Equação do 2º grau resolução MATEMÁTICA Ensino Fundamental, 9º Ano Equação do 2º grau resolução

CONTEÚDOS PROPOSTOS PARA O ENSINO DA MATEMÁTICA NO QUARTO CICLO: MATEMÁTICA, 9º Ano Equação do 2º grau resolução BASE CURRICULAR COMUM PARA AS REDES PÚBLICAS DO ESTADO DE PERNAMBUCO - MATEMÁTICA Tem-se observado que uma abordagem das equações do segundo grau apenas pela aplicação direta da fórmula de Bhaskara termina por provocar dificuldades posteriores. Os alunos acabam tomando-a como método único e, quando “esquecem a fórmula”, não são capazes de resolver o problema. Assim, é recomendável que, nessa etapa, os alunos sejam incentivados a resolver equações de segundo grau utilizando a fatoração e o processo de completar quadrados, que, além de serem métodos eficazes podem dar significado à fórmula de Bhaskara. (Base Curricular Comum para as redes públicas do estado de Pernambuco , Matemática, 2008, página 99.) CONTEÚDOS PROPOSTOS PARA O ENSINO DA MATEMÁTICA NO QUARTO CICLO: No trabalho com a Álgebra é fundamental a compreensão de conceitos como a formulação e a resolução de problemas por meio de equações (ao identificar parâmetros, incógnitas, variáveis) e o conhecimento da “sintaxe” (regras para resolução) de uma equação. (PCN, terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental, Matemática, 1998, página 84)

MATEMÁTICA, 9º Ano Equação do 2º grau resolução RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 2º GRAU SINTAM-SE TODOS CONVIDADOS A RESOLVER ALGUMAS EQUAÇÕES DO 2º GRAU VAMOS CHAMAR ESSE NÚMERO DESCONHECIDO (INCÓGNITA) DE X, LOGO TEMOS A EQUAÇÃO: VOCÊS SÃO CAPAZES DE ME RESPONDER QUAL É O NÚMERO QUE ELEVADO AO QUADRADO DÁ 25? X² = 25 PENSARAM NO NÚMERO 5 NÃO FOI? PARA X = 5 TEMOS: 5² = 5 . 5 = 25 PARABÉNS!!!! PARA X = - 5 TEMOS: (-5)² = (-5) . (-5) = 25 EXISTE OUTRO NÚMERO QUE RESPONDE A ESSA PERGUNTA SABIAM? OBSERVE QUA A EXPRESSÃO X² = 25 É UMA EQUAÇÃO E COMO O EXPOENTE DA INCÓGNITA É 2, DIZEMOS QUE ELA É DO 2º GRAU E CONSEGUENTEMENTE POSSUI COMO SOLUÇÃO DOIS NÚMEROS. É O NÚMERO -5, OBSERVEM:

OBSERVE QUE AS RAÍZES ENCONTRADAS SÃO OPOSTAS. MATEMÁTICA, 9º Ano Equação do 2º grau resolução OS NÚMEROS 5 E -5 SÃO DENOMINADOS SOLUÇÃO OU RAÍZES DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU DADA RAIZ OU SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DE 2º GRAU COM UMA INCÓGNITA É O VALOR QUE, QUANDO ATRIBUÍDO À INCÓGNITA, TRANSFORMA A EQUAÇÃO EM UMA SENTENÇA VERDADEIRA. NOTE AINDA QUE A EQUAÇÃO X² = 25 PODE SER ESCRITA ASSIM: X² - 25 = 0 OBSERVE QUE AS RAÍZES ENCONTRADAS SÃO OPOSTAS. VEJA COMO PODEMOS RESOLVÊ-LA: x² - 25 = 0 x = ± 5 Geralmente identificamos a primeira raiz por x’(lê-se xis linha) e a segunda por x” (lê-se xis duas linhas). x² - 25 + 25 = 0 + 25 Adicionando + 25 aos dois membros Logo temos: x² = 25 De modo geral, uma equação do tipo x² = c, em que c ≥ 0, tem como raízes √c e -√c √x² = ± √25 Extraindo a raiz nos dois membros X’ = - 5 ou X” = + 5

