PROBABILIDADE Profª Juliana Schivani

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Experimento aleatório É todo experimento que, mesmo repetido várias vezes, sob condições semelhantes, apresenta resultados imprevisíveis, dentre os resultados possíveis. Ex’s: lançamento de um dado, de uma moeda, loteria de números, extração de uma carta de baralho,... PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI

Espaço amostral É o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. S Ω Denominamos por S ou Ω. Ex’s: No lançamento de um dado, S = {1,2,3,4,5,6,} Ω No lançamento de uma moeda, Ω = {cara, coroa} PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI

Evento É todo subconjunto de um espaço amostral S de um experimento aleatório. Ex’s: No lançamento de um dado, S = {1,2,3,4,5,6,} Sair um número menor que 4 é um evento representado pelo subconjunto {1, 2, 3} PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI

Evento PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI MUITO PROVÁV EL POUCO PROVÁVE L CERTO IMPOSSÍVE L SIMPLES unitário ф Evento = Ω Obter um número menor que 7 → EVENTO CERTO Ω Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = evento Obter o número zero → EVENTO IMPOSSÍVEL Obter um número maior que 5 → EVENTO SIMPLES evento {6} = evento

PROBABILIDADE São as chances de um ou mais eventos ocorrerem ou não. PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI COMPLEME NTAR COMPOS TA CONDICIONA DA UNIÃO INTERSEC ÇÃO INDEPENDE NTE

PROBABILIDADE Seja um evento A de espaço amostral S (não vazio e finito). A probabilidade de ocorrer o evento A é: PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI P (A) = n (A) n (S) Todos os casos favoráveis, isto é, os que queremos que aconteça. Todos os casos possíveis. 0 ≤ P(A) ≤ 1 0% ≤ P(A) ≤ 100%

= possibilidades de cartões com 6 números C 60,6 = 60! 6! (60 – 6)! = 60! 6! · 54! Quantos cartões da Mega Sena (60 números) com 6 marcações cada, podemos fazer? = 1, 2, 3, 4, 5, 6 = 6, 5, 4, 3, 2, 1 A ordem não é importante!!! Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI

= 1,99 · = 0, % P = Fazendo uma aposta simples com 6 números, qual a probabilidade de você ser sorteado? = 1, 2, 3, 4, 5, 6 = 6, 5, 4, 3, 2, 1 A ordem não é importante!!! Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI

A prova antiga da UFRN continham 15 questões onde cada uma apresentava 4 alternativas. Quantas eram as possibilidades de gabaritos? Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani Qual a probabilidade do aluno acertar “no chute” as 15 questões? PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI

É mais fácil acertar com um jogo simples da MEGA SENA ou acertar “no chute” as 15 questões antigas da UFRN? Análise Combinatória – Profª Juliana Schivani PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI

PROBABILIDADE Lídia, a procura de emprego, foi selecionada por duas indústrias que estavam localizadas de lados opostos em relação a sua residência. Como não havia vantagens financeiras nem trabalhistas entre as ofertas, decidiu optar pelo emprego cuja probabilidade de pegar o primeiro trem que passasse ao chegar à estação fosse maior, fosse esse para direita ou para esquerda. PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI

PROBABILIDADE Na estação ferroviária, foi informado de que os trens para direita passavam nos horários 0h10, 0h40, 1h10, 1h40, 2h10,..., 23h40, enquanto que os trens para esquerda passavam nos horários 0h00, 0h30, 1h00, 1h30, 2h00,..., 23h30, diariamente, de domingo a domingo. Que emprego Lídia escolheu? PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI

PROBABILIDADE D: D: 0h10, 0h40, 1h10, 1h40, 2h10,..., 23h40 E: E: 0h00, 0h30, 1h00, 1h30, 2h00,..., 23h30 PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI  Entre 1h e 1h10 min: trem da DIREITA ESQUERDA  Entre 1h10min e 1h30in: trem da ESQUERDA  Entre 1h30min e 1h40min: trem da DIREITA ESQUERDA  Dos 1h40min e 2h: trem da ESQUERDA Durante meia hora, o intervalo de tempo para pegar o trem da DIREITA é de 10 minutos em 30 minutos e o da ESQUERDA de 20 minutos em 30 minutos.

PROBABILIDADE D: 0h10, 0h40, 1h10, 1h40, 2h10,..., 23h40 E: 0h00, 0h30, 1h00, 1h30, 2h00,..., 23h30 PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI A cada hora tem-se 20 min a favor do trem da DIREITA e 40 min para o da ESQUERDA. P (D) = 1030 P (E) = 2030 = 0,33 = 33% = 0,66 = 66% Há o dobro de chances dele ser bem sucedido se escolher a indústria da esquerda.

PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI PROBABILIDADE COMPLEMENTAR NÃO P c é a probabilidade de NÃO ocorrer um evento. P (A c ) = n (S) – n(A) n (S) n (S) = n (S) - n (A) n (S) = 1 – P(A) Casos favoráveis Todos os casos possíveis

PROBABILIDADE COMPLEMENTAR Ex.: No lançamento simultâneo de dois dados, qual é a probabilidade de não sair soma 4? PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI 66 = 36 resultados possíveis Probabilidade de sair soma 4 é: 3/36 = 1/12 = 0,08 = 8%. A probabilidade de não sair soma 4 é: 1 – 1/12 = 11/12 = 0,92 = 92%.

PROBABILIDADE COMPLEMENTAR Ex.: Em um grupo de 30 pessoas, qual a probabilidade de pelo menos duas delas fazerem aniversário na mesma data (dia e mês)? PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI

Dados dois eventos, A e B, os resultados do evento A não influenciam nos resultados do evento B. PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI Numa caixa há 4 bolas pretas e 6 vermelhas. Qual é a probabilidade de tirarmos uma bola preta e uma vermelha, com reposição? EVENTOS INDEPENDENTES

Dados dois eventos, A e B, os resultados do evento A não influenciam nos resultados do evento B. PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI 4 P 6 V possibilidades de 100 possíveis, portanto, P(A∩B) = 24/100 = 24% = 24/100 = 24% EVENTOS INDEPENDENTES

Quando dois eventos A e B são independentes, a informação da ocorrência (ou não) de B não altera a probabilidade de ocorrência de A, assim, temos: PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI

A probabilidade de Breno ser aprovado no vestibular é 1/3 e a de Rubens é 2/3. Qual é a probabilidade de ambos serem aprovados? B: Breno é aprovado e R: Rubens é aprovado Como a aprovação de um não influencia na aprovação do outro (considerando que eles não irão colar), então os eventos B e R são independente. Logo: P(B  R) = P(B) · P(R) = 1/3 · 2/3 = 2/9 = 0,22 = 22 % PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI EVENTOS INDEPENDENTES

s PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI A B Espaço amostral: S = {1, 2,..., 20}, n(S) = 20 Conj. dos divisores de 16: A = {1, 2, 4, 8, 16}, n(A) = 5 Conj. dos divisores de 18: B = {1, 2, 3, 6, 9, 18}, n(B) = 6 UNIÃO DE EVENTOS

s PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI A B Divisores de 16 e 18: ∩ A ∩ B = {1, 2}, n(A ∩ B) = 2 Divisores de 16 ou 18: U AUB={1, 2, 4, 8, 16, 3, 6, 9, 18} n(A U B) = 9 = – 2 n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) UNIÃO DE EVENTOS

PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI P (A) = n (A) n (S) P (B) = n (B) n (S) P (A ∩ B) = n (A ∩ B) n (A ∩ B) n (S) n (S) P (A U B) = n (A U B) n (A U B) n (S) n (S) P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) UNIÃO DE EVENTOS

PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) eventos disjuntos Se A e B forem eventos disjuntos, então: P(A  B) = P(A) + P(B) UNIÃO DE EVENTOS

Ex.: Ex.: Em uma comunidade de 1000 habitantes, 400 são sócios do clube A, 300 de um clube B e 200 de ambos. Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser sócia de A ou de B? PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI UNIÃO DE EVENTOS P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) P(A U B) = 400/ /1000 – 200/1000 P(A U B) = 4/10 + 3/10 – 2/10 P(A U B) = 5/10 = 1/2 = 0,5 = 50%

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL É usado quando um experimento aleatório é repetido n vezes e desejamos calcular a probabilidade de um evento ocorrer em k repetições. PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI Cansado, Sandro decide “chutar” as 8 últimas questões da prova de Matemática. Cada questão continha 5 alternativas, das quais, apenas uma estava correta. Qual a probabilidade de Sandro acertar 5 questões?

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI REPETIÇÃO → CHUTE Probabilidade de acerto = P(A) = 1/5 Probabilidade de erro = P(A c ) = 1 – 1/5 = 4/5 Probabilidade de ocorrer 5 acertos e 3 erros: A A A A A A c A c A c q1q1q1q1 q2q2q2q2 q3q3q3q3 q4q4q4q4 q5q5q5q5 q6q6q6q6 q7q7q7q7 q8q8q8q8 P = 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 4 · 4 ·

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI A A A A A A c A c A c P = 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 4 · 4 · = 1 5 · = Perceba que os eventos são independentes, ou seja, a probabilidade de acertar ou errar uma questão não depende do acerto ou erro das outras. Logo, vale a equação: P(A∩B) = P(A) · P(B)

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI A A A A A A c A c A c = 1 5 · = As respostas das questões podem ocorrer em várias outras ordens, embora a probabilidade continue a mesma (pois será a mesma quantidade de questões certas e erradas). Então, quantas ordens de respostas são possíveis?

