MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Ensino Fundamental, 8º Ano Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas

Objetivos da matemática para o quarto ciclo do pensamento algébrico: MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas Objetivos da matemática para o quarto ciclo do pensamento algébrico: - produzir e interpretar diferentes escritas algébricas - expressões, igualdades e desigualdades - , identificando as equações, inequações e sistemas; - resolver situações-problema por meio de equações e inequações do primeiro grau, compreendendo os procedimentos envolvidos; - observar regularidades e estabelecer leis matemáticas que expressem a relação de dependência entre variáveis. (PCN, terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental, Matemática, página 81,1998) CONCEITOS E PROCEDIMENTOS : Número e operações -Tradução de situações-problema por equações ou inequações do primeiro grau, utilizando as propriedades da igualdade ou desigualdade, na construção de procedimentos para resolvê-las, discutindo o significado das raízes encontradas em confronto com a situação proposta. (PCN, terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental, Matemática, página 87,1998). Um eixo organizador do processo de ensino e aprendizagem de Matemática é a resolução de problemas que tem como um dos princípios: a situação-problema é o ponto de partida da atividade matemática e não a definição. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, ideias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las. (PCN, terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental, Matemática, página 40,1998).

VAMOS CONSULTAR O DICIONÁRIO: MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas É MUITO COMUM NAS AULAS DE MATEMÁTICA SE TRADUZIR O ENUNCIADO DE UM PROBLEMA DO PORTUGUÊS PARA A EQUAÇÃO. FALANDO EM EQUAÇÃO, QUEM PODERIA ME FALAR O SEU SIGNIFICADO? VAMOS CONSULTAR O DICIONÁRIO: EQUAÇÃO:“Igualdade entre duas expressões matemática que se verifica para determinados valores das variáveis” (Dicionário eletrônico Houaiss)

Podemos classificar essas expressões como verdadeiras ou falsas? MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas VAMOS OBSERVAR ALGUMAS EXPRESSÕES MATEMÁTICAS: 20 > 13 9 + 7 = 15 c – b ≥ 11 6x + 5 = 41 Podemos classificar essas expressões como verdadeiras ou falsas? Vamos analisar: 20 > 13 9 + 7 = 15 c – b ≥ 11 6x + 5 = 41 É verdadeira! É falsa! Não são verdadeiras e nem falsas!

MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas Uma expressão matemática que podemos classificar como verdadeira ou falsa é denominada SENTENÇA ou PREPOSIÇÃO FECHADA. EXEMPLOS: SENTENÇA VERDADEIRA 15 > 9 5 + 7 = 12 SENTENÇA VERDADEIRA 3 . 7 = 20 SENTENÇA FALSA

PODE SER VERDADEIRA OU FALSA, DEPENDENDO DO VALOR ATRIBUÍDO A b. MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas Uma expressão matemática que NÃO podemos classificar como verdadeira ou falsa é denominada SENTENÇA ou PREPOSIÇÃO ABERTA. PODE SER VERDADEIRA OU FALSA, DEPENDENDO DO VALOR ATRIBUÍDO A b. EXEMPLOS: 4b + 3 = 15 PODE SER VERDADEIRA OU FALSA, DEPENDENDO DOS VALORES ATRIBUÍDOS A x E A y. x + y ǂ 20 c – d ≥ 9 PODE SER VERDADEIRA OU FALSA, DEPENDENDO DOS VALORES ATRIBUÍDOS A c E A d.

EXEMPLOS: 15 > 9 4b + 3 = 15 5 + 7 = 12 x + y ǂ 20 c – d ≥ 9 MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas Sentenças ou preposições matemáticas estabelecem uma relação de igualdade ou de desigualdade: EXEMPLOS: 15 > 9 4b + 3 = 15 5 + 7 = 12 x + y ǂ 20 c – d ≥ 9

MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas As sentenças matemáticas abertas que expressam uma relação de igualdade são denominadas... EQUAÇÃO!!!!! A letra encontrada em uma equação é chamada de INCÓGNITA ou VARIÁVEL.

