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1 22 - INTRODUÇÃO A TEORIA DE FILAS (representação) População Proc. de chegada Fila de Espera Servidores Disc. de serviço Partida nqnq nsns n s w r Tempo.

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1 INTRODUÇÃO A TEORIA DE FILAS (representação) População Proc. de chegada Fila de Espera Servidores Disc. de serviço Partida nqnq nsns n s w r Tempo

2 2 INTRODUÇÃO A TEORIA DE FILAS 1.1 Notação de Kendal A/S/m/B/K/SD; A: Distribuição do Tempo entre chegadas; S: Distribuição do Tempo de Serviço; Distribuições mais comuns são: M(exponencial),E k (Erlang), H k (Hiperexponencial),D(Determinística),G (Geral)

3 3 INTRODUÇÃO A TEORIA DE FILAS m: Número de Servidores; B:Capacidade do Sistema, ou número de buffers (se não for explicitado é considerada infinita); K: Tamanho da População (se não for explicitado é considerada infinita); SD: Disciplina de Serviço, comuns são: FIFO, LCFS,... (se não for explicitado é considerada FIFO);

4 4 REGRAS GERAIS A razão média de chegada é dada por =1/E[ ]. Onde é o tempo entre duas chegadas sucessivas; A razão média de partida é dada por =1/E[s]. Onde s é o tempo de serviço; n s é o número de clientes em serviço; n q é o número de clientes esperando por serviço;

5 5 REGRAS GERAIS n é o número médio de clientes no sistema, também chamado de comprimento da fila. Ele inclui os clientes em serviço e aqueles que estão esperando por serviço; n=n s +n q E[n]= E[n s ]+E[n q ] s é o tempo de serviço; w é o tempo de espera por serviço;

6 6 REGRAS GERAIS r é o tempo de resposta ou tempo no sistema. Ele inclui tempo de espera por serviço e o tempo de serviço; r=s+w E[r]= E[s]+E[w] Condição de estabilidade diz que a razão média de chegada deve ser menor que a razão com a qual o sistema as processa ou

7 7 REGRAS GERAIS Lei de Little ou fórmula de Little diz: Número médio de clientes no sistema= razão de chegada X tempo médio de resposta Se aplica a qualquer parte do sistema. Assim: E[n]= E[t] E[n q ]= E[w]

8 8 PROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE Caso especial de um Processo de Markov; As transições somente ocorrem entre os estados adjacentes; A chegada de um cliente aumenta a população do sistema (nascimento); A partida de um cliente diminui a população do sistema (morte);

9 9 PROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE 0 N+1 21 NN-1 N-2 0 N N-1 N N-1 N N Estados: Equilíbrio: Fluxo de entrada = fluxo de saída

10 10 PROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE Estados fluxo de entrada = fluxo de sa í da 0 1 p 1 = 0 p p p 2 = ( ) p p p 3 = ( ) p N-1 N-2 p N-2 + N p N = ( N-1 + N-1 ) p N-1 N N-1 p N-1 + N+1 p N+1 = ( N + N ) p N

11 11 PROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE Estados: 0:p 1 = ( 0 / 1 ) p 0 1:p 2 = ( 1 / 2 ) p 1 + ( 1 p p 0 ) / 2 = ( 1 / 2 ) p 1 + ( 1 p p 1 ) / 2 = ( 1 / 2 ) p 1 =

12 12 PROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE Estado n-1: n-1:p n = ( n-1 / n ) p n-1 + ( n-1 p n-1 - n-2 p n-2 ) / n = ( n-1 / n ) p n-1 + ( n-1 p n-1 - n-1 p n-1 ) / n = ( n-1 / n ) p n-1

13 13 PROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE N-ésimo estado: N:p n+1 = ( n / n+1 ) p n + ( n p n - n-1 p n-1 ) / n+1 = ( n / n+1 ) p n

14 14 PROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE Condição de estabilidade 0


15 15 A FILA M/M/1 A=M tempo entre as chegadas é uma v.a distribuída exponencialmente; S=M tempo de serviço é uma v.a distribuída exponencialmente M=1 um servidor B fila infinita; K população infinita; SD FIFO;

16 16 A FILA M/M/1 Diagrama de transição de estado 0 1 n.. n+1

17 17 A FILA M/M/1 Aplicando a solução do processo de nascimento e morte; A série somente converge se <1, onde = /, ;

18 18 A FILA M/M/1 Probabilidade do estado de equilíbrio é chamado intensidade de tráfego

19 19 A FILA M/M/1 Número médio de clientes no sistema

20 20 A FILA M/M/1 Lei de Little Tempo de resposta

21 21 A FILA M/M/1-EXERCÍCIO As medidas mostram que em um gateway de uma rede, os pacotes chegam com uma razão média de 125 pps (pacotes por segundo), e o gateway gasta 2 milisegundos para processa- los. Usando o modelo M/M/1, analise o gateway. Qual é a prob. de ocorrer um transbordo no buffer se o gateway tem 13 buffers ? Quantos buffers são necessários para manter a perda de pacote abaixo de 1 pacote por milhão.