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI A A A A A A c A c A c = 1 5 · = Não estamos querendo saber o total de combinações possíveis de respostas (ABCDEABC), mas sim, o total de combinações possíveis de 5 respostas certas (A) e 3 erradas (A c ). PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI Portanto, a probabilidade de Sandro acertar 5 questões é:

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI Se um experimento aleatório é repetido t vezes, em condições idênticas, com todas as repetições independentes entre si, a probabilidade do evento ocorrer s vezes (0 ≤ s ≤ t) é: Total de combinaç ões possíveis Prob. do evento ocorrer em qualquer das s repetições Prob. do evento NÃO ocorrer em qualquer das restantes t – s repetições

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL A probabilidade de um atirador acertar um alvo com um tiro é 60%. Fazendo 7 tentativas, qual é a probabilidade de acertar o alvo três vezes? PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI n = 7 -> total de repetições Evento E = {A, A, A, A c, A c, A c, A c ) -> acertar 3 e errar 4 P = 0,6 -> probabilidade de acertar com 1 tiro 1 – P = 0,4 -> probabilidade de errar com 1 tiro Probabilidade de acertar 3 vezes é:

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“Você é um participante de um programa de auditório, e o apresentador mostra a você três portas fechadas. Ele diz que atrás de uma das portas está um carro, e atrás das outras duas há apenas cabras. Se você escolher a porta certa, ganha o carro – caso contrário levará apenas uma cabra.

PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI Você escolhe uma das portas. O apresentador, então, sem abrir a porta que você escolheu, dirige-se para uma das outras duas portas que sobraram. Como ele sabe em qual das três portas está o carro, ele então abre uma das duas portas que você não tinha escolhido – exatamente uma porta que escondia uma cabra. Restaram então apenas duas portas fechadas: aquela que você tinha escolhido, e uma outra que não foi aberta pelo apresentador. Atrás de uma delas está o carro. Você escolhe uma das portas. O apresentador, então, sem abrir a porta que você escolheu, dirige-se para uma das outras duas portas que sobraram. Como ele sabe em qual das três portas está o carro, ele então abre uma das duas portas que você não tinha escolhido – exatamente uma porta que escondia uma cabra. Restaram então apenas duas portas fechadas: aquela que você tinha escolhido, e uma outra que não foi aberta pelo apresentador. Atrás de uma delas está o carro.

PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI O apresentador então pergunta se você quer manter a escolha original ou se quer, agora, trocar de porta, escolhendo a outra que ele não abriu e que pode conter o carro. O que você deve fazer: 1 – Manter a escolha original, ou 2 – Trocar de porta ? O apresentador então pergunta se você quer manter a escolha original ou se quer, agora, trocar de porta, escolhendo a outra que ele não abriu e que pode conter o carro. O que você deve fazer: 1 – Manter a escolha original, ou 2 – Trocar de porta ?

PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI Abandone sua escolha original e fique com a outra porta que sobrou. Se fizer isso, sua chance de ganhar o carro será de 67%. Se mantiver a escolha original, sua chance será de apenas 33%. Abandone sua escolha original e fique com a outra porta que sobrou. Se fizer isso, sua chance de ganhar o carro será de 67%. Se mantiver a escolha original, sua chance será de apenas 33%.

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Sejam A e B eventos de um mesmo espaço amostral S. A probabilidade de A dado B, é a probabilidade de ocorrer o evento A, quando o evento B ocorreu. Em outras palavras, é a probabilidade de algo acontecer dado uma condição de ocorrência, fazendo com que o espaço amostral se reduza. PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI PROBABILIDADE CONDICIONADA

PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI Um avião fretado por uma operadora turística de DF parte de Brasília até Natal/RN, com 140 passageiros. Durante o voo, cada turista respondeu a duas perguntas: 1 – Já voo antes? 2 – Já esteve em Natal? Os dados obtidos com as respostas encontram-se na tabela ao lado. 1ª vez Já voo antes ∑ Não conhecia Já conhecia ∑

PROBABILIDADE CONDICIONADA PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI Um passageiro é selecionado ao acaso e verifica-se que ele nunca tinha viajado de avião. Qual é a probabilidade de que ele já conhecesse Natal? 1ª vez Já voo antes ∑ Não conhecia Já conhecia ∑ P (Já conhecer | 1ª vez de avião) = total já conhecer e voam pela 1ª vez total já conhecer e voam pela 1ª vez total que voam pela 1ª vez total que voam pela 1ª vez

PROBABILIDADE CONDICIONADA PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI Um passageiro é selecionado ao acaso e verifica-se que ele nunca tinha viajado de avião. Qual é a probabilidade de que ele já conhecesse Natal? 1ª vez Já voo antes ∑ Não conhecia Já conhecia ∑ P (A|B) =