√x² = ± √9 √x² = ± √-36 Extraindo a raiz nos dois membros MATEMÁTICA, 9º Ano Equação do 2º grau resolução VEJA AINDA ESSA OUTRA EQUAÇÃO: AGORA OBSERVE COM ATENÇÃO: 2X² - 18 = 0 RESOLVENDO-A TEMOS: QUAL É A SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO X² + 36 = 0? 2X² - 18 + 18 = 0 + 18 Adicionando + 18 aos dois membros RESOLVENDO A EQUAÇÃO TEMOS: 2X² = 18 Dividindo os dois membros por 2 Observe que podemos indicar também a primeira e a segunda raiz da equação por X1 e X2, respectivamente. 2X² = 18 2 2 X² + 36 = 0 X² + 36 - 36 = 0 - 36 Adicionando – 36 aos dois membros X² = 9 X² = - 36 √x² = ± √9 Extraindo a raiz nos dois membros De modo geral, uma equação do tipo ax² + c = 0, com a ≠ 0, pode ser transformada na equação ax² = - c, e esta em x² = - c . a √x² = ± √-36 Extraindo a raiz nos dois membros X1 = - 3 ou X2 = + 3 X = √-36 Não existe no conjunto dos números reais, ou seja, não existe um número real cujo quadra-do é um número negativo. Logo, ESSA EQUAÇÃO NÃO TEM SOLUÇÃO NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS

MATEMÁTICA, 9º Ano Equação do 2º grau resolução VAMOS TENTAR RESOLVER O SEGUINTE PROBLEMA : Luís tem um terreno na forma de um quadrado. Ele pretende comprar um terreno de 90 m² que faz divisa com o que ele já possui. Desse modo, ele ficaria com um terreno retangular de 414 m². Qual é a medida do lado do terreno de formato quadrado de Luís? EQUACIONANDO O PROBLEMA TEMOS: REPRESENTANDO O NOVO TERRENO DE LUÍS POR UMA FIGURA : A área do terreno na forma de um quadrado corresponde a X². Luís pretende comprar um terreno de 90 m² Após a compra Luís ficará com um terreno de 414 m². X X² 90 m² X² + 90 = 414 X² + 90 = 414 X Problema extraído do livro de Matemática: Bianchini/Edwaldo Bianchini, 7 ed.,São Paulo, Moderna, 2011, página 115.

OBSERVE QUE A EQUAÇÃO X² + 90 = 414 FOI REDUZIDA AO TIPO X² = C MATEMÁTICA, 9º Ano Equação do 2º grau resolução RESOLVENDO A EQUAÇÃO TEMOS: COMO A MEDIDA DO LADO DEVE SER UM NÚMERO POSITIVO, CONCLUÍMOS: X² + 90 = 414 O LADO DO QUADRADO MEDE 18 m. X² + 90 - 90 = 414 - 90 Adicionando - 90 aos dois membros X² = 324 OBSERVE QUE A EQUAÇÃO X² + 90 = 414 FOI REDUZIDA AO TIPO X² = C √X² = ± √324 Extraindo as raízes nos dois membros X = ± 18 X’ = - 18 OU X’’ = + 18

AGORA OBSERVE A EQUAÇÃO: X² - 4X = 0 MATEMÁTICA, 9º Ano Equação do 2º grau resolução AGORA OBSERVE A EQUAÇÃO: X² - 4X = 0 QUAIS SÃO SUAS RAÍZES? INICIANDO A RESOLUÇÃO TEMOS: Adicionando + 4 aos dois membros X² - 4X = 0 Fatorando o primeiro membro: Colocando o fator comum em evidência. X.( X – 4) = 0 X – 4 + 4= 0 + 4 X = 4 LOGO TEMOS: Qual a condição necessária para que o produto entre dois ou mais fatores seja igual? X = 0 PORTANTO AS RAÍZES SÃO: OU X’ = 0 OU X’’= 4 UM DOS FATORES DEVE SER IGUAL A ZERO!!!!! X – 4 = 0

VAMOS AGORA EQUACIONAR O PROBLEMA. MATEMÁTICA, 9º Ano Equação do 2º grau resolução RESOLVA O PROBLEMA: Jeny deseja construir dois pomares, uma na forma de um losango e o outro na forma de um paralelogramo conforme indicam as figuras ao lado: Para iniciarmos a resolução do problema devemos lembrar de como se calcula as áreas do losango e do paralelogramo. Admitindo que a diagonal maior do losango mede 3x e a menor 2x e que o paralelogramo mede de altura 2x e sua base mede x + 5. Área do losango: A = D . d 2 D= diagonal maior d = diagonal menor B = base h = altura Área do Paralelogramo: A = B . h VAMOS AGORA EQUACIONAR O PROBLEMA. Para que Jeny construa esses pomares com áreas iguais, qual deve ser o valor de x?