22 22 A FILA M/M/1-EXERCÍCIO Solução: Razão de chegada =125 pps; Razão de serviço =1/0.002 = 500 pps; Utilização do gateway U= = / =0.25; Probabilidade de n pacotes no gateway=(1- ) n =0.75(0.25) n

23 23 A FILA M/M/1-EXERCÍCIO Número médio de pacotes no gateway = /(1- )=0.25/0.75=0.33; Tempo de resposta do gateway = /(1- )=(1/500)/(1-0.25) =2.66 milisegundos;

24 24 A FILA M/M/1-EXERCÍCIO Probabilidade de transbordo do buffer=P(ter mais que 13 pacotes no gateway)= 13 =1.49x10 -8 =15 pacotes por bilhão de pacotes Para a prob de perda ser menor que 10 -6, tem-se ou n>log(10 -6 )/log(0.25)=9.96 Assim para a manter a probabilidade de perda abaixo de é necessário 10 buffers

25 25 A FILA M/M/m A=M tempo entre as chegadas é uma v.a distribuída exponencialmente; S=M tempo de serviço é uma v.a distribuída exponencialmente; m=m m servidores;

26 26 A FILA M/M/m m m 0 m+1 21 mm-1m-2 (m-1)... 3

27 27 A FILA M/M/m Aplicando a solução do processo de Nascimento e morte, tem-se: = /m é chamado intensidade de tráfego

28 28 A FILA M/M/m Novamente a condição de existência do equilíbrio <1 ou

29 29 A FILA M/M/m Medidas de pertinência: Fórmula de Erlang C, largamente empregada no modelamento de sistemas de espera;

30 30 A FILA M/M/m -EXERCÍCIO Os estudantes chegam em um centro de computação de uma universidade de forma Poissoniana com parâmetro 10 por hora. O tempo de serviço de cada terminal é dist. Exponencialmente. Cada estudante gasta na média 20 minutos em cada terminal. O centro atualmente tem 5 terminais. Alguns estudantes tem reclamado que os tempos de espera estão muito longos. Analise tal sistema, usando o modelo de fila adequado.

31 31 A FILA M/M/m -EXERCÍCIO O centro é uma fila M/M/5 com razão de chegada 1/6 minutos e razão de serviço 1/20 minutos Intens. de tráfego = /m =0.167/(5x0.05) p 0 =[1+(5X0.67) 5 /5!(1-0.67) + (5X0.67) 1 /1! + (5X0.67) 2 /2!+ (5X0.67) 3 /3! (5X0.67) 4 /4!] -1 = ;

32 32 A FILA M/M/m -EXERCÍCIO A prob. de todos os terminais estarem ocupados = = p 0 (m ) m /m!(1- ) =0.0318x(5x0.67) 5 /5!(1-0.67)=0.33; Utilização média do terminal =0.67; Número médio de estudantes em cada centro E[n]=m + /(1- )=0.67x0.33/(1-0.67)=4.0

33 33 A FILA M/M/m -EXERCÍCIO A média e a variância do tempo gasto no centro: E[r]= 1/ [1+ /m(1- )]=1/0.05[ /5( )]=24 Var[r]=1/ 2 [1+ (2- )/m 2 (1- ) 2 ]=1/ [ ( )/5 2 (1-0.67) 2 ]=479 Cada estudante gasta 24 minutos no centro. Desses 20 minutos são em serviço, e 4 são esperando por serviço;

34 34 A FILA M/M/m -EXERCÍCIO 90% do tempo de fila é: (E[w]/ )x ln(10 )=14 minutos;

35 35 A FILA M/M/m/B A=M tempo entre as chegadas é uma v.a distribuída exponencialmente; S=M tempo de serviço é uma v.a distribuída exponencialmente; m=m m servidores; B buffer finito

36 36 A FILA M/M/m/B... m 0 B 21 mm-1 m... 3

37 37 A FILA M/M/m/B Aplicando a solução do processo de Nascimento e morte, tem-se: = /m é chamado intensidade de tráfego

38 38 A FILA M/M/m/B Esse sistema é sempre estável para todo

39 39 A FILA M/M/m/B Para B=m, ou seja, a capacidade do sistema são os próprios servidores; Medida de relevância Fórmula de Erlang B. Largamente usada no modelamento de sistemas de perda como os as redes móveis 1.G e 2.G FDMA/TDMA;

40 40 A FILA M/M/m/B-EXERCÍCIO Considere o gateway do exemplo Analise tal gateway considerando que ele tem somente 2 buffers. Razão de chegada =125 pps; Razão de serviço =1/0.002 = 500 pps; m=1 e B=2; Intensidade de tráfego = /m =0.25;

41 41 A FILA M/M/m/B-EXERCÍCIO As prob de estado são: p 1 = p 0 =0.25p 0 p 2 = 2 p 0 =0.625p 0 p 0 +p 1 +p 2 =1 p 0 =0.76 p 1 =0.19,p 2 = Número médio de clientes no sistema

42 42 A FILA M/M/m/B-EXERCÍCIO Número médio de jobs na fila de espera Razão efetiva de chamadas = (1-P B )=125(1-p 2 )=125( )=119pps Razão de pacotes perdidos - = =6pps


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