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Módulo IV: Leis de potência e auto-similaridade Paulo R. Guimarães Jr Marcus A. M. de Aguiar Instituto de Física Gleb Wataghin UNICAMP F016: Física aplicada.

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2 Módulo IV: Leis de potência e auto-similaridade Paulo R. Guimarães Jr Marcus A. M. de Aguiar Instituto de Física Gleb Wataghin UNICAMP F016: Física aplicada à Ecologia Módulo IV

3 Conteúdo 1.Fractais 2.Leis de Potência 3.Passeios aleatórios 4.Resumo Módulo IV F016: Física aplicada à Ecologia

4 Ao final desta aula, você deve ser capaz de: 1.Entender a relação entre auto-similaridade e lei de potência 2.Entender as implicações para a diversidade da estrutura fractal da natureza Módulo IV F016: Física aplicada à Ecologia

5 Conteúdo 1.Fractais 2.Leis de Potência 3.Passeios aleatórios 4.Resumo Módulo IV F016: Física aplicada à Ecologia

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7 Cálculo da Dimensão Fractal Cobrindo uma reta de comprimento 1 com segmentos menores: Tamanho Número e N(e) 1 1

8 Tamanho Número e N(e) 1 1 ½ 2

9 Tamanho Número e N(e) 1 1 ½ 2

10 Dividindo o lado do segmento por 2, o número de segmentos multiplica por 2. Veja que N( e ) = 1/ e. Tamanho Número e N(e) 1 1 ½ 2 ¼ 4

11 Cobrindo um quadrado de lado 1 com quadrados menores: Tamanho Número e N(e) 1 1

12 Tamanho Número e N(e) 1 1 ½ 4=2 2

13 Tamanho Número e N(e) 1 1 ½ 4=2 2 ¼ 16=4*4=4 2

14 Tamanho Número e N(e) 1 1 ½ 4=2 2 ¼ 16=4 2 1/2 k (2 k ) 2 = (1/ e ) 2 Dividindo o lado por 2, o número de quadrados multiplica por 4 = 2 2. Veja que N( e ) = (1/ e ) 2.

15 Cobrindo cubo de lado 1 com cubos menores: Tamanho Número e N(e) 1 1

16 Tamanho Número e N(e) 1 1 ½ 8=2 3

17 Tamanho Número e N(e) 1 1 ½ 8=2 3 ¼ 64=4 3 1/2 k (2 k ) 3 = (1/ e ) 3 Dividindo o lado por 2, o número de cubos multiplica por 8 = 2 3. Agora temos que N( e ) = (1/ e ) 3.

18 Podemos então definir a dimensão de uma figura com base nesse processo: Tomando o logaritmo dos dois lados podemos isolar d: e

19 Dimensão da Curva de Koch: Tamanho Número e N(e) 1 1 1/3 4 1/9 16=4 2 1/27 64=4 3 1/3 k 4 k

20 Fractais 1.Estruturas auto-similares Módulo IV F016: Física aplicada à Ecologia

21 Auto-similaridade estatística Idéia: A medida de uma característica em uma certa parte do sistema é proporcional ao valor da medida da mesma característica para o sistema inteiro. Módulo IV F016: Física aplicada à Ecologia

22 Auto-similaridade estatística Módulo IV F016: Física aplicada à Ecologia

23 Auto-similaridade estatística Módulo IV F016: Física aplicada à Ecologia

24 Auto-similaridade estatística Módulo IV F016: Física aplicada à Ecologia

25 Auto-similaridade estatística Módulo IV F016: Física aplicada à Ecologia

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29 Como investigar auto-similaridade estatística? A assinatura: leis de potência Módulo IV F016: Física aplicada à Ecologia

30 Conteúdo 1.Fractais 2.Leis de Potência 3.Passeios aleatórios 4.Resumo Módulo IV F016: Física aplicada à Ecologia

31 Lei de potência Módulo IV F016: Física aplicada à Ecologia

32 Lei de potência Módulo IV F016: Física aplicada à Ecologia

33 Lei de potência: exemplo Módulo IV F016: Física aplicada à Ecologia

34 Lei de potência: exemplo Módulo IV F016: Física aplicada à Ecologia

35 Lei de potência: exemplo Módulo IV F016: Física aplicada à Ecologia

36 Lei de potência e auto-similaridade Módulo IV F016: Física aplicada à Ecologia

37 Lei de potência e auto-similaridade Módulo IV F016: Física aplicada à Ecologia

38 Lei de potência e auto-similaridade Módulo IV F016: Física aplicada à Ecologia

39 Lei de potência e auto-similaridade Módulo IV F016: Física aplicada à Ecologia

40 Lei de potência Módulo IV F016: Física aplicada à Ecologia

41 r N(r)

42 r inclinação

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46 Maioria das espécies tem poucas interações

47 Freqüência baixa de espécies com muitas interações

48 Conteúdo 1.Fractais 2.Leis de Potência 3.Passeios aleatórios 4.Resumo Módulo IV F016: Física aplicada à Ecologia

49 Passeios aleatórios Passeios aleatóriosIdéia: Um processo estocástico no qual uma partícula se move pelo espaço através de saltos aleatórios. Módulo IV F016: Física aplicada à Ecologia

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51 Passeios aleatórios D = 2 o passeio aleatório garante a cobertura de planos, mas não de espaços tridimencionais Reações biológicas ocorrem em superfícies E a estrutura tridimencional dos ambientes? Módulo IV F016: Física aplicada à Ecologia

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53 Dimensão da Curva de Koch: Tamanho Número e N(e) 1 1 1/3 4 1/9 16=4 2 1/27 64=4 3 1/3 k 4 k

54 d = 1.5

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60 Conteúdo 1.Fractais 2.Leis de Potência 3.Passeios aleatórios 4.Resumo Módulo IV F016: Física aplicada à Ecologia

61 Fractais 1.Estruturas auto-similares Módulo IV F016: Física aplicada à Ecologia

62 Auto-similaridade estatística Módulo IV F016: Física aplicada à Ecologia

63 N(r) r inclinação

64 Maioria das espécies tem poucas interações

65 Freqüência baixa de espécies com muitas interações


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