TENHA ÁREAS IGUAIS ADMITIMOS: ÁREA DO LOSANGO = ÁREA DO PARALELOGRAMO MATEMÁTICA, 9º Ano Equação do 2º grau resolução PARA QUE OS POMARES TENHA ÁREAS IGUAIS ADMITIMOS: ÁREA DO LOSANGO = ÁREA DO PARALELOGRAMO D . d 2 LOGO: = B . h PELO ENUNCIADO DO PROBLEMA SABEMOS QUE: D = 3x d = 2x B = x + 5 h = 2x ENTÃO: Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação a adição no segundo membro. 3X . 2X = (X + 5) . 2X 2 3x² - 2x² - 10x = 2x² + 10x - 2x² - 10x 6X² = 2x² + 10x 2 x² - 10x = 0 Adicionando -2x² - 10x aos dois membros Resolvendo a operação indicada no numerador 3x² = 2x² + 10x Resolvendo as operações indicadas x . ( x – 10) = 0 Simplificando a fração Fatorando o primeiro membro: Colocando o fator comum em evidência.

MATEMÁTICA, 9º Ano Equação do 2º grau resolução x . ( x – 10) = 0 Adicionando + 10 aos dois membros e resolvendo as operações indicadas X – 10 + 10 = 0 + 10 A condição necessária para que o produto entre dois ou mais fatores seja igual a zero é que um deles deve ser igual a zero. X = 10 COMO AS MEDIDAS DAS DIMENSÕES DO LOSANGO E DO PARALELOGRAMO DEVEM SER UM NÚMERO POSITIVO, CONCLUÍMOS: LOGO TEMOS: Para que Jeny construa esses pomares com áreas iguais, o valor de x deve ser 10. X = 0 OU X – 10 = 0

MATEMÁTICA, 9º Ano Equação do 2º grau resolução De modo geral, uma equação do tipo ax² + b = 0, quando fatorada, recai na equação x.(ax + b) = 0. x’ = 0 ax² + bx = 0 = x.(ax + b) = 0 ax + b = 0 x’’ = - b , com a≠0 a

QUERO VER AGORA SE VOCÊS CONSEGUEM RESOLVER ESSA EQUAÇÃO: MATEMÁTICA, 9º Ano Equação do 2º grau resolução QUERO VER AGORA SE VOCÊS CONSEGUEM RESOLVER ESSA EQUAÇÃO: Adicionando - 1 aos dois membros e resolvendo a operação indicada no segundo membro. X + 1 = 4 (X + 1)² = 16 X + 1-1 = 4-1 Resolvendo mentalmente: X = 3 Aplicando o mesmo procedimento anterior. Pense em um número que elevado ao quadrado é igual a 16. X + 1-1 = - 4-1 X = - 5 4 e -4 elevados ao quadrado é igual a 16. Logo 3 e – 5 são as raízes da equação (x + 1)² = 16: PARABÉNS!!!!!! É ISSO MESMO!!!!! ( 3 + 1)² = 4² = 16 verificação: Assim temos: X + 1 = 4 ou X + 1 = - 4 ( -5 + 1)² = (-4)² = 16

