Natureza - caos ou ordem?

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1 Natureza - caos ou ordem?

2 “Nos primeiros tempos o mundo era visto como algo completamente imprevisível, governado por divindades caprichosas. A revolução newtoniana veio depois trazer a ideia de que é possível prever quase tudo(…). Mas podemos estar hoje no inicio de uma nova oscilação do pêndulo, com o reconhecimento de que muitas das regras deterministas mais simples provocam, afinal, comportamentos dinâmicos caóticos e imprevisíveis.” In “Deus joga aos dados?” Ian Stewart

3 Na Ciência que herdámos dos nossos professores e de outros estudiosos o desejo de compreender fixava-se na busca do simples, do regular, do equilíbrio estável, do periódico. No entanto, a Natureza deixou-nos uma herança que exibe tanto de perfeito, como de irregular, instável e não periódico.

4 Muitos foram necessários para que a ciência se emancipasse e admitisse um novo percurso…
Façamos uma analepse…

5 Kepler, Galileu, Newton, Leibniz (séculos XVII e XVIII)
Kepler e Galileu iniciam o estudo do comportamento dos sistemas dinâmicos, com a investigação do movimento dos planetas.

6 Newton e Leibniz Estudando as regularidades dos movimentos criam o cálculo diferencial e integral, com base na ideia de infinitésimo e de limite. Não só descrevem leis do mundo físico e natural, como as formalizam em teoremas.

7 Muitos outros foram motivados a desenvolver os seus estudos e a interpretar fenómenos, tudo no paradigma do regular, do estável e do periódico. Depois de árduo estudo com sucesso, a Natureza aparecia simples, espantosamente compreensível…

8 Final do séc. XIX e inicio do séc. XX
Surgem os casos conhecidos como patológicos Curva de Weierstrass Conjunto de Cantor. Curva de Peano

9 Como se constrói a Curva de Peano?
Passo 0: Constroi-se um segmento de recta. Passo 1: Divide-se esse segmento em três partes iguais. Passo 2: Sobre o segmento médio, constrói-se um rectângulo bissectado pelo segmento, formando dois quadrados com lado igual ao segmento que lhes deu origem. Passo 3: Em cada segmento dos nove restantes, repetem-se os passos 1 e 2, e assim sucessivamente, até ao infinito. No limite a curva de Peano, não é mais do que uma superfície completamente preenchida.

10 Em 1904 Helge von Koch (matemático sueco) exibe mais uma curva que oculta uma propriedade surpreendente… …o perímetro infinito delimita uma área finita

11 Como se constrói da Curva de Von Koch?
Passo 0: Constroi-se um segmento de recta. Passo 1: Divide-se o segmento em três partes iguais. Passo 2: Substitui-se o segmento médio por dois segmentos iguais, de modo a que, o segmento médio e os dois novos segmentos formem um triângulo equilátero. Passo 3: Repete-se os passos 1 e 2 para cada um dos segmentos obtidos Passo 4: Repete-se este processo “ad infinitum”. A curva de Von Koch tem: Comprimento infinito; Não tem derivada em nenhum dos pontos.

12 No princípio do século XX, Poincaré apoiado em exemplos da física e da astronomia verifica que o comportamento, mesmo sistemas simples, pode ser muito complexo, instável, não-linear. Nasce a topologia como novo campo de visão para a física e para a matemática…

13 Embora seguissem isoladamente, todas estas descobertas caminhavam no mesmo sentido…
O pensamento determinista mostrou-se falível e inadaptado a muitas situações reais.

14 Gaston Julia e Pierre Fatou apresentaram, em 1918, um trabalho sobre processos iterativos envolvendo números complexos que mais tarde viriam a ser conhecidos como “Conjuntos de Julia”;

15 Todos estes objectos… …se inserem hoje numa classe mais ampla de objectos denominados fractais.

16 O que é um fractal? Termo criado por Benoît Mandelbrot na década de 70
Do adjectivo latino fractus e do verbo frangere, que significa quebrar Para designar objectos geométricos que nunca perdem a sua estrutura qualquer que seja a distância de visão. Objectos auto-semelhantes

17 Mandelbrot classificou-os desta forma por estes possuírem dimensão fraccionária ou mesmo irracional.
Estamos perante um conceito geométrico para o qual não existe, até à data uma definição formal.

