22 - INTRODUÇÃO A TEORIA DE FILAS (representação)

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1 22 - INTRODUÇÃO A TEORIA DE FILAS (representação)
População Proc. de chegada Fila de Espera Servidores Disc. de serviço Partida nq ns n   s w r Tempo 

2 INTRODUÇÃO A TEORIA DE FILAS
1.1 Notação de Kendal A/S/m/B/K/SD; A: Distribuição do Tempo entre chegadas; S: Distribuição do Tempo de Serviço; Distribuições mais comuns são: M(exponencial),Ek(Erlang), Hk(Hiperexponencial),D(Determinística),G (Geral)

3 INTRODUÇÃO A TEORIA DE FILAS
m: Número de Servidores; B:Capacidade do Sistema, ou número de buffers (se não for explicitado é considerada infinita); K: Tamanho da População (se não for explicitado é considerada infinita); SD: Disciplina de Serviço, comuns são: FIFO, LCFS, ... (se não for explicitado é considerada FIFO);

4 REGRAS GERAIS A razão média de chegada é dada por =1/E[]. Onde  é o tempo entre duas chegadas sucessivas; A razão média de partida é dada por =1/E[s]. Onde s é o tempo de serviço; ns é o número de clientes em serviço; nq é o número de clientes esperando por serviço;

5 REGRAS GERAIS n é o número médio de clientes no sistema, também chamado de comprimento da fila. Ele inclui os clientes em serviço e aqueles que estão esperando por serviço; n=ns+nq E[n]= E[ns]+E[nq] s é o tempo de serviço; w é o tempo de espera por serviço;

6 REGRAS GERAIS r é o tempo de resposta ou tempo no sistema. Ele inclui tempo de espera por serviço e o tempo de serviço; r=s+w E[r]= E[s]+E[w] Condição de estabilidade diz que a razão média de chegada deve ser menor que a razão com a qual o sistema as processa ou <m;

7 REGRAS GERAIS Lei de Little ou fórmula de Little diz:
Número médio de clientes no sistema= razão de chegada X tempo médio de resposta Se aplica a qualquer parte do sistema. Assim: E[n]=E[t] E[nq]=E[w]

8 PROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE
Caso especial de um Processo de Markov; As transições somente ocorrem entre os estados adjacentes; A chegada de um cliente aumenta a população do sistema (nascimento); A partida de um cliente diminui a população do sistema (morte);

9 PROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE
l N+1 2 1 N N-1 N-2 m .... Estados: Equilíbrio: Fluxo de entrada = fluxo de saída

10 PROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE
Estados fluxo de entrada = fluxo de saída m1p1 = l0p0 1 l0p0 + m2p2 = (l1 + m1) p1 2 l1p1 + m3p3 = (l2 + m2) p2 N lN-2pN-2 + mNpN = (lN-1 + mN-1) pN-1 N lN-1pN-1 + mN+1pN+1 = (lN + mN) pN

11 PROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE
Estados: 0: p1 = (l0 / m1) p0 1: p2 = (l1 / m2) p1 + (m1p1 - l0p0) / m2 = (l1 / m2) p1 + (m1p1 - m1p1) / m2 = (l1 / m2) p1 =

12 PROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE
Estado n-1: n-1: pn = (ln-1 / mn) pn-1 + (mn-1pn-1- ln-2pn-2) / mn = (ln-1 / mn) pn-1 + (mn-1pn-1- mn-1pn-1) / mn = (ln-1 / mn) pn-1

13 PROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE
N-ésimo estado: N: pn+1 = (ln / mn+1) pn+ (mnpn - ln-1pn-1) / mn+1 = (ln / mn+1) pn

14 PROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE
Condição de estabilidade  0<p01 Implica que i/i+1<1. Assim, para que exista o equilibro, a razão com o qual os clientes chegam, deve ser menor que a razão com que o sistema os processa. Caso contrário, o sistema é instável

15 A FILA M/M/1 A=Mtempo entre as chegadas é uma v.a distribuída exponencialmente; S=M tempo de serviço é uma v.a distribuída exponencialmente M=1 um servidor B fila infinita; K população infinita; SD FIFO;

16 Diagrama de transição de estado
A FILA M/M/1 Diagrama de transição de estado   1 n .. n+1

17 A FILA M/M/1 Aplicando a solução do processo de nascimento e morte;
A série somente converge se <1, onde  = /, ;

18 Probabilidade do estado de equilíbrio
A FILA M/M/1 Probabilidade do estado de equilíbrio  é chamado intensidade de tráfego

19 A FILA M/M/1 Número médio de clientes no sistema

20 A FILA M/M/1 Lei de Little Tempo de resposta

21 A FILA M/M/1-EXERCÍCIO As medidas mostram que em um gateway de uma rede, os pacotes chegam com uma razão média de 125 pps (pacotes por segundo), e o gateway gasta 2 milisegundos para processa-los. Usando o modelo M/M/1, analise o gateway. Qual é a prob. de ocorrer um transbordo no buffer se o gateway tem 13 buffers ? Quantos buffers são necessários para manter a perda de pacote abaixo de 1 pacote por milhão.

