INE5408 Estruturas de Dados Gerência de Arquivos -Propriedades de Árvores k-D.

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1 INE5408 Estruturas de Dados Gerência de Arquivos -Propriedades de Árvores k-D

2 Construindo uma Árvore k-D balanceada Algoritmo: –Sempre usamos o ponto mediano do discriminante (coordenada) que estamos considerando neste momento para raiz da subárvore- k d –Se houver duplicação, pegamos qualquer um dos repetidos. Adiante, um exemplo com um conjunto de coordenadas 2D

3 Construindo uma Árvore k-D balanceada Suponha que queiramos inserir de forma balanceada estes pontos bi-dimensionais em uma árvore k d: (0.03, 0.90), (0.37, 0.04), (0.56, 0.78), (0.01, 0.48), (0.41, 0.89), (0.95, 0.07), (0.97, 0.09), (0.54, 0.65), (0.04, 0.61), (0.73, 0.69), (0.46, 0.58), (0.08, 0.89), (0.04, 0.41), (0.94, 0.02), (0.33, 0.07), (0.55, 0.54), (0.06, 0.05), (0.04, 0.06), (0.74, 0.97), (0.29, 0.15), (0.05, 0.88), (0.23, 0.23), (0.55, 0.02), (0.02, 0.97), (0.05, 0.07), (0.06, 0.28), (0.09, 0.55), (0.02, 0.91), (0.05, 0.97), (0.68, 0.42), (0.97, 0.18)

4 Construindo uma Árvore k-D balanceada Ordenamos os pontos com relação à 1ª coordenada (que é o 1º discriminante) e achamos a mediana: (0.01, 0.48), (0.02, 0.91), (0.02, 0.97), (0.03, 0.90), (0.04, 0.06), (0.04, 0.41), (0.04, 0.61), (0.05, 0.07), (0.05, 0.88), (0.05, 0.97), (0.06, 0.05), (0.06, 0.28), (0.08, 0.89), (0.09, 0.55), (0.23, 0.23), ( 0.29, 0.15), (0.33, 0.07), (0.37, 0.04), (0.41, 0.89), (0.46, 0.58), (0.54, 0.65), (0.55, 0.02), (0.55, 0.54), (0.56, 0.78), (0.68, 0.42), (0.73, 0.69), (0.74, 0.97), (0.94, 0.02), (0.95, 0.07), (0.97, 0.09), (0.97, 0.18)

5 Construindo uma Árvore k-D balanceada A mediana, (0.29, 0.15), forma a raiz da árvore k d:

6 Construindo uma Árvore k-D balanceada Isto particiona os pontos restantes em dois conjuntos idenependentes: {(0.01, 0.48), (0.02, 0.91), (0.02, 0.97), (0.03, 0.90), (0.04, 0.06), (0.04, 0.41), (0.04, 0.61), (0.05, 0.07), (0.05, 0.88), (0.05, 0.97), (0.06, 0.05), (0.06, 0.28), (0.08, 0.89), (0.09, 0.55), (0.23, 0.23)} {(0.33, 0.07), (0.37, 0.04), (0.41, 0.89), (0.46, 0.58), (0.54, 0.65), (0.55, 0.02), (0.55, 0.54), (0.56, 0.78), (0.68, 0.42), (0.73, 0.69), (0.74, 0.97), (0.94, 0.02), (0.95, 0.07), (0.97, 0.09), (0.97, 0.18)}

7 Construindo uma Árvore k-D balanceada Iniciando com o primeiro conjunto, reordenamo-lo de acordo com o 2º discriminante: (0.06, 0.05), (0.04, 0.06), (0.05, 0.07), (0.23, 0.23), (0.06, 0.28), (0.04, 0.41), (0.01, 0.48), (0.09, 0.55 ), (0.04, 0.61), (0.03, 0.90), (0.02, 0.91), (0.02, 0.97), (0.05, 0.88), (0.08, 0.89), (0.05, 0.97)

8 Construindo uma Árvore k-D balanceada Este pontro será o filho da esquerda da raiz:

9 Construindo uma Árvore k-D balanceada Tomando o segundo conjunto, também ordenamo- lo de acordo com o segundo discriminante: (0.55, 0.02), (0.94, 0.02), (0.37, 0.04), (0.33, 0.07), (0.95, 0.07), (0.97, 0.09), (0.97, 0.18), (0.68, 0.42 ), (0.55, 0.54), (0.46, 0.58), (0.54, 0.65), (0.73, 0.69), (0.56, 0.78), (0.41, 0.89), (0.74, 0.97)

10 Construindo uma Árvore k-D balanceada Isto cria o filho da cireita da raiz:

11 Construindo uma Árvore k-D balanceada Ordenamos pela mediana do 1º discriminante para achar os filhos de (0.09, 0.55): (0.01, 0.48), (0.04, 0.06), (0.04, 0.41), (0.05, 0.07), (0.06, 0.05), (0.06, 0.28), (0.23, 0.23), (0.02, 0.91), (0.02, 0.97), (0.03, 0.90), (0.04, 0.61), (0.05, 0.88), (0.05, 0.97), (0.08, 0.89)

12 Construindo uma Árvore k-D balanceada Fazemos o mesmo para as duas partições da direita: (0.33, 0.07), (0.37, 0.04), (0.55, 0.02), (0.94, 0.02), (0.95, 0.07), (0.97, 0.09), (0.97, 0.18) (0.41, 0.89), (0.46, 0.58), (0.54, 0.65), (0.55, 0.54), (0.56, 0.78), (0.73, 0.69), (0.74, 0.97)

13 Construindo uma Árvore k-D balanceada No próximo nível ordenamos os pontos de peloo 2º discriminante e tomamos asa medianas: (0.04, 0.06), (0.04, 0.41), (0.01, 0.48) (0.06, 0.05), (0.23, 0.23), (0.06, 0.28) (0.03, 0.90), (0.02, 0.91), (0.02, 0.97) (0.05, 0.88), (0.08, 0.89), (0.05, 0.97) (0.55, 0.02), (0.37, 0.04), (0.33, 0.07) (0.95, 0.07), (0.97, 0.09), (0.97, 0.18) (0.46, 0.58), (0.54, 0.65), (0.41, 0.89) (0.73, 0.69), (0.56, 0.78), (0.74, 0.97)

14 Construindo uma Árvore k-D balanceada Os pontos restantes serão folhas, organizados pelo 1º discriminante Resulta uma árvore 2-d com 31 nodos.

15 Exemplo de divisão do espaço por uma Árvore 3-D:

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