MATEMÁTICA 1º ANO Conjuntos Numéricos PROFESSOR: ALEXSANDRO DE SOUSA E.E. Dona Antônia Valadares

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Prof: Alexsandro de Sousa  A história nos mostra que desde muito tempo o homem sempre teve a preocupação em contar objetos e ter registros numéricos. Seja através de pedras, ossos, desenhos, dos dedos ou outra forma qualquer, em que procurava abstrair a natureza por meio de processos de determinação de quantidades.  E essa procura pela abstração da natureza foi fundamental para a evolução, não só, mas também, dos conjuntos numéricos Conjuntos Numéricos

Prof: Alexsandro de Sousa História dos Conjuntos Numéricos Antiguidade (Pedras); Inscrições Rupestres (Palitinhos); Império Romano (Números Romanos); Sistema de Numeração Hindu-arábico; Atualidade (linguagem de máquina).

Prof: Alexsandro de Sousa Conjunto dos Números Naturais São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N. N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...} Caso queira representar o conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um * ao lado do N: N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,...}

Prof: Alexsandro de Sousa Conjunto dos Números Inteiros São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos). São representados pela letra Z: Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...} N N Z

Prof: Alexsandro de Sousa Inteiros não negativos São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais. É representado por Z+: Z+ = {0,1,2,3,4,5,6,...} O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são:

Prof: Alexsandro de Sousa Inteiros não positivos São todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z-: Z- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}

Prof: Alexsandro de Sousa Inteiros não negativos e não-nulos É o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*+: Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...} Z*+ = N*

Prof: Alexsandro de Sousa Inteiros não positivos e não nulos São todos os números do conjunto Z- excluindo o zero. Representa-se por Z*-. Z*- = {... -4, -3, -2, -1}

Prof: Alexsandro de Sousa Conjunto dos Números Racionais Q = {a/b | a, b  Z e b  0}. Todo número que pode ser escrito em forma de fração Exemplos: - Decimais finitos; - Dízimas periódicas; - Raízes exatas; Os racionais são representados pela letra Q.

Prof: Alexsandro de Sousa 3, Este não é um número Racional, pois possui infinitos algarismos após a vírgula (representados pelas reticências) 2,252 Este é um número Racional, pois possui finitos algarismos após a vírgula. 2, Este número possui infinitos números após a vírgula, mas é racional, é chamado de dízima periódica. Reconhecemos um número destes quando, após a vírgula, ele sempre repetir um número (no caso 25).

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N Z Q

14 Conjunto dos Números Irracionais Prof: Alexsandro de Sousa É formado pelos números decimais infinitos não- periódicos. Um bom exemplo de número irracional é o número PI (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale 3, Atualmente, supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas decimais para o PI. Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2 (1, )

15 Prof: Alexsandro de Sousa N Z Q IRRACIONAISIRRACIONAIS

16 Prof: Alexsandro de Sousa Conjunto dos Números Reais É formado por todos os conjuntos citados anteriormente (união do conjunto dos racionais com os irracionais). Representado pela letra R. N Z Q IRRACIONAISIRRACIONAIS R

Números formados por infinitos algarismos que se repetem periodicamente. E o número que se repete é chamado de período. Exemplos: 2, , , , Na dízima 2, o período 3 posiciona-se logo após a vírgula. Na dízima 0, o período 12 posiciona-se logo após a vírgula. Prof: Alexsandro de Sousa

18 Prof: Alexsandro de Sousa O número decimal 0, é uma dízima periódica composta, uma vez que entre o período e a vírgula existe uma parte não-periódica. Nessa dízima, o número 3, situado entre a vírgula e o período, corresponde à parte não-periódica. Outros exemplos: 2, , ,

19 Prof: Alexsandro de Sousa É a fração que deu origem a dízima periódica. Como encontrar a geratriz de uma dízima periódica. 1º caso: O número é uma dízima periódica simples. 0, = ___ 2 9 0, = ___ 35 99

4 + 0, = 4 + = = = 20 Prof: Alexsandro de Sousa Transforme a dízima periódica 4, em fração

21 Prof: Alexsandro de Sousa Indicamos a dízima periódica 4, por x. x = 4, ① Multiplicamos os dois membros dessa igualdade por x = 415, ②

22 Prof: Alexsandro de Sousa Subtraímos, membro a membro, a equação ① da equação ②. 100 x = 415, ② - x = 4, ① 99 x = 411 logo: 4, = Assim: x =

2º caso: O número é uma dízima periódica composta Transforme a dízima periódica 0, em fração. SOLUÇÃO. Indicamos a dízima periódica 0, por x. x = 0, ① Multiplicamos os dois membros dessa igualdade por 10. Obtendo no 2º membro uma dízima periódica Simples. 10 x = 4, ② Prof: Alexsandro de Sousa

24 Prof: Alexsandro de Sousa Multiplicamos os dois membros dessa igualdade ② por x = 47,77... ③ Subtraímos, membro a membro, a equação ② da equação ③. 100 x = 47, ③ 90 x = 43 Assim: x = -10 x = 4, ②

3, = – Número de algarismos do período de repetição’ Número de algarismos, após a vírgula, que não pertencem ao período = Prof: Alexsandro de Sousa

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27 Prof: Alexsandro de Sousa 2, = –

28 Prof: Alexsandro de Sousa Obtenha a fração geratriz de : a)0, = b)0, = c)-7, = d)0, = e)0, = f)1, = g)-2, = h)0, = i)2, = j)-1, = k)0, = l) 1, =