22 A FILA M/M/1-EXERCÍCIO Solução: Razão de chegada =125 pps;
Razão de serviço  =1/0.002 = 500 pps; Utilização do gateway U== / =0.25; Probabilidade de n pacotes no gateway=(1-) n=0.75(0.25)n

23 A FILA M/M/1-EXERCÍCIO Número médio de pacotes no gateway
= /(1- )=0.25/0.75=0.33; Tempo de resposta do gateway =  /(1- )=(1/500)/(1-0.25) =2.66 milisegundos;

24 A FILA M/M/1-EXERCÍCIO Probabilidade de transbordo do buffer=P(ter mais que 13 pacotes no gateway)= 13 =1.49x10-8=15 pacotes por bilhão de pacotes Para a prob de perda ser menor que 10-6, tem-se 13 10-6 ou n>log(10-6)/log(0.25)=9.96 Assim para a manter a probabilidade de perda abaixo de 10-6 é necessário 10 buffers

25 A FILA M/M/m A=Mtempo entre as chegadas é uma v.a distribuída exponencialmente; S=M tempo de serviço é uma v.a distribuída exponencialmente; m=m m servidores;

26 A FILA M/M/m l m m mm m+1 2 1 m m-1 m-2 2m (m-1) m ... 3 3m

27 A FILA M/M/m Aplicando a solução do processo de Nascimento e morte, tem-se:  = /m  é chamado intensidade de tráfego

28 A FILA M/M/m Novamente a condição de existência do equilíbrio <1 ou <m; Para que fila M/M/m seja estável, a razão com a qual os clientes chegam deve ser menor que a razão com que os m servidores podem processa-los; Caso contrário, o sistema é instável;

29 A FILA M/M/m Medidas de pertinência:
Fórmula de Erlang C, largamente empregada no modelamento de sistemas de espera;

30 A FILA M/M/m -EXERCÍCIO
Os estudantes chegam em um centro de computação de uma universidade de forma Poissoniana com parâmetro 10 por hora. O tempo de serviço de cada terminal é dist. Exponencialmente. Cada estudante gasta na média 20 minutos em cada terminal. O centro atualmente tem 5 terminais. Alguns estudantes tem reclamado que os tempos de espera estão muito longos. Analise tal sistema, usando o modelo de fila adequado.

31 A FILA M/M/m -EXERCÍCIO
O centro é uma fila M/M/5 com razão de chegada 1/6 minutos e razão de serviço 1/20 minutos Intens. de tráfego =/m=0.167/(5x0.05) p0=[1+(5X0.67)5/5!(1-0.67) + (5X0.67)1/1! + (5X0.67)2/2!+ (5X0.67)3/3! (5X0.67)4/4!]-1 = ;

32 A FILA M/M/m -EXERCÍCIO
A prob. de todos os terminais estarem ocupados =  = p0(m )m/m!(1- ) =0.0318x(5x0.67)5/5!(1-0.67)=0.33; Utilização média do terminal =0.67; Número médio de estudantes em cada centro E[n]=m+ /(1-)=0.67x0.33/(1-0.67)=4.0

33 A FILA M/M/m -EXERCÍCIO
A média e a variância do tempo gasto no centro: E[r]= 1/[1+ /m(1- )]=1/0.05[ /5(1-0.67)]=24 Var[r]=1/2[1+ (2- )/m2(1- )2]=1/0.052[ ( )/52(1-0.67)2]=479 Cada estudante gasta 24 minutos no centro. Desses 20 minutos são em serviço, e 4 são esperando por serviço;

34 A FILA M/M/m -EXERCÍCIO
90% do tempo de fila é: (E[w]/)x ln(10)=14 minutos;

35 A FILA M/M/m/B A=Mtempo entre as chegadas é uma v.a distribuída exponencialmente; S=M tempo de serviço é uma v.a distribuída exponencialmente; m=m m servidores; B buffer finito

36 A FILA M/M/m/B ... l m m B 2 1 m m-1 2m mm 3 3m

37 A FILA M/M/m/B Aplicando a solução do processo de Nascimento e morte, tem-se:  = /m  é chamado intensidade de tráfego

38 A FILA M/M/m/B Esse sistema é sempre estável para todo <infinito;
Isso acontece pois essa fila tem capacidade limitada; Assim, uma vez que o sistema está cheio, ele não absorve mais clientes;

39 A FILA M/M/m/B Para B=m, ou seja, a capacidade do sistema são os próprios servidores; Medida de relevância  Fórmula de Erlang B. Largamente usada no modelamento de sistemas de perda como os as redes móveis 1.G e 2.G FDMA/TDMA;

40 A FILA M/M/m/B-EXERCÍCIO
Considere o gateway do exemplo Analise tal gateway considerando que ele tem somente 2 buffers. Razão de chegada =125 pps; Razão de serviço  =1/0.002 = 500 pps; m=1 e B=2; Intensidade de tráfego = /m =0.25;

41 A FILA M/M/m/B-EXERCÍCIO
As prob de estado são: p1=p0=0.25p0 p2= 2p0=0.625p0 p0+p1+p2=1 p0=0.76 p1=0.19,p2=0.0476 Número médio de clientes no sistema

42 A FILA M/M/m/B-EXERCÍCIO
Número médio de jobs na fila de espera Razão efetiva de chamadas ’=(1-PB)=125(1-p2)=125( )=119pps Razão de pacotes perdidos - ’= =6pps