Exemplos de equações e suas respectivas incógnitas MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas Exemplos de equações e suas respectivas incógnitas É uma equação com uma incógnita: r 3x – 5 = 12 r² + 1 = r + 13 É uma equação de incógnita x É uma equação com duas incógnita: x e y x – y = 10 x é a incógnita da equação É uma equação com uma incógnita: x 4x = 12 x + 3 = 2x - 7

3x + 5 29 Observe a equação 3x + 5 = 29. = Denomina-se MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas Observe a equação 3x + 5 = 29. 3x + 5 29 = Denomina-se 1º membro da equação Denomina-se 2º membro da equação

2x – 8 = 0 8y = 32 2 n – 1 = 13 5 Equação do 1º grau na incógnita x MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas EQUAÇÃO DO 1º GRAU : DEFINIÇÃO Equações do tipo ax + b = 0, ou equivalentes, sendo a e b números racionais e a ǂ 0, são chamadas equações do 1º grau na incógnita x. EXEMPLOS: 2x – 8 = 0 Equação do 1º grau na incógnita x 8y = 32 Equação do 1º grau na incógnita y 2 n – 1 = 13 5 Equação do 1º grau na incógnita n

Em uma equação o expoente da incógnita indica o seu grau. Veja: MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas Em uma equação o expoente da incógnita indica o seu grau. Veja: Lembre-se que X = X¹ 3x – 5 = 12 É uma equação do primeiro grau 4x² = 12 É uma equação do segundo grau r² + 1 = r + 13 Também é uma equação do segundo grau. Nesse caso, considera-se o maior expoente da incógnita.

Geralmente em uma equação MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas Geralmente em uma equação procura-se o valor da incógnita que a transforma em uma sentença fechada verdadeira. Exemplo: Na equação 6x = 30, qual o valor de x ? Observe que a equação 6x = 30 é do 1º grau!

5 é a solução ou RAIZ da equação MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas Resolvendo mentalmente: 6x = 30 6 . 5 = 30 O número é 5: Logo, x = 5, ou seja, 5 é a solução ou RAIZ da equação 6x = 30 Isso significa dizer que substituindo o x por 5 na equação 6x = 30, temos uma sentença fechada verdadeira.

Resolva a equação 3x + 4 = 25. Observação: MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas Observação: Nota: Equações de grau superiores ao 1º serão estudadas em séries subsequentes. Equações do 1º grau têm 1 raiz. Equações do 2º grau têm 2 raiz. Equações do 3º grau têm 3 raiz... Resolva a equação 3x + 4 = 25.

Logo, x = 7 é soluções da equação 3x + 4 = 25 MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas Resolvendo mentalmente: A equação pode ser escrita assim: 3 . x + 4 = 25 Então temos que x = 7 3 . 7 + 4 = 25 21 + 4 = 25 Logo, x = 7 é soluções da equação 3x + 4 = 25

5 é a RAIZ da equação 6x = 30, pois a satisfaz. MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas Podemos observar que: 5 é a RAIZ da equação 6x = 30, pois a satisfaz. 7 satisfaz a equação 3x + 4 = 25, logo, é sua RAIZ.

- A raiz é o valor da incógnita que satisfaz a equação. MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas Podemos concluir que: - A raiz é o valor da incógnita que satisfaz a equação. - A incógnita, ao ser substituída por esse valor gera uma sentença fechada verdadeira. Dica: No link http://www.somatematica.com.br/fundam/equacoes1.php do site www.somatematica.com.br você poderá revisar e se aprofundar um pouco mais nesse conteúdo.

x e x + 1 Representamos os dois números consecutivos por: MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas PROBLEMAS VERBAIS E SUAS EQUAÇÕES. 1) A soma de dois números consecutivos é 13. Quais são esses números? RESPOSTA: Chamamos o número desconhecido de x. Representamos os dois números consecutivos por: x e x + 1

Logo os números procurados são 6 e 7. MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas A soma dos dois números é 13: Eliminando os parênteses x + ( x + 1) = 13 2x :2 = 12 :2 x + x + 1 = 13 x = 6 Então: Adicionando as incógnitas 2x + 1 = 13 x+ 1 = 6 + 1 = 7 Adicionando -1 aos dois membros Logo os números procurados são 6 e 7. 2x + 1 -1 = 13 12 -1 VERIFICAÇÃO: 2x = 12 Dividindo os dois membros por 2 6 + (6 + 1) = 13 6 + 7 = 13

MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas 2) Um vendedor de uma loja de eletrodomésticos possui um salário mensal dado pela expressão 678 + 10/100p que corresponde a um salário mínimo e mais 10% do valor dos produtos vendidos pelo funcionário que é representado pela letra p. Durante um determinado mês o vendedor efetuou a venda de apenas um produto e teve como salário R$ 800,00. Qual o valor do produto vendido? NOTA: Esse problema mostra uma aplicabilidade de equações do 1º grau no mercado de trabalho : cálculo do salário de um trabalhador.

MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas Vamos equacionar o problema: Utilizar o dicionário para entender o significada da palavra equacionar Igualamos a expressão 678 + 10/100p, que representa um salário mínimo mais 10% do valor do produto vendido, ao salário ganho nesse mês : 678 + 10 p 100 = 800 Observe que: 10% = 10 ou ainda 0,10 100 VAMOS RESOLVER A EQUAÇÃO:

Adicionando -678 aos dois membros MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas 678 + 10 p 100 = 800 Adicionando -678 aos dois membros 678 - 678 + 10 p 100 = 800 - 678 10 p 100 Multiplicando os dois membros por 100 = 122 A RAIZ da equação é 1220. 10 p 100 . 100 = 122 . 100 O que essa raiz significa? Dividindo os dois membros por 10 e simplificando. 10p = 12200 p = 1220 10 10

MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas Como p = 1220 e ele representa o valor do produto, isso significa dizer que: Para o vendedor ter um salário de R$ 800,00 ele precisa vender um ou mais produtos totalizando R$ 1220,00 . Substituindo p por 1220 e simplificando a fração 10/100, temos: Vamos verificar: 678 + 122 = 800 678 + 10 p 100 = 800 Simplificando a expressão 1 . 1200, temos: 10 800 = 800 678 + 1 . 1220 10 = 800

MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas 3) O professor de João passou 20 problemas como lição de casa e dará 5 pontos para cada resposta correta e 2 pontos para cada resposta incorreta. Sabendo que João obteve 72 pontos, quantas respostas corretas e quantas incorretas ele teve? NOTA: Nos vestibulares e concursos geralmente as notas são calculadas de maneiras variadas: são dados pesos a determinadas disciplinas, cada erro perde um certo, ...

Vamos equacionar o problema: MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas Observação: Representando por x o número de respostas corretas, o número de respostas incorretas será 20 – x. Vamos equacionar o problema: Total de pontos por resposta correta: 5x 2.(20 – x) Total de pontos por resposta incorreta: A diferença entre o total de pontos por resposta correta e resposta incorreta é igual a 72 pontos: 5x - 2.(20 – x) = 72

Isso significa dizer que João teve 16 respostas corretas e, ... MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas RESOLVENDO A EQUAÇÃO: Propriedade distributiva da multiplicação em relação a subtração. 7x : 7 = 112 : 7 5x - 2.(20 – x) = 72 x = 16 Eliminando os parênteses 5x - (40 – 2x) = 72 A raiz da equação é 16. Aplicando a propriedade comutativa 5x - 40 + 2x = 72 5x + 2x -40 = 72 Adicionando as incógnitas 7x -40 = 72 Adicionando +40 aos dois membros Isso significa dizer que João teve 16 respostas corretas e, ... 7x -40 +40 = 112 72 +40 7x = 112 Dividindo os dois membros por 7

Como x = 16 e substituindo em 20 – x, tem-se: MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas ... Como a expressão 20 – x representa o número de respostas incorretas, temos: Como x = 16 e substituindo em 20 – x, tem-se: Sugestão de revisão: Novo Telecurso, Matemática, Ensino Fundamental, Aula 62. 20 – 16 = 4 Logo João teve 4 respostas incorretas CONCLUSÃO: Dos 20 problemas apresentados pelo professor, João respondeu corretamente 16 e errou 4.

MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas MAIS PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES DO 1º GRAU E SUAS APLICABILIDADES NO DIA A DIA. 1) Quase todos os dias, Euclides pega um táxi para ir à casa da sua namorada, que fica a 20km de distância. Os valores aplicados pelo taxista são: bandeirada: R$ 4,15 e quilômetro rodado: R$ 2,15 (bandeira 1). Quanto ele pagou na corrida em bandeira 1? Problema retirado do site: http://www.prof-edigleyalexandre.com/2012/06/equacao-do-1-grau-aplicacoes.html#ixzz2IBPs03XM

EQUACIONANDO O PROBLEMA TEMOS: MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas SOLUÇÃO: EQUACIONANDO O PROBLEMA TEMOS: VAMOS CHAMAR O VALOR TOTAL DA CORRIDA DE Y . BANDEIRADA = R$ 4,15; A CADA 1km RODADO ELE PAGARÁ, NA BANDEIRA 1, R$ 2,15, ENTÃO PARA X km RODADOS TEM-SE 2,15 . X = 2,15X; QUANTIDADE DE QUILÔMETROS A SEREM RODADOS: 20 km; DE ACORDO COM O ENUNCIADO DO PROBLEMA TEMOS: Y= 4,15 + 2,15 . X

