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TT E M A GGEOMETRIA AXIOMÁTICA, SEGMENTOS DE RETA.

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Apresentação em tema: "TT E M A GGEOMETRIA AXIOMÁTICA, SEGMENTOS DE RETA."— Transcrição da apresentação:

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2 TT E M A GGEOMETRIA AXIOMÁTICA, SEGMENTOS DE RETA

3 CONTEÚDOS Axiomática; As Partes de uma Reta;

4 [ Um pouco de história ] Geometria significa "medida da terra". Mas o que se tem de mais interessante ao se estudar a história, é que os primeiros passos no estudo da geometria foram dados com base numa hipótese falsa.

5 [ Um pouco de história ] Acreditava-se que a Terra era plana, portanto, todas as pesquisas foram feitas segundo essa crença, mas isso não impediu o desenvolvimento da geometria. Foi no período grego, entre 600 e 300 a.C., que a geometria se firmou como um sistema organizado, e muito disso se deve a Euclides.

6 [ O Método Axiomático ] Na matemática, existem conceitos que determinam o modo de organizar o pensamento. São eles: Conceitos Primitivos Axiomas Corolários Teoremas/Lemas

7 [ Conceitos Primitivos ] Um conceito é dito primitivo quando não necessita de definição, simplesmente é tido como verdade. Um exemplo é o “ponto”. O conceito primitivo deve ser representado por uma palavra (ou um conjunto de palavras) que possa ser de fácil aceitação e intuitivo.

8 [ Axiomas ] Os axiomas (ou postulados) são regras simples (ou conjunto de regras) que determinam como os conceitos primitivos devem se comportar, suas propriedades e, além disso, são fatos não demonstráveis.

9 [ Teoremas ] Todas as proposições obtidas devem ser demonstradas, caso sejam verdadeiras, desde que sejam aceitos os axiomas como verdadeiros. Chamaremos estas proposições de teoremas.

10 [ Lemas ] Quando é preciso utilizar uma proposição auxiliar em uma demonstração de um teorema, chamamos esta proposição de lema.

11 [ Corolários ] As conseqüências imediatas dos teoremas são os corolários.

12 [ Geometria Euclidiana ] A Geometria de Euclides foi a primeira teoria matemática a ser axiomatizada. Ela é chamada de Geometria Euclidiana, e descreve o mundo real.

13 [ Geometria Não-Euclidiana ] Na tentativa de demonstrar o (famoso) quinto postulado de Euclides, surgiram as Geometrias não-Euclidianas, como, por exemplo, a Geometria Hiperbólica.

14 [ Quinto Postulado de Euclides ] “Por um ponto P exterior a uma reta m, consideradas em um mesmo plano, existe uma única reta s paralela à reta m.. m P s

15 [ Definições, Teoremas e Demonstrações ] Uma definição é um conceito elaborado em função de elementos conhecidos. Por exemplo, a definição de segmento de reta: “parte ou porção da reta limitada por dois pontos”.

16 [ Definições, Teoremas e Demonstrações ] Um teorema é aceito como uma verdade se ele for provado. O enunciado de um teorema se divide em: Hipótese Tese

17 [ Definições, Teoremas e Demonstrações ] Hipótese: conjunto de todas as informações iniciais Tese: resultado ao qual se pretende chegar Demonstração: conjunto de raciocínios que permite chegar à tese.

18 [ Noções Primitivas em Geometria Plana ] As noções primitivas da geometria plana são: Ponto Reta Plano A r

19 [ Axiomas de Existência ] 1. Numa reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos. 2. Dados dois pontos distintos, existe uma única reta que os contém. 3. Num plano há infinitos pontos.

20 [ Definições ] 1. Pontos colineares são pontos que pertencem a uma mesma reta. 2. Duas retas contidas num mesmo plano são paralelas quando não possuem ponto em comum. AB r s

21 [ Definições ] 3. Dados dois pontos distintos A e B, a reunião do conjunto desses dois pontos com o conjunto dos pontos que estão entre eles é um segmento de reta. Representa-se por. A B

22 [ Definições ] 4. Dados dois pontos distintos A e B, a reunião do segmento de reta com o conjunto dos pontos X tais que B está entre A e X é a semi-reta AB (indicada por ). O ponto A é a origem da semi- reta. A B X

23 [ Observação ] Se A está entre B e C, as semi-retas e são ditas semi-retas opostas. A CB

24 [ Definições ] 5. Pontos coplanares são pontos pertencentes a um mesmo plano. B A

25 [ Axiomas de Determinação ] 4. Dados dois pontos distintos, existe uma única reta que passa por eles. 5. Dados três pontos não colineares, existe um único plano que passa por eles.

