp ( ) Tempo de serviço ~ Exp ( ) 2 Número de servidores : m Fator de Utilização: / m Exp ( ) 1 2 m

42 l Cadeia de Markov M/M/m 01m m – 1m + 1 (m–1) m m m l Equações: Neste caso:

43 Substituindo e manipulando:

44 l Observação: Probabilidade de que ao chegar um pacote espere por algum servidor livre, P(Fila): Como o tempo entre chegadas é distribuído exponencialmente: Logo, a probabilidade de existir fila é dada por: o que corresponde à fórmula Erlang – C :

45 l Exemplo 2 m = 8 linhas de saída. 2 A = 4,5 Erlangs l Problema: calcular a probabilidade de espera l Solução:

46 l Exemplo 2 PBX com 40 ramais 2 Cada ramal realiza diariamente, em média, 54 ligações 2 A duração de cada ligação é, em média, de 3 minutos. l Problema 1: qual é o número de troncos de saída necessários para uma probabilidade 5% de que exista fila máxima?

47 l Solução = 40· = 1,5 ligações min 1 = 3 min ligação 2 A = 1.5 · 3 = 4.5 Erlangs 2 Número mínimo de troncos de saída: m = 9P Fila = 4.61 % Número de troncos (servidores) P(Fila) % Probabilidade de fila com A=4,5 Erlangs

48 l Problema 2: qual é o número de troncos de saída necessários para uma probabilidade de 0,1% de que exista fila máxima? l Solução: os parâmetros do problema se mantém. Número mínimo de troncos de saída: 2 m = 13 P Fila = 0.08 % Número de troncos (servidores) P(Fila) % Probabilidade de fila com A=4,5 Erlangs

49 l Comparação: 2 Número mínimo de troncais de saída para : P F 5 % m = 9 P F 4,61 % P F 0,1 % m = 13 P F 0,08 % 2 Agregaram-se 4 troncos (isto é, aumento de 44,44 %). 2 Diminui-se a probabilidade de haver fila em 57,625 vezes (é dizer, diminuiu-se de 98,26 %).

50 Fila M/M/1/N l Parâmetros Tempo entre chegadas ~ Exp ( ) Tempo de serviço ~ Exp ( ) 2 Número de servidores : 1 Fator de utilização: / Exp ( ) 23 NN-1

51 l Cadeia de Markov M/M/1/N l Equações: Neste caso: 01 N N – 1 2

52 Substituindo e manipulando : Conclusão:

53 l Probabilidade de bloqueio M/M/1/N P B : probabilidade de que uma ligação que chega encontre a fila cheia e se perca. Da figura: = ·(1-P B ) Fila ·P B Exp ( )

54 Juntando ambas equações e manipulando: Aplicando a Lei de Little : Além do mais, é a velocidade de processamento multiplicada pela fração de tempo que o servidor trabalha o servidor, isto é: = ·(1-P 0 )

55 Exemplo: em um PBX foram obtidas as seguintes estatísticas: = 15 ligações hr = 0,25 ligações min 1 = 3 min ligação Qual deve ser o tamanho do buffer para que a probabilidade de se perder uma ligação seja no máximo 0,1% ?

56 Solução: N Pb % Probabilidade de bloqueio v/s troncos de entrada buffer = 19 ligações

57 Fila M/M/N/N l Parâmetros Tempo entre chegadas ~ Exp ( ) Tempo de serviço ~ Exp ( ) 2 Número de servidores : N Fator de Utilização: / N Exp ( ) 1 2 N

58 l Cadeia de Markov de M/M/N/N Equações: EBG: 01 N N – 1 2 V. Saída ·P 0 ( +i )·P i N ·P N Estado 0 0 < i < N N = = V. Entrada ·P 1 (i+1) ·P i+1 + ·P i-1 ·P N-1

59 Manipulando obtém-se: Se obtém que: Usando:

60 Observação: a probabilidade P N de que o sistema se encontre cheio e que ao chegar uma ligação esta se perca é dada pela fórmula de perda da distribuição de Erlang:

61 Dada a máxima intensidade de tráfego, movimenta-se por uma curva, avaliando a probabilidade de que um cliente não possa se comunicar, para distintas quantidades de troncos de entrada Probabilidade de bloqueio v/s troncos de entrada N Pb % A=30Erl As seguintes curvas são usadas para o dimensionamento de centrais PBX:

62 Probabilidade de bloqueio v/s troncos de entrada para A = 10 Erlangs N Pb % Supondo-se intensidade de tráfego máxima de 10 Erlangs, avalia-se as grandes diferenças entre as probabilidades de bloqueio, usando diferentes números de troncos de entrada.

63 As seguintes curvas são usadas para verificar o dimensionamento de PBX já instaladas: Probabilidade de bloqueio v/s intensidade de tráfego A [Erlangs] Pb % N = Dada uma PBX com certo número de troncos, a probabilidade de bloqueio é dada pela curva correspondente, conforme seja a intensidade de tráfego em cada momento.

64 Probabilidade de bloqueio v/s intensidade de tráfego para N = 21 troncos A [Erlangs] Pb % Observa-se que para um pequeno aumento na intensidade de tráfego, a probabilidade de bloqueio pode aumentar de maneira significativa.

65 l Exemplo: P B 0,4% 2 N = 100 linhas 1 = 5 min ligação l Problemas: 2 Determinar a máxima intensidade de tráfego admissível. 2 Determinar a máxima taxa de chegada de ligações para que não ocorra bloqueio.

66 l Solução: 2 Determinar a máxima intensidade de tráfego admissível A = 80 Erl PB = 0,399% A [Erlangs] Pb % Probabilidade de bloqueio v/s intensidade de tráfego

67 2 Determinar a máxima taxa de chegada de ligações para que não ocorra bloqueio. chamadas/min

68 l Exemplo: P B 0,5% 2 A = 93,0 Erlangs l Problema: 2 Determinar o mínimo número de troncos necessários. l Solução:

69 N Pb % Probabilidade de bloqueio v/s troncos N = 114 Troncais PB = 0,42%

70 Bibliografia básica

71 l S.M. Ross, Introduction to probability models, Academic Press,1997. l R. Jain, The art of computer systems performance evaluation, Wiley, l K. Trivedi, Probability and statistics with reliability, queuing, and computer science applications, Prentice Hall, l V. Kulkarni, Modeling and analysis of stochastic systems, Chapman and Hall,1995. l L. Kleinrock, Queueing systems, Volume 1: Theory, Wiley, 1975

72 Fim


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