Verificação da equação MATEMÁTICA, 9º Ano Equação do 2º grau resolução Observa que (x+1)² é um dos produtos notáveis (quadrado da soma de dois números quaisquer) e também pode ser resolvido de maneira prática: quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. Agora resolvam em seu caderno, com o auxílio do professor, a equação: (2x + 6)² = 36 AGORA VEJA QUE CURIOSO: Desenvolvendo o binômio do primeiro membro da equação (X + 1)² = 16 temos: Logo 3 e – 5 são raízes das duas equações Quais são as raízes da equação dada? ( X + 1)² = ( X + 1). ( X + 1) = 16 Verificação da equação X² + 2X - 15 = 0 As raízes são 0 e -6 X² + 2X + 1 = 16 3² + 2. 3 – 15 = 9 + 6 – 15 = 0 Adicionando - 16 aos dois membros X² + 2X + 1 - 16 = 16 - 16 PARABÉNS!!!!!!!!! (-5)² + 2. (-5) – 15 = 25 – 10 – 15 = 0 X² + 2X - 15 = 0 VAMOS VER OUTRO MODO DE RESOLVER A EQUAÇÃO ( X + 1)² = 16 : Assim a equação (X+1)² = 16 é igual a equação X² + 2X - 15 = 0

Logo as raízes são 3 e - 5 √( X + 1)² = ± √16 MATEMÁTICA, 9º Ano Equação do 2º grau resolução Logo as raízes são 3 e - 5 ( X + 1)² = 16 Extraindo as raízes nos dois membros √( X + 1)² = ± √16 X + 1 = 4 X + 1 - 1 = 4 - 1 X = 3 X + 1 = ± 4 X + 1 = - 4 X + 1 - 1 = - 4 - 1 X = - 5 De modo geral, para encontrar as raízes de equações do tipo (ax + b)² = k, com k ≥ 0 e a ≠ 0 fazemos: x = - b + √k a ax + b = √k ax + b = - √k x = - b - √k a

√( X + 6)² = ± √81 ( x + 6)² = 81 3+ 6 = 9 -15 + 6 = - 9 MATEMÁTICA, 9º Ano Equação do 2º grau resolução Problema envolvendo uma equação do tipo (ax + b)² = k, com k ≥ 0 e a ≠ 0 : Petrúcio Filho desenhou a planta de um terreno em forma de um quadrado, conforme figura abaixo, e propôs o seguinte desafio a seu irmão Petrus: As raízes da equação (x + 6)² = 81 são 3 e – 15, mas apenas 3 satisfaz o problema: x + 6 O lado do quadrado mede x + 6, substituindo as raízes encontradas temos: Como a área do terreno é de 81 m² temos: Como a medida do lado do quadrado deve ser um número positivo, Petrus conclui: x + 6 3+ 6 = 9 ( x + 6)² = 81 -15 + 6 = - 9 Extraindo as raízes nos dois membros √( X + 6)² = ± √81 Sabendo que a área do terreno é de 81 m², qual é a medida dos lados desse terreno? O quadrado tem lados medindo 9 metros. X + 6 = ± 9 X + 6 = 9 X + 6 - 6 = 9 - 6 X = 3 Equacionando o problema: Lembre-se: para calcular a área de um quadrado basta elevar um dos lados ao quadrado. X + 6 = - 9 X + 6 - 6 = - 9 - 6 X = - 15

x² + 6x + 9 ( x + 3 ) . ( x + 3) MATEMÁTICA, 9º Ano Equação do 2º grau resolução OBSERVE ATENTAMENTE A MULTIPLICAÇÃO ABAIXO: Como ( x + a ) . ( x + b ) = x² + ( a + b).x + ab Então: Observe que na expressão x² + ( a + b). x + ab o coeficiente de x é dado pela soma a + b e o terceiro termo que é independente da incógnita x, é dado pelo produto a.b ( x + a ) . ( x + b ) Multiplicando os binômios temos: 3 + 3 3 . 3 Fatorando: colocando o fator comum em evidência x² + 6x + 9 x² + bx + ax + a.b Utilizando a observação acima, escreva a expressão x² + 6x + 9 na forma fatorada. ( x + 3 ) . ( x + 3) x² + ( a + b ) . x + ab Observe que x² + 6x + 9 é um trinômio quadrado perfeito: x² + 6x + 9 = ( x + 3)² Podemos observar que: Como o coeficiente de x da expressão x² + ( a + b). x + ab é dado pela soma a + b e o termo independente da incógnita x, é dado pelo produto a.b , temos: ( x + a ) . ( x + b ) = x² + ( a + b).x + ab Dizemos que ( x + a ) . ( x + b ) é a forma fatorada da expressão x² + ( a + b). x + ab VAMOS AGORA UTILIZAR ESSE MODO DE FATORAR PARA RESOLVER ALGUMAS EQUAÇOES DO 2º GRAU: a + b = 6 e a . b = 9 Fatorar significa escrever uma adição algébrica na forma de uma multiplicação. Calculando mentalmente encontramos: a = 3 e b = 3

