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Semelhanças EBI / JI de Santa Catarina Ano lectivo 2010/2011 7º ano.

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1 Semelhanças EBI / JI de Santa Catarina Ano lectivo 2010/2011 7º ano

2 7º ano Unidade 7 - Semelhanças semelhantes Diz-se que duas figuras F 1 e F 2 têm a mesma forma, ou que são semelhantes, se são geometricamente iguais (congruentes) ou se uma delas é uma ampliação da outra. Diz-se que duas figuras F 1 e F 2 têm a mesma forma, ou que são semelhantes, se são geometricamente iguais (congruentes) ou se uma delas é uma ampliação da outra. original redução Ampliação Noção de semelhança

3 7º ano Unidade 7 - Semelhanças Página 95 – ex. 2 I e VII IV e V VIII e XI VIII e X e X e XI razão Numa ampliação ou numa redução há uma razão entre os comprimentos dos lados correspondentes. Numa ampliação ou numa redução há uma r rr razão entre os comprimentos dos lados correspondentes. Por exemplo de I para VII existe uma redução e a razão é 0,5 pois: Ampliação e redução de um polígono

4 7º ano Unidade 7 - Semelhanças Página 95 – Tarefa A, B e E 50 x 1,5 = 75cm Não, porque de A para C a altura não aumenta à mesma proporção que o comprimento. Não, porque a razão entre comprimentos é diferente da razão entre alturas.

5 7º ano Unidade 7 - Semelhanças Síntese: Numa ampliação ou numa redução há proporcionalidade directa entre os comprimentos dos lados correspondentes. À constante de proporcionalidade dá-se o nome de razão de semelhança. Esta obtém-se tomando a razão entre um comprimento da nova figura e o comprimento respectivo da figura original. Numa ampliação, a razão de semelhança é maior que 1. r > 1 Numa redução, a razão de semelhança é menor que 1. r < 1 Se os polígonos são geometricamente iguais, a razão de r = 1 semelhança é igual a 1.Síntese: Numa ampliação ou numa redução há proporcionalidade directa entre os comprimentos dos lados correspondentes. À constante de proporcionalidade dá-se o nome de razão de semelhança. Esta obtém-se tomando a razão entre um comprimento da nova figura e o comprimento respectivo da figura original. Numa ampliação, a razão de semelhança é maior que 1. r > 1 Numa redução, a razão de semelhança é menor que 1. r < 1 Se os polígonos são geometricamente iguais, a razão de r = 1 semelhança é igual a 1.

6 7º ano Unidade 7 - Semelhanças Construção de uma ampliação a partir de grelhas quadriculadas Como desenhar uma figura semelhante a A, de razão de semelhança 2?

7 7º ano Unidade 7 - Semelhanças Página 99 – Tarefa 2 Exercício

8 7º ano Unidade 7 - Semelhanças Página 99 – Tarefa 2 Exercício

9 7º ano Unidade 7 - Semelhanças Construção de ampliações e reduções a partir de um ponto Para construir uma ampliação de razão 2, da figura apresentada, a partir de um ponto, são necessários os seguintes procedimentos : 123 4

10 7º ano Unidade 7 - Semelhanças Página 97 – ex. 5

11 7º ano Unidade 7 - Semelhanças Página 99 – ex

12 7º ano Unidade 7 - Semelhanças Página 100 – Tarefa 3 – ex R: As dimensões da cozinha são: 1,6cm de largura e 2cm de comprimento.

13 7º ano Unidade 7 - Semelhanças Página 100 – Tarefa 3 – ex

14 7º ano Unidade 7 - Semelhanças Polígonos semelhantes Dois polígonos P 1 e P 2 são semelhantes se e só se: - os comprimentos dos lados são, dois a dois, directamente proporcionais; s ângulos correspondentes são iguais. Os polígonos ABCD e A´B´C´D´ são semelhantes? Sim, os polígonos ABCD e A´B´C´D´ são semelhantes porque têm: - comprimentos dos lados correspondentes directamente proporcionais - ângulos correspondentes iguais

15 7º ano Unidade 7 - Semelhanças Página 101 – exercício Resposta – A constante de proporcionalidade é 1,5. Resposta – O perímetro do polígono EFGH é 27 cm.

