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Jorge Carpinteiro, nº6 Leila Calado, nº 7. Floco de Neve de Koch Estrela de DavidTriângulo Inicial REGRA DE SUBTITUIÇÃO RECURSIVA Comece com um triângulo.

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1 Jorge Carpinteiro, nº6 Leila Calado, nº 7

2 Floco de Neve de Koch Estrela de DavidTriângulo Inicial REGRA DE SUBTITUIÇÃO RECURSIVA Comece com um triângulo equilátero sólido Quando vir um segmento fronteiro substitua-o por

3 Floco de Neve de Koch

4 Como varia o número de lados com as transformações? PassosNúmero de lados Figura de partida3=3 x x4=12=3 x x4=48=3 x x4=192=3 x x4=768=3 x x4=3072=3 x 4 5 O número de lados do Floco de Neve de Koch tende para o infinito.

5 Floco de Neve de Koch Como varia o comprimento de cada lado com as transformações? PassosMedida de cada lado Figura de partida1 1==3 -1 2==3 -2 3==3 -3 4==3 -4 5==3 -5 O comprimento de cada lado do Floco de Neve de Koch tende para zero.

6 Floco de Neve de Koch Como varia o perímetro da curva com as transformações? Podemos definir a sucessão dos perímetros P n à custa das duas sucessões anteriores. Assim: Quando n tende para infinito, a sucessão P n tende para infinito, logo podemos concluir que o perímetro da curva de Koch tende para infinito.

7 Floco de Neve de Koch Será que a área do floco de neve de Koch também cresce para infinito? Consideremos que a área do triângulo inicial tem uma unidade. A área da Floco de Neve de Koch está compreendida entre 1 e 2.

8 Floco de Neve de Koch A área do polígono, em cada passo, obtém-se adicionando à área do polígono do passo anterior a área de um triângulo equilátero, cujo lado é do anterior, multiplicada tantas vezes quantas o número de lados do polígono anterior. Pela semelhança de figuras planas, sabe-se que, se o lado de um polígono sofre uma redução de razão, a área sofre uma redução de

9 Floco de Neve de Koch....

10 Floco de Neve de Koch A área do Floco de Neve de Koch é: Então A n+1 = 1 + S n com Calculando o limite de S n quando n tende para infinito tem-se:

11 O Floco de Neve de Koch tem perímetro infinito e área finita. Floco de Neve de Koch O facto de termos um perímetro infinito a fechar uma área finita pode parecer contrário à nossa intuição geométrica, mas é característico de muitas formas importantes na Natureza. O sistema vascular das veias e artérias no corpo humano, por exemplo, ocupa uma pequena fracção do corpo e tem um volume relativamente pequeno, mas tem um enorme comprimento: de ponta a ponta, as veias, artérias e capilares de um único corpo humano atingem cerca de 65 mil quilómetros. Modelo do Sistema Circulatório Humano

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18 Fractais A geometria fractal é o ramo da matemática que estuda as propriedades e comportamento dos fractais. Descreve muitas situações que não podem ser explicadas facilmente pela geometria clássica, e foram aplicadas em ciência, tecnologia e arte gerada por computador. As raízes conceituais dos fractais remontam a tentativas de medir o tamanho de objectos para os quais as definições tradicionais baseadas na geometria euclidiana falham. Um fractal (anteriormente conhecido como curva monstro ) é um objecto geométrico que pode ser dividido em partes, cada uma das quais semelhante ao objecto original. Diz-se que os fractais têm infinitos detalhes, são geralmente auto-similares e independente de escala. Em muitos casos um fractal pode ser gerado por um padrão repetido, tipicamente um processo recorrente ou interactivo. O termo foi criado em 1975 por Benoît Mandelbrot, matemático francês nascido na Polónia, que descobriu a geometria fractal na década de 1970 do século XX, a partir do adjectivo latino fractus, do verbo frangere, que significa quebrar. Vários tipos de fractais foram originalmente estudados como objectos matemáticos.


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