√( x + 5)² = ± √0 VEJAMOS MAIS UMA EQUAÇÃO: MATEMÁTICA, 9º Ano Equação do 2º grau resolução Resolva a equação x² + 10x + 25 = 0 2º modo de resolução: Já sabemos que ( x + a ) . ( x + b ) = x² + ( a + b).x + ab Perceba que essa equação é da forma ax² + bx + c = 0, onde a = 1, b = 10 e c = 25. ( x + 5 ) . ( x + 5 ) = 0 Extraindo as raízes nos dois membros Então: a + b = 10 e a . b = 25 ( x + 5 )² = 0 Calculando mentalmente: a = 5 e b = 5 √( x + 5)² = ± √0 Logo, x² + 10x + 25 = ( x + 5 ) . ( x + 5 ) = 0 ( x + 5 ) = ± 0 Tem duas soluções iguais, logo: 1º modo de resolução: x + 5 = 0 Para que o produto entre dois fatores seja igual a zero, um dos fatores deve ser zero ( x + 5 ) . ( x + 5 ) = 0 x + 5 - 5 = 0 - 5 x + 5 = 0 ou x + 5 = 0 x = - 5 x + 5 - 5 = 0 - 5 x + 5 - 5 = 0 - 5 Logo as raízes são x’ = - 5 ou x ‘’ = - 5 Adicionando – 5 aos dois membros X’ = - 5 X’’ = - 5 Verificação: (-5)² + 10 . (-5) + 25 = 25 – 50 + 25 = 0 São duas soluções iguais VEJAMOS MAIS UMA EQUAÇÃO:

√( X - 4)² = ± √81 VAMOS CONTINUAR RESOLVENDO EQUAÇÕES: MATEMÁTICA, 9º Ano Equação do 2º grau resolução Resolva a equação x² - 8x + 16 = 81: Observe que x² - 8x + 16 é um trinômio quadrado perfeito e tem a seguinte fatoração: ( x – 4 )² x² - 8x + 16 = 81 Lembrem-se dos produtos notáveis: quadrado da soma de dois números quaisquer e quadrado da diferença de dois números quaisquer: ( a + b )² = a² + 2ab + b² ( a – b )² = a² - 2ab + b² Logo x² - 8x + 16 = ( x – 4 )² = 81 ( x – 4 )² = 81 √( X - 4)² = ± √81 Extraindo as raízes nos dois membros Lembre-se também como esses produtos notáveis são fatorados de maneira prática: √a² + 2ab + √b² ( a + b )² x – 4 = + 9 ou x – 4 = - 9 x – 4 + 4 = + 9 + 4 x – 4 + 4 = - 9 + 4 Adicionando + 4 aos dois membros VAMOS CONTINUAR RESOLVENDO EQUAÇÕES: x’ = 13 x’’ = - 5 Verificação: 13² - 8 . 13 + 16 = 169 – 104 + 16 = 65 + 16 = 81 (-5)² - 8.(-5) + 16 = 25 + 40 + 16 = 81

MATEMÁTICA, 9º Ano Equação do 2º grau resolução Quais são as raízes da equação 9x² + 24x + 16 = 169: 3x + 4 = + 13 Adicionando – 4 aos dois membros Observe que 9x² + 24x + 16 é um trinômio quadrado perfeito que corresponde ao produto notável quadrado da soma de dois números onde fatorando temos : 3x + 4 - 4 = + 13 - 4 Multiplicando os dois membros por 1\3 3x = 9 Extraindo as raízes nos dois membros 1 . 3x = 9 . 1 3 3 √9x² + 24x + √16 Aplicando o mesmo procedimento em 3x + 4 = - 13, temos x = - 17 3 ( 3x + 4 )² = 169 3x = 9 3 3 x = 3 √( 3X + 4)² = ± √169 Logo as raízes da equação original são x’ = 3 ou x’’ = - 17 3 3x + 4 = ± 13 3x + 4 = + 13 ou 3x + 4 = - 13 Observação: Faça a verificação em seu caderno