18 Um fractal é um objecto gerado a partir de uma fórmula matemática envolvendo funções reais ou complexas, muitas vezes simples (como é o caso da quadrática)… …mas que quando aplicadas de forma iterativa, produzem formas geométricas abstractas, com padrões complexos que se repetem infinitamente.

19 Mas quem é então Mandelbrot?
Matemático polaco de origem judaico- -lituana acolhido pela secção de investigação pura da IBM Ao contrário de outros matemáticos, ele enfrentava os problemas com a ajuda da sua intuição para formas e padrões.

20 Ao estudar os preços do algodão e ao passar os dados para os computadores da IBM, deparou com o resultado incrível…

21

22 Cada variação de preços era casual e imprevisível.
No entanto a sequência das variações era independente das escalas: as curvas das variações diárias e das variações mensais combinavam perfeitamente. Este facto esteve na origem do interesse de Mandelbrot por objectos auto-semelhantes.

23 No entanto a maior parte dos objectos com que lidamos no nosso dia-a-dia não são rectas, nem esferas, nem cones. “Há alguma razão para a geometria não descrever o formato das nuvens, das montanhas, das árvores ou da sinuosidade dos rios? Nuvens não são esferas, montanhas não são cones, troncos de árvores não são hexágonos e rios não desenham espirais.” Benoît Mandelbrot

24 "As imagens que calculei com a minha teoria matemática assemelhavam-se curiosamente à realidade: e se eu podia imitar a natureza, era porque provavelmente teria descoberto um dos seus segredos..." Benoît Mandelbrot

25 As imagens fractais inserem-se essencialmente em duas categorias:
Fractais geométricos Fractais aleatórios

26 Fractais geométricos: derivam da geometria tradicional e constroem-se de forma iterativa a partir de uma figura inicial.

27 Fractais aleatórios são gerados por computador e resultam de iterações operadas em funções não lineares reais, complexas (o tipo mais comum) ou quaterniónicas. Fractais obtidos através da iteração de números complexos.

28 Fractais obtidos por computador através da iteração de quaterniões.

29 Estes possibilitam imagens de uma beleza impressionante, bem como um vasto leque de aplicações no domínio das artes… …na indústria cinematográfica, tornaram-se um meio de conceber cenários naturais

30 …na escultura

31 …na arquitectura

32 Música baseada no Conjunto de Julia
…na música

33 CARACTERÍSTICAS DE UM FRACTAL
Um fractal distingue-se por três características fundamentais: a sua auto-semelhança a sua complexidade infinita a sua dimensão

34 A auto-semelhança de um fractal baseia-se no facto de o conjunto ser constituído por pequenas cópias de si mesmo. No entanto verificamos que esta afirmação tem limites quando abandonamos os modelos matemáticos e consideramos objectos naturais. Distinguem-se, assim, dois tipos de auto-semelhança: a exacta e a aproximada (ou estatística).

35 A auto-semelhança exacta só existe, portanto, no seio da matemática.
Formalmente, uma figura F, possui auto-semelhança exacta se, para qualquer dos seus pontos, existe uma vizinhança que contém uma parte da figura semelhante à totalidade de F.

36 Relativamente à auto-semelhança aproximada, embora não seja também real, pois estamos limitados à escala visível, encontram-se boas aproximações em formas da natureza.

37 A complexidade infinita advém do facto de o processo gerador dos fractais ser recursivo, tendo um número infinito de iterações.

38 Contudo, os objectos da Natureza não são verdadeiramente fractais, pois eles não possuem auto-semelhança exacta nem são infinitamente complexos.

39 Como calcular a dimensão de um fractal?
Considere-se um segmento de recta e divida-se 4 (=41) partes iguais. Efectuando um processo semelhante para cada um do lados de um quadrado obtêm-se 16 (= 42) partes iguais. Procedendo-se de igual modo para o cubo, obtêm-se 64 (=43) partes iguais.