16 7º ano Unidade 7 - Semelhanças Página 102– tarefa

17 7º ano Unidade 7 - Semelhanças Observa os seguintes rectângulos semelhantes: A razão de semelhança do 1º para o 2º rectângulo é 2 ( 4 2 = 2 ). A área do 1º rectângulo é 2 cm ² ( 2 1 = 2 cm ²). O perímetro do 2º rectângulo é 12 cm ( = 12 cm ). A razão de perímetros do 1º para o 2º rectângulo é 2 ( 12 6 = 2 ). A razão de perímetros é igual à razão de semelhança. ( r p = r ) O perímetro do 1º rectângulo é 6 cm ( = 6 cm ). A área do 2º rectângulo é 8 cm ² ( 4 2 = 8 cm ²). A razão de áreas do 1º para o 2º rectângulo é 4 ( 8 2 = 4 ). A razão de áreas é igual à razão de semelhança ao quadrado. ( r a = r²)

18 7º ano Unidade 7 - Semelhanças No caso geral: Dados dois polígonos semelhantes P 1 e P 2, em que P 2 é uma ampliação de P 1 de razão r, em relação aos perímetros e às áreas destes dois polígonos tem-se: - O perímetro de P 2 é r vezes o perímetro de P 1 ; - A área de P 2 é r² vezes a área de P 1. No caso geral: Dados dois polígonos semelhantes P 1 e P 2, em que P 2 é uma ampliação de P 1 de razão r, em relação aos perímetros e às áreas destes dois polígonos tem-se: - O perímetro de P 2 é r vezes o perímetro de P 1 ; - A área de P 2 é r² vezes a área de P 1. Página 103 – exercício

19 7º ano Unidade 7 - Semelhanças Semelhança de triângulos No caso dos triângulos, são apresentadas a seguir critérios mais simples para que se possa concluir que são semelhantes. Esses critérios são conhecidos por critérios de semelhança de triângulos. Critério AA Dois triângulos são semelhantes se e só se, de um para o outro, tiverem dois ângulos congruentes. Notação - Se dois triângulos ABC e DEF são semelhantes, escreve-se: Critério LAL Dois triângulos são semelhantes se e só se de um para o outro, tiverem um ângulo igual e os lados que o formam directamente proporcionais.

20 7º ano Unidade 7 - Semelhanças Página 106 – exercício Os triângulos são semelhantes porque, de um para o outro, têm dois ângulos iguais: Página 106 – exercício 18 Página 106 – exercício ,1 cm Os triângulos são semelhantes porque, de um para o outro, têm um ângulo igual e os lados que o formam proporcionais.

21 7º ano Unidade 7 - Semelhanças Critério LLL Dois triângulos são semelhantes se e só se, de um para o outro, tiverem os três lados directamente proporcionais. Página 107 – exercício 19 Os triângulos são semelhantes porque, de um para o outro, têm os três lados directamente proporcionais.

22 7º ano Unidade 7 - Semelhanças Página 107 – exercício 20 Logo, Porque de um para o outro têm dois ângulos congruentes. Porque de um para o outro têm os três lados directamente proporcionais.

23 7º ano Unidade 7 - Semelhanças Página 109 – exercício 23 Os triângulos são semelhantes porque de um para o outro têm dois ângulos iguais, Página 110 – exercício 24 Página 110 – exercício 24 logo: Altura do poste: Os triângulos são semelhantes porque de um para o outro têm dois ângulos iguais, logo: Altura da torre:

24 7º ano Unidade 7 - Semelhanças Página 111 – tarefa 13 – ex.1 Página 112 – tarefa 14 – ex.1 Página 112 – tarefa 14 – ex.1 Os triângulos são semelhantes porque de um para o outro têm dois ângulos iguais, logo: Altura da casa: = 8 m Os triângulos são semelhantes porque de um para o outro têm dois ângulos iguais, logo: Altura do prédio:


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