√( X + 3)² = ± √1 Considere a equação x² + 6x + 8 = 0 x² + 6x + 8 = 0 MATEMÁTICA, 9º Ano Equação do 2º grau resolução Vamos agora resolver uma equação do 2º grau da forma ax² + bx + c = 0 utilizando o Método de Completar Quadrados criado pelo matemático árabe Al-Khowarizmi. Dica: Para entender melhor esse método de completar quadrados ver sua interpretação geométrica no site http://solucoesdematematicaonline.blogspot.com.br/2014/08/o-metodo-de-completamento-de-quadrados.html Considere a equação x² + 6x + 8 = 0 x² + 6x + 8 = 0 x² + 6x + 8 - 8 = 0 - 8 Adicionando – 8 aos dois membros Logo as raízes são: x’ = -2 ou x’’ = -4 Adicionando 9 aos dois membros para formar um Trinômio Quadrado Perfeito no primeiro membro x² + 6x = - 8 x² + 6x + 9 = - 8 + 9 Trinômio quadrado perfeito ( x + 3 )² = 1 x + 3 = 1 x + 3 – 3 = 1 - 3 x = -2 √( X + 3)² = ± √1 x + 3 = -1 x + 3 – 3 = -1 - 3 x = -4

Vamos resolver o seguinte problema: A MATEMÁTICA, 9º Ano Equação do 2º grau resolução Vamos resolver o seguinte problema: A B h - 1 C Área de um triângulo= = base . altura 2 Em um triângulo ABC, a medida da altura relativa à base BC excede a medida de BC em 1 cm. Esse triângulo tem 15 cm² de área. Qual a medida desse altura? h Então temos: 15 = (h – 1) . h 2 Equacionando o problema: Vamos representar a medida, em centímetros, da altura relativa a BC por h e a medida de BC por h – 1. Vamos simplificar essa expressão Problema retirado do livro MATEMÁTICA Ideias e desafios, de Iracema e Dulce, 17ª Edição, página 90, Saraiva, Sâo Paulo, 2012

MATEMÁTICA, 9º Ano Equação do 2º grau resolução Vamos resolver a equação h² – h – 30 = 0 utilizando uma fórmula de um famoso matemático Hindu chamado Bhaskara. 15 = (h – 1) . h 2 Para resolver a equação ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0 usamos a fórmula de Bhaskara: x = - b ± √ b² - 4.a.c 2.a ou x = - b ± √∆ , em que ∆ = b² - 4.a.c Multiplicando os dois membros por 2 e simplificando 15. 2 = (h – 1) . h . 2 2 Resolvendo as operações indicadas Observação: A expressão b² - 4ac representada pela letra grega delta(∆) é chamada discriminante da equação Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação a subtração) 30 = (h – 1) . h 30 = h² - h 30 – 30 = h² – h – 30 Adicionando – 30 aos dois membros h² – h – 30 = 0 Uma condição para a existência de soluções reais é que o discriminante da equação seja maior ou igual a zero. Logo: Equação do 2º grau completa ∆ < 0, então a equação NÃO POSSUI RAIZ REAL ∆ > 0, então a equação tem DUAS RAÍZES REAIS DIFERENTES ∆ = 0, então a equação DUAS RAÍZES REAIS IGUAIS

x = - b ± √∆ 2.a h² – h – 30 = 0 x = - (-1) ± √121 2.1 x = 1 ± 11 2 MATEMÁTICA, 9º Ano Equação do 2º grau resolução RESOLVENDO A EQUAÇÃO TEMOS: APLICANDO A FÓRMULA DE BHASKARA: x = - b ± √∆ 2.a As raízes da equação são x’ = 6 ou x” = - 5 h² – h – 30 = 0 Observe que a = 1, b = -1 e c = - 30 Inicialmente vamos calcular o valor de nosso discriminante (∆): Como h representa a medida de uma altura, logo h > 0. x = - (-1) ± √121 2.1 Substituindo a, b e ∆ por seus respectivos valores Portanto, a raiz -5 não é conveniente. ∆ = b² - 4.a.c TEMOS x = 1 ± 11 2 Resolvendo as operações indicadas Substituindo os coeficientes a, b e c por seus respectivos valores ASSIM: ∆ = (-1)² - 4. 1 .(- 30) Conclusão: O triângulo ABC tem 6 cm de altura x’ = 1 + 11 2 x’ = 12 = 6 2 ∆ = 1 + 120 = 121 Resolvendo as operações indicadas Observação: Faça a verificação em seu caderno. ou x’’ = 1 - 11 2 x’’ = - 10 = - 5 2 ∆ > 0, a equação possui DUAS RAÍZES DIFERENTES