40 Sejam: R – a razão na qual dividimos cada segmento da figura (coeficiente de redução) N - o número de partes resultante d - a dimensão

41 Para a recta (dimensão 1) N = 1∕R1
Para o quadrado (dimensão 2) N = 1∕R2 Para o cubo (dimensão 3) N = 1∕R3 Generalizando para qualquer dimensão N = 1∕Rd

42 Ou seja, Logo, Isto é, Este processo válido para todas as figuras com auto-semelhança exacta, fractais ou não e…

43 Por exemplo, para o cubo temos
…confirma o valor da dimensão atribuída pela geometria euclidiana Por exemplo, para o cubo temos

44 Geometria Euclidiana versus geometria fractal
““Dois graus de ordem no caos: a ordem euclidiana e a ordem fractal(…) entre o domínio do caos desregulado e a ordem excessiva de Euclides existe agora uma nova zona da ordem fractal.” Mandelbrot Geometria Euclidiana Geometria fractal Mais de 2000 anos Últimos trinta anos Baseada em tamanho ou escala pré-definida Tamanho ou escala específica Adequada a objectos abstractos Adequada também a formas naturais Dimensão inteira {0,1,2,3} Dimensão real no intervalo [0,3] Descrita por fórmulas e equações Uso de algoritmos recursivos

45 Estudo de alguns fractais
Floco de Neve de Koch O triângulo de Sierpinski Conjunto de Mandelbrot

46 Como se constrói o Floco de Neve de koch?
Passo 0: Constrói-se um triângulo equilátero. Passo 1: Divide-se em três partes iguais cada um dos lados do triângulo, construindo-se sobre cada um dos segmentos médios um novo triângulo equilátero. Passo 2: Repete-se o processo de construção sobre cada um dos lados da figura obtida anteriormente. E assim sucessivamente.

47 Obtém-se assim a seguinte sequência de figuras:

48 Como varia o número de lados da curva com as transformações?
Passos Número de lados Figura de partida = 3 x 40 1º Transformação 3x4 = = 3 x 41 2º Transformação 12x4 = = 3 x 42 3º Transformação 48x4 = = 3 x 43 4º Transformação 192x4 = = 3 x 44 ... …. O número de lados de cada figura em função do número de transformações é dado por: O Floco de Neve tem um número infinito de lados.

49 Como é que varia o comprimento dos lados da curva com as transformações?
Suponhamos que o lado do triângulo inicial vale uma unidade. Passos Medida de cada lado Figura de partida 1 1º Transformação 1/3 = 1/3 = 3-1 2º Transformação 1/9 = 1/32 = 3-2 3º Transformação 1/27 = 1/33 = 3-3 4º Transformação 1/81 = 1/34 = 3-4 ... …. A medida dos lados de cada figura em função do número de transformações é dado por: A medida de cada lado da curva tende para zero.

50 Como varia o perímetro da curva em função do número de transformações?
Sabemos que: e Definindo a sucessão dos perímetros Pn à custa das duas sucessões anteriores, obtemos: O perímetro do floco de neve é infinito.

51 está compreendida entre 1 e 2.
Qual é a área do floco de neve de Koch? Considerando que a área do triângulo inicial que serve de ponto de partida para a construção da curva de Koch tem uma unidade de medida. A área do Floco de Neve de Koch é: inferior à área do hexágono está compreendida entre 1 e 2.

52 Qual o valor exacto da área do Floco de Neve?
A área do polígono, em cada passo, obtém-se adicionando à área do polígono do passo anterior a área de um triângulo equilátero, cujo lado é 1/3 do anterior, multiplicada tantas vezes quantas o número de lados do polígono anterior.

53 Calculando o limite de Sn quando n tende para infinito tem-se:
Então An+1 = 1 + Sn com Calculando o limite de Sn quando n tende para infinito tem-se: A área do Floco de Neve de Koch é:

54 Qual é a dimensão do Floco de Neve de Koch?
O coeficiente de redução é 1/3. O número de partes iguais obtidas em cada segmento de recta é 4. Então,a dimensão do Floco de Neve é dada por:

55 Em suma: À medida que se vão fazendo transformações o número de lados da curva aumenta, mas o comprimento de cada um deles diminui. A curva vai ter um número infinito de lados. A medida de cada lado da figura tende para zero. O perímetro é infinito. A área é limitada é 1,26. Dimensão do floco de neve. O Floco de Neve de Koch possui auto-semelhança exacta.

56 Como se constrói o triângulo de Sierpinski?
Passo 0: Constrói-se um triângulo equilátero (sólido); Passo 1: Determina-se os pontos médios de cada um dos lados de um triângulo e unem-se por segmentos esses pontos médios. Considera-se os 4 triângulos resultantes e retira-se o triângulo central. Ficamos assim com 3 triângulos sólidos; Passo 2 – Aplica-se o procedimento anterior a cada um dos 3 triângulos resultantes. Obtemos 9 triângulos sólidos; ... Passo N – Aplica-se o procedimento descrito no passo 2 a cada um dos triângulos sólidos obtidos no passo N-1, até ao infinito. Obtém-se assim o Triângulo de Sierpinski.