26 [ Axiomas de Determinação ] 6. Se uma reta possui dois pontos que pertencem a um plano, então a reta está contida nesse plano.

27 A Geometria Plana estuda figuras planas, ou seja, figuras cujos pontos estão todos num mesmo plano.

28 [ Classificação de Segmentos de Reta ] Dois segmentos de reta podem ser classificados em: Consecutivos Colineares Adjacentes

29 [Segmentos Consecutivos] Dois segmentos de reta são consecutivos se uma extremidade de um deles é também extremidade do outro: C B PR Q A

30 [Segmentos Colineares] Dois segmentos de reta são colineares se estão numa mesma reta. PR Q ACB D

31 [Segmentos Adjacentes] Dois segmentos de reta são adjacentes se são consecutivos e colineares, e não possuem pontos internos em comum. TR S P NM

32 ] [Adição de Segmentos Dados dois segmentos e, tomando-se numa semi-reta qualquer de origem R os segmentos e tais que e, dizemos que o segmento é a soma de com

33 A T P R D C B

34 [Ponto Médio de Um Segmento] Dado um segmento, dizemos que M é ponto médio deste segmento se, e somente se, M está entre A e B e. B M A

35 [Distância entre Dois Pontos] Dados dois pontos A e B, a distância entre eles é o comprimento do segmento, que será representado por m( ).

36 AB Por exemplo, se um segmento tem comprimento igual a três unidades de comprimento, então: 1 u.c.

37 [Exemplo] Observe a figura abaixo e determine sabendo que M é o ponto médio de. MAB x + 82x - 5

38 [Resolução] Como M é o ponto médio de, temos que, logo,

39 [Resolução] Mas

40 [Proposição] Se em uma semi-reta considerarmos um segmento, com, então o ponto C estará entre A e B (o ponto C é chamado de ponto interno de ). B AC

41 [Demonstração] Hipótese: Tese: C está entre A e B Observemos que, como B e C estão na mesma semi-reta de origem A, então A não pode estar entre B e C. B CA B CA

42 [Demonstração] Não pode acontecer também de termos B entre A e C, pois, caso fosse possível, teríamos que e, consequentemente,. Isto contraria a hipótese. Sendo assim, resta apenas a alternativa onde o ponto C está entre os pontos A e B.

43 [Razão da Secção Interna] Consideremos o segmento de reta e C um ponto interno deste segmento. A razão é chamada razão da seção interna. A C B

44 Se C for o ponto médio de, qual será a razão da seção interna? A C B

45 Certamente todos encontraram a resposta correta: k = 1.

46 [Exemplo] Um segmento de medida 9 cm foi dividido internamente por um ponto C na razão 2. Encontre a medida dos segmentos, e e esboce o segmento com seu respectivo ponto interno.

47 [Resolução] Inicialmente chamemos a medida do segmento de x. Ainda não sabemos exatamente a que distância de A encontra- se o ponto C. Suponhamos que ele esteja na seguinte posição: ACB x

48 [Resolução] Como o segmento mede 9 cm e o segmento mede x cm, então temos que. ACB x 9 - x

49 [Resolução] Sabemos ainda que k = 2, portanto Resolvendo a proporção acima, encontramos x = 6 cm. Desse modo, concluímos que e.

50 [ Resolução] Agora podemos ter uma precisão quanto à posição do ponto C: A C B 9cm 3cm

51 [Razão da Seção Externa] Consideremos o segmento de reta e C um ponto fora deste segmento. A razão é chamada razão da seção externa. Qual é a diferença entre esta razão e a razão interna?

52 [Razão da Seção Externa] No primeiro caso, C é um ponto interno ao segmento, e no último, é externo: A C B C A B Ponto interno Ponto externo

53 [Exercício] Um segmento de 9 cm foi dividido externamente por um ponto C de tal forma que a razão entre as medida de e é 2. Encontre a medida dos segmentos envolvidos e esboce o segmento com seu respectivo ponto externo.

54 Resposta: C B A 9 cm

55 [ Referências ] Iezzi, Gelson. Matemática: Ciência e aplicações. São Paulo: Editora Atual, Dolce, O., Pompeo, J.Niicolau. Fundamentos de Matemática Elementar, vol.9. São Paulo: Atual,1993.


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