x = - b ± √∆ 2.a x = - 14 ± √0 2.1 x = -14 ± 0 2 x = -14 = - 7 2 MATEMÁTICA, 9º Ano Equação do 2º grau resolução VAMOS RESOLVENDO ALGUMAS EQUAÇÕES DO 2º GRAU COMPLETAS UTILIZANDO A FÓRMUÇA DE BHASKARA: Inicialmente vamos calcular o valor de nosso discriminante (∆): B) -5X² + 12X - 14 = 0 A) X² + 14X + 49 = 0 ∆ = b² - 4.a.c ∆ = b² - 4.a.c Observe que a = 1, b = 14 e c = 49 ∆ = (12)² - 4. (-5) . -14 ∆ = (14)² - 4. 1 . 49 ∆ = 196 - 196 = 0 ∆ = 144 - 280 = -136 ∆ = 0, a equação possui DUAS RAÍZES IGUAIS ∆ < 0, a equação NÃO TEM COMO SOLUÇÃO UM NÚMERO REAL APLICANDO A FÓRMULA DE BHASKARA: x = - b ± √∆ 2.a x = - 14 ± √0 2.1 x = -14 ± 0 2 x = -14 = - 7 2 Logo as raízes são x’ = -7 ou x” = -7, ou seja, a equação tem uma única raiz real: x = -7

MATEMÁTICA, 9º Ano Equação do 2º grau resolução Vamos agora resolver uma equação do 2ª grau utilizando um método criado por um matemático Francês chamado Albert Girard Albert Girard(1595-1632) demonstrou em seu livro Invention nouvelle em l’algèbra a relação entre as raízes e os coeficientes de uma equação: 1ª Relação: SOMA DAS RAÍZES 2ª Relação: PRODUTO DAS RAÍZES X’ + X” = - b ou S = - b . a a X’ . X” = c ou P = c . a a Observe que quando o a = 1 temos X’ + X” = - b e X’ . X” = C Vamos resolver a equação 2x² - 10x + 12 = 0 utilizando as relações de Girard: Observação: Ver demonstração dessas relações no site http://www.brasilescola.com/matematica/estudando-as-relacoes-girard.htm

Na equação 2x² - 10x + 12 = 0 temos a = 2, b = - 10 e c = 12 MATEMÁTICA, 9º Ano Equação do 2º grau resolução Na equação 2x² - 10x + 12 = 0 temos a = 2, b = - 10 e c = 12 Segundo Girard: As expressões nos mostram que existem dois números que somados dá 5 e multiplicados dá 6 X’ + X” = - b.... a X’ . X” = c .. a e QUAIS SÃO ESSES NÚMEROS? Assim: X’ + X” = - (-10).... 2 Os números são 2 e 3 PARABÉNS!!! X’ + X” = 5.. Assim as raízes são x’= 2 ou x”= 3 X’ . X” = 12 .. 2 X’ . X” = 6.. VERIFICAÇÃO: 2. 2² - 10 . 2 + 12 = 8 – 20 + 12 = 0 Podemos encontrar as raízes da equação interpretando essas duas expressões encontradas: 2. 3² - 10 . 3 + 12 = 18 – 30 + 12 = 0 X’ + X” = 5.. X’ . X” = 6..