57 O triângulo de Sierpinski é a figura limite do processo:

58 ... Qual a área do Triângulo de Sierpinski? Passo 0 Passo 1 Passo 2
Passo n A área do Triângulo de Sierpinski tende para zero.

59 Como varia o perímetro da figura com as transformações?
O número de triângulos sólidos em cada passo da construção é dado por: Passo 0 Passo 1 Passo 2 Passo 3 O perímetro do Triângulo de Sierpinski tende para infinito.

60 Qual a dimensão do Triângulo de Sierpinski?
O coeficiente de redução é 1/2. O número de triângulos obtidos é o triplo do passo anterior. Então, a dimensão do Triângulo de Sierpinski é dada por: O Triângulo de Sierpinski possui auto-semelhança exacta.

61 Triângulo de Sierpinski e o Triângulo de Pascal

62 Em suma: A área do Triângulo de Sierpinski tende para zero. O perímetro tende para infinito. A dimensão é 1,59. Possui auto-semelhança exacta.

63 Como se constrói o conjunto de Mandelbrot?
É obtido quando submetemos os números complexos ( a+bi, a,b reais, i constante imaginária ) a um processo iterativo. A nossa construção começa com um número complexo (um ponto do plano) a partir do qual criamos uma sequência infinita de números (pontos) que dependem do número inicial; Esta sequência de números chama-se SEQUÊNCIA DE MANDELBROT.

64 ,w nº complexo constante
Atribuímos a cor a um número complexo Z= a+ib, qualquer, que vai ser desenhado como um ponto (a,b) do plano. Comecemos o processo iterativo: ,w nº complexo constante Observando o comportamento de Zn+1, ou seja, do seu módulo | Zn+1 |, temos as seguintes possibilidades: |Zn| mantém-se sempre finito - Atribui-se a cor preta a z. |Zn| tende para infinito - Atribuem-se diferentes cores a z, dependendo do comportamento de |Zn|. A classificação é definida por quem desenha o fractal.

65 Um possível critério: Cores quentes se divergir lentamente
Pontos de Divergência Cores frias se divergir rapidamente Pontos de Periodicidade Ponto negro Pontos de Convergência

66 Como resultado de um processo iterativo obtemos:

67 Sucessivas ampliações do conjunto de Mandelbrot…

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69 Feedback «O que foi feito uma vez pode sempre ser repetido » , Louise B.Young. Em termos gerais o feedback surge quando uma porção do output retorna ao input.

70 Exemplos Rock, Medicina, Psicologia, Bioquímica
No mundo matemático, feedback está geralmente associado ao resultado de uma «iteração» ou «recursão»

71 Exemplificando... Se numa calculadora digitarmos 0.5 e pressionarmos repetidamente x2, aparecer-nos-ão os seguintes números: 0.5 ; 0.25 ; ; Que correspondem a, respectivamente: x0 ; f(x0) ; f(f(x0)) ; f(f(f(x0))) ...

72 Mas o feedback pode produzir resultados bem mais interessantes...
Conjunto de Julia z= z2+c ( c=-1+0i )

73 Pontos Periódicos O conceito de ponto peródico bastante comum no nosso vocabulário. Por exemplo todos nós já ouvimos falar que o cometa Halley tem um período de aproximadamente 76 anos.

74 O que é matematicamente, um ponto periódico?
Definição: Seja x0 um ponto do domínio de f. Então x0 é n- periódico se : f(x0) = x0 e , x0, f(1)(x0), f(2)(x0), ... , f(n)(x0) são distintos. Se x0 tem período n, então a órbita {x0, f(1)(x0), f(2)(x0), ... , f(n)(x0)} é uma orbita periódica e é chamada de n- ciclo.

75 Exemplo: Seja T definida por 2x para 0  x  1/2 T(x)=
para mostrar que {2/7, 4/7, 6/7} é um 3- ciclo para T basta ver que T(2/7)= 4/7, T(4/7)= 6/7 e T(6/7)= 2/7.

76 Três padrões distintos de comportamento iterativo, no batimento cardíaco.

77 Exemplo ilustrativo do comportamento cardíaco e cerebral de um gato.
ECG antes da dose de cocaína ECG depois da dose de cocaína EEG antes da dose de cocaína EEG depois da dose de cocaína

78 CAOS O que é?

79 Dependência das condições iniciais
O estudo da Teoria do caos assenta basicamente no estudo dos fenómenos de dependência sensível das condições iniciais . Isto significa que se mudarmos ligeiramente um parâmetro podemos obter um resultado / comportamento muito diferente do esperado.

80 Definição Seja J um intervalo , f: J  J uma aplicação . Então f tem dependência sensível nas condições iniciais em x , ou apenas dependência sensível em x se existir um >0 tal que para cada >0 , existe um y J e nN tal que |x-y|<  e |f(n)(x) - f(n)(y)|>  .

81 EFEITO BORBOLETA Muito da teoria do caos se deve à tentativa de compreender o comportamento da atmosfera terrestre. Actualmente, os meteorologistas estão a usar o caos para avaliar e prever as alterações climáticas e estados do tempo com alguma segurança.

82 A pesquisa matemática está a desenvolver modelos que ajudarão fazer previsões cada vez mais longas e precisas. Exemplo: previsões sazonais das chuvas das monções, mudanças no clima como resultado das actividades humanas, tais como o efeito de estufa.

83 No entanto sabemos que a atmosfera é um sistema caótico que é em muitas situações imprevisível.
Assim, são as tentativas de previsão do tempo a longa escala e da alteração do clima um desperdício do tempo? Devemos nós satisfazermo-nos com a previsão dada pela televisão ?

84 Ilustração do efeito borboleta
(a) - Condições iniciais para oito previsões climatéricas. (b) - Previões do estado do tempo, uma semana depois das condições iniciais

85 Em (a) reflecte-se as condições iniciais idênticas para a previsão do tempo .
Em (b), uma semana depois, o modelo computacional mostra um mudança abrupta nas condições do tempo. Esta é uma ilustração realista da dependência das condições iniciais. A partir daqui podemos compreender a dificuldade que os meteorologistas têm em fazer longas previsões, e o porquê dos seus frequentes erros.

86 O caos encontra-se num sistema dinâmico se dois pontos inicialmente próximos divergem exponencialmente ao longo das várias iterações. O seu comportamento futuro pode ser imprevisível.

87 Definição (Caos) Uma função f é caótica se satisfaz a condição:
f tem dependência sensível nas condições iniciais em todos os valores do seu domínio.

88 São fractais e caos sinónimos ?
Não. Fractais e caos determinístico são ferramentas matemáticas que modelam diferentes tipos de fenómenos. Muitos fractais não são caóticos (triângulo de Sierpinsky, curva de Koch,…) Mas existem factores comuns, pois muitos fenómenos caóticos têm estruturas fractais.

89 Como por exemplo no gráfico:

90 CAOS E LINGUAGEM DOS FRACTAIS NO ENSINO SECUNDÁRIO

91 “A grande força da Matemática é a sua capacidade para construir estruturas complexas, a partir de algumas ideias-chave simples. Assim que surge o esqueleto de uma tal estrutura, cada novo bocado pode ser acrescentado no lugar certo. Sem haver a percepção do esqueleto, os bocados jazem dispersos e indevidamente avaliados. Temos, agora, o esqueleto de uma teoria dos Fractais. O desafio para os matemáticos do próximo século será moldar a carne para esses já fascinantes ossos”. Ian Stewart

92 No ensino secundário, 11º ano e/ou 12º, os tópicos caos e fractais são facultativos.

93 Porquê abordar fractais e caos no secundário?
O universo dos fractais e caos é uma nova e rica área interdisciplinar que proporciona uma maneira diferente de olhar para a natureza. Os Fractais poderão contribuir para despertar os alunos para a beleza e utilidade da Matemática. Quer a geometria fractal, quer a teoria do caos constituem um tema por excelência para invocar a importância da matemática nas tecnologias informáticas e vice-versa

94 Quando abordados, é de forma superficial, com o objectivo de que o aluno tenha uma noção intuitiva dos temas. Uma boa forma de o fazer é através de…

95 Depois de um algum tempo os berlindes param nas suas posições.
    …exemplos na vida quotidiana: 1. Suponhamos que temos alguns berlindes e resolvemos atirá-los ao chão. Depois de um algum tempo os berlindes param nas suas posições. Agora junte os berlindes e repita a experiência.

96 Será que os berlindes se irão posicionar exactamente como na vez anterior?
É esperado que não. Mesmo que tentemos atirá-los da mesma posição não conseguiremos ter precisão suficiente para posicioná-los correctamente.