PROBABILIDADE CONDICIONADA PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI Probabilidade de A, dado B. A e B são eventos de um mesmo espaço amostral Ω. regra do produto de probabilidades: Da definição de probabilidade condicional, obtemos a regra do produto de probabilidades:

PROBABILIDADE CONDICIONADA PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI / = 0,82. temos P(S | M) = Observando a tabela, qual é a probabilidade do jovem escolhido ser alfabetizado sabendo-se que é do sexo masculino ? Sexo Alfabetizada Total SimNão Masc Fem Total

PROBABILIDADE CONDICIONADA Uma empresa fabrica motores a jato em duas fábricas A e B. Um motor é escolhido ao acaso de um lote de produção. Nota-se que o motor apresenta defeitos. De observações anteriores a empresa sabe que 2% e 3% são as taxas de motores fabricados com algum defeito em A e B, respectivamente. Sabendo-se que a fábrica A é responsável por 40% da produção, qual a probabilidade de que o motor escolhido tenha sido fabricado em A. PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI

PROBABILIDADE CONDICIONADA Sejam os eventos: A = “o motor foi produzido pela fábrica A” B = “o motor foi produzido pela fábrica B” D = “o motor é defeituoso” O enunciado forneceu: P(A) = 40% = 0,4 P(B) = 60% = 0,6 P(D|A) = 2% = 0,02 P(D|B) = 3% = 0,03 P(A|D) = ? PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI D = (D∩A) U (D ∩B) P(D) = P (D∩A) + P(D ∩B) P(D) = P(D|A) · P(A) + P(D|B) · P(B) P(D) = 0,02 · 0,4 + 0,03 · 0,6 = 0,026

PROBABILIDADE CONDICIONADA Sejam os eventos: A = “o motor foi produzido pela fábrica A” B = “o motor foi produzido pela fábrica B” D = “o motor é defeituoso” O enunciado forneceu: P(A) = 40% = 0,4 P(B) = 60% = 0,6 P(D|A) = 2% = 0,02 P(D|B) = 3% = 0,03 P(A|D) = ? PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI P (A∩D) = P (D∩A) = P(D|A) · P(A) P (A∩D) = 0,02 · 0,4 = 0,008

PROBABILIDADE CONDICIONADA Sejam os eventos: A = “o motor foi produzido pela fábrica A” B = “o motor foi produzido pela fábrica B” D = “o motor é defeituoso” O enunciado forneceu: P(A) = 40% = 0,4 P(B) = 60% = 0,6 P(D|A) = 2% = 0,02 P(D|B) = 3% = 0,03 P(A|D) = ? PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI P (A|D) = 0,308 = 30,8 %

Considera o lançamento de um dado. Calcule as probabilidades dos seguintes eventos: A: Sair um número par B: Sair um número maior que 3 C: Sair um número par e maior que 3 D: Sair um número par ou maior que 3 E: Sair um número par e ímpar F: Sair o número 2 G: Não sair o número 2 H: Ser maior que 3, de modo que seja par. RESUMÃO PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI

C: Sair um número par e maior que 3 RESUMÃO Considera o lançamento de um dado. Calcule as probabilidades dos seguintes eventos: A: Sair um número par PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI A: {2, 4, 6}; P(A) = 3/6 B: {4, 5, 6}; P(B) = 3/6 C = A∩B: {4, 6}; P(A∩B) = 2/6 B: Sair um número maior que 3 D: Sair um número par ou maior que 3 D = AUB: {2, 4, 5, 6} P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 3/6 + 3/6 – 2/6 = 4/6

RESUMÃO Considera o lançamento de um dado. Calcule as probabilidades dos seguintes eventos: E: Sair um número par e ímpar PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI P(E) = ф, conj. disjuntos P(F) = 1/6 F: Sair o número 2 G: Não sair o nº 2 P(G) = P(F c ) = 1 – P(F) = 1 – 1/6 = 1/5 H: Ser maior que 3, de modo que seja par T: {4, 5, 6} e P: {2, 4, 6} => (T∩P): {4, 6} P(H) = P(T|P) = n(T∩P)/n(P) = 2/3 sendo que Observe que a pergunta é a probabilidade de sair nº>3 sendo que ele seja par, ou seja, o evento de ser n° par já ocorreu! E É diferente de perguntar a probab. de sair n°>3 E par, pois aí teremos interseção de dois eventos e não uma condição. P(T|P) ≠ P(T∩P). sendo que Observe que a pergunta é a probabilidade de sair nº>3 sendo que ele seja par, ou seja, o evento de ser n° par já ocorreu! E É diferente de perguntar a probab. de sair n°>3 E par, pois aí teremos interseção de dois eventos e não uma condição. P