Na equação x² + 8x + 15 = 0 temos a = 1, b = 8 e c = 15 MATEMÁTICA, 9º Ano Equação do 2º grau resolução Vamos resolver a equação x² + 8x + 15 = 0 utilizando as relações de Girard: Na equação x² + 8x + 15 = 0 temos a = 1, b = 8 e c = 15 X’ + X” = - b.... a X’ . X” = c .. a As expressões nos mostram que existem dois números que somados dá - 8 e multiplicados dá 15 e Assim: QUAIS SÃO ESSES NÚMEROS? X’ + X” = - 8.... 1 X’ + X” = - 8 Os números são -3 e - 5 Assim as raízes são x’= - 3 ou x”= -5 X’ . X” = 15 .. 1 X’ . X” = 15 VERIFICAÇÃO: (-3)² + 8 . (-3) + 15 = 9 – 24 + 15 = 0 (-5)² + 8 . (-5) + 15 = 25 – 40 + 15 = 0

ATIVIDADES DE FIXAÇÃO: MATEMÁTICA, 9º Ano Equação do 2º grau resolução ATIVIDADES DE FIXAÇÃO: 1)Resolva as seguintes equações: a) X² - 225 = 0 b) X² + 19 = 100 c) 3X² - 13 = 35 3)Determine os valores reais de x que verificam as equações: a) (X + 3)² = 64 b) (X - 5)² = 121 c) (X + 11)² = 324 2) Determine as raízes destas equações: a) X² - 8X = 0 b) 2X² + 10X = 0 c) 3t² - t = 0 4) Resolva a equação x² - 10x + 21 = 0 utilizando: Fatoração Completamento de quadrado Fórmula de Bhaskara Relação de Girard

GABARITO DAS ATIVIDADES DE FIXAÇÃO: MATEMÁTICA, 9º Ano Equação do 2º grau resolução GABARITO DAS ATIVIDADES DE FIXAÇÃO: 1) : a) x’= -15 ou x”= 15 b) x’= -9 ou x”= 9 c) x’= -4 ou x”= 4 3 a) x’= 5 ou x”= -11 b) x’= 16 ou x”= -6 c) x’= 7 ou x”= -29 2) a) x’= 0 ou x”= 8 b) x’= 0 ou x”= -5 c) t’= 0 ou t”= 1\3 4) x’= 3 ou x”= 7

g = aceleração da gravidade e t = tempo decorrido. MATEMÁTICA, 9º Ano Equação do 2º grau resolução SUGESTÃO DE ATIVIDADE PESQUISA NA INTERNET: Pesquisar problemas em disciplina como Física, Química e Biologia que utilizem em suas resoluções equações do 2º grau como ferramenta. Observação: Os físicos estabelecem leis que podem determinar a altura h que um objeto atingi em cada instante t, e utilizam a fórmula h = vt – gt² , onde h = altura, v = velocidade inicial do corpo, 2 g = aceleração da gravidade e t = tempo decorrido. Considerando h= 20m, v = 25m/s e g= 10m/s² temos: 20 = 25 – 10t² que simplificando é igual a t² – 5t + 4 = 0 2 EQUAÇÃO DO 2º GRAU

BIBLIOGRAFIA MATEMÁTICA, 9º Ano Equação do 2º grau resolução -Parâmetros para a Educação Básica de Pernambuco, 2012. -PCN, terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental, Matemática, 1998, página 84) -Behrens, Marilda Aparecida, O paradigma emergente e a prática pedagógica, 4ª edição, Petrópolis-RJ, Vozes, 2010. -Iracema Mori, Dulce Satiko Onaga,Matemática: ideias e desafios, 9º ano,17.ed.-São Paulo: Saraiva, 2012. -Mazzieiro, Alceu dos Santos, Descobrindo e aplicando a matemática: 9º ano,Belo Horizonte: Dimensão, 2012. -Projeto Araribá, matemática obra coletiva, 8ª série, 1 ed.,São Paulo, Moderna, 2006. -Bigode, Antônio José Lopes, Matemática hoje é feita assim, 8ª série, São Paulo, FTD, 2000. -Bonjorno, José Roberto, Matemática: fazendo a diferença, 8ª série, 1 ed, São Paulo, FTD, 2006. -Giovanni, José Ruy, Matemática pensar e descobrir: o + novo, 8ª série ,São Paulo, FTD, 2002. -www.somatematica.com.br -http://tvescola.mec.gov.br/ - http://www.brasilescola.com/matematica/estudando-as-relacoes-girard.htm -www. matematicoteca.blogspot.com.br/2011/08/tipos-de-matrizes.html -http://solucoesdematematicaonline.blogspot.com.br/2014/08/o-metodo-de-completamento-de-quadrados.html