RESOLVENDO PRIMEIRO A MULTIPLICAÇÃO MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas SUBSTITUINDO X POR 20 TEMOS: RESOLVENDO PRIMEIRO A MULTIPLICAÇÃO Y= 4,15 + 2,15 . 20 X Y= 4,15 + 43 ADICIONANDO Y= 47,15 EUCLIDES PAGOU R$ 47,15 PELA CORRIDA NA BANDEIRA 1. OBSERVE QUE ESSA EQUAÇÃO TEM DUAS VARIÁVEIS X e Y, E QUE O Y VARIA DE ACORDO COM O X, QUE É A DISTÂNCIA PERCORRIDA ATÉ À CASA DA NAMORADA DE EUCLIDES. NOTA: O VALOR DA VARIÁVEL Y DEPENDE DO VALOR DA VARIÁVEL X, OU SEJA, Y ESTÁ EM FUNÇÃO DE X (NESSE MOMENTO PODE-SE INTRODUZIR A IDEIA BEM BÁSICA DE FUNÇÃO QUE PODE SER ILUSTRADA COM OUTROS EXEMPLOS)

MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas 2) Pedro tinha um saldo bancário positivo de R$ 1.000,00. Ao chegar ao banco ele percebe em um aviso, que os caixas eletrônicos só fornecem cédulas de R$ 50,00. Qual o saldo de Pedro após o saque de 15 cédulas? Problema retirado do site: http://www.prof-edigleyalexandre.com/2012/06/equacao-do-1-grau-aplicacoes.html#ixzz2IBPs03XM, com adaptação. OBSERVAÇÃO: ESSE PROBLEMA PODE SER RESOLVIDO POR MAIS DE UMA MANEIRA, MAS VAMOS DA PREFERÊNCIA A SOLUÇÃO ENVOLVENDO EQUAÇÃO DO 1º GRAU.

O SALDO APÓS O SAQUE SERÁ REPRESENTADO POR Y. MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas SOLUÇÃO: SALDO DE PEDRO: R$ 1.000,00 REPRESENTAREMOS O NÚMERO DE CÉDULAS SACADAS POR X, LOGO, PELO ENUNCIADO DO PROBLEMA TEMOS: X=15. O SALDO APÓS O SAQUE SERÁ REPRESENTADO POR Y. VALOR FIXO EM REAIS QUE PODEM SER SACADOS: R$ 50,00 EQUACIONANDO O PROBLEMA TEMOS: Y = 1000 - 50 . X

APÓS SACAR 15 CÉDULAS O SALDO DE PEDRO É IGUAL A R$ 250,00. MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas SUBSTITUINDO X POR 15 Y = 1000 - 50 . 15 X RESOLVENDO A MULTIPLICAÇÃO Y = 1000 - 750 SUBTRAINDO TEMOS: Y = 250 APÓS SACAR 15 CÉDULAS O SALDO DE PEDRO É IGUAL A R$ 250,00. NOTA: OBSERVE QUE O SALDO DE PEDRO ESTÁ EM FUNÇÃO DO NÚMERO DE CÉDULAS SACADAS.

MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas Indicação de livros didáticos com suas respectivas páginas para aprofundamento do estudo sobre equações do 1º grau: -Bigode, Antônio Lopes, Matemática hoje é feita assim, 7ª série, São Paulo, FTD, 2000. Páginas 63 a 72. -Dante, Luiz Roberto, Tudo é matemática, 7ª série, São Paulo, Ática, 2002. Páginas 111 a 123. -Imenes, Luiz Márcio Pereira, Matemática/ Imenes &Lellis, 7ª série, São Paulo, Scipione, 1997. Página 213 a 222. -Souza, Maria Helena de, Matemática, 7ª série, Maria Helana Souza, Walter Spinelli, São Paulo, Ática, 1999. Página 98 a 113. -Guelli, Oscar, Matemática uma aventura do pensamento, 7ª série, 8ª edição, Ática, 2001. Página 91 a 102.

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA -Behrens, Marilda Aparecida, O paradigma emergente e a prática pedagógica, 4ª edição, Petrópolis-RJ, Vozes, 2010. -Parâmetros curriculares nacionais: terceiro e quarto ciclo do ensino fundamental-Matemática /Secretaria de Educação Fundamental. – Brasília -MEC /SEF, 1998. -Dante, Luiz Roberto, Tudo é matemática, 7ª série, São Paulo, Ática, 2002. -Imenes, Luiz Márcio Pereira, Matemática/ Imenes &Lellis, 7ª série, São Paulo, Scipione, 1997. -Souza, Maria Helena de, Matemática, 7ª série, Maria Helana Souza, Walter Spinelli, São Paulo, Ática, 1999. -Guelli, Oscar, Matemática: Uma aventura do pensamento. 7ª série, São Paulo, Ática, 8ª edição, 2001. -Bigode, Antônio José Lopes, Matemática hoje é feita assim, 7ª série, São Paulo, FTD, 2000. -www.somatematica.com.br -Novo Telecurso, Ensino Fundamental, Matemática, aula 62. -http://tvescola.mec.gov.br/