97 Já observou que há dias em que o congestionamento é maior?
2. O trânsito é outro exemplo. Mesmo assim, o número de variáveis é grande e o comportamento do sistema depende muito das condições iniciais. Nunca se sabe quando o trânsito está bom ou mau. Já observou que há dias em que o congestionamento é maior? É bem provável que o transtorno tenha sido causado por um carro acidentado, ou operação stop, ou uma via paralisada por um veículo ter derramado combustível.

98 O número de variáveis é grande e o comportamento do sistema depende muito das condições iniciais.
Nunca se sabe quando o trânsito está bom ou mau.

99 Outro exemplo que se pode referir é o ”Efeito Borboleta” …
“O bater das asas de uma borboleta na China pode causar um furacão no Texas” …por ser de compreensão imediata.

100 Esta é uma situação real e fundamental para os ambientalistas.
O primeiro estudo do caos na ecologia foi sobre o acompanhamento temporal de evoluções de abelhas, borboletas, pássaros raros etc. Esta é uma situação real e fundamental para os ambientalistas. As leis que governam tais populações são muito variadas, e no conjunto delas, existe uma simples equação logística, cuja expressão matemática é:

101 A teoria do e a geometria fractal transcendeu a ciência e mexeu com a imaginação popular.
Alguns exemplos disso são os filmes “Butterfly Effect”, Cidade de Deus e “Jurassic Park”. Neste último a teoria do caos é utilizada para explicar porque os dinossauros poderiam fugir ao controle de seus criadores. ou seja, sistemas aparentemente simples e seguros, podem de repente apresentar um comportamento caótico e imprevisível.

102 Mas, não é só em Hollywood que essa teoria é aplicada.
Podemos facilmente encontrar outros exemplos: na natureza, um rio calmo que se transforma num remoinho de um minuto para outro; em nosso dia-a-dia, a fumaça do cigarro que se eleva em linha recta, mas de repente aumenta de velocidade e forma círculos; no corpo humano, o aparelho digestivo que apresenta ondulações dentro de ondulações, os alvéolos pulmonares, o sistema urinário e o sistema circulatório são considerados fractais.

103 Actividades sugeridas

104 1. Construção um cartão fractal:
a) Dobre uma folha A4 ao meio; b) Faça cortes de comprimento a/2 a um quarto de cada lado;

105 c) Dobremos ao longo do segmento produzido pelos dois cortes;
d) Repita o processo de cortar e dobrar enquanto possível; e) Finalmente, abra as dobras e empurre o fractal;

106 Figura final:

107 Exemplo de fractais tridimensionais:

108 CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS
SUCESSÕES: Definição e diferentes formas de representação; Estudo de propriedades: monotonia e limitação; Progressões aritméticas e geométricas: termo geral e soma de n ternos consecutivos;

109 LIMITES Infinitamente grandes e infinitamente pequenos;
Limites de sucessões e convergência; A convergência das sucessões monótonas e limitadas; Problemas de limites com progressões.

110 COMPETÊNCIAS DESENVOLVIDAS:
Aplicação de conteúdos a situações problemáticas reais; Estabelecimento de conexões entre a matemática e outras disciplinas (economia, meteorologia, biologia e etc.) Uso da calculadora e do computador

111 Finalização A matemática é uma estrutura de conhecimentos inteligentes e dinâmicos; Quando bem articulada, pode prever o futuro de certos comportamentos, o que torna, a nós matemáticos, especiais e diferenciados; Não devemos continuar a insistir apenas em fórmulas nas nossas aulas. Não resolve.

112 Quanto à pergunta do aluno: para que serve isto, professor (a)?
Serve para…, foi desenvolvido em…, pelo matemático…, no ano de …, tinha como finalidade…, pois em sua época…, enquanto hoje podemos aplicar em… Esta sequencia fascina o aluno, pois são respostas, argumentos, de que ele precisa para “sacrificar” sua juventude em cima dos livros. Prof. Aguinaldo Prandini Ricieri.

113 É como criticar um pulmão por não bombear sangue”.
“ Houve quem criticasse a matemática por falta de contacto com a realidade. A história do caos é apenas uma das muitas que se desenrolam correntemente e que mostram que esta crítica é descabida. É como criticar um pulmão por não bombear sangue”. Deus joga aos dados? Ian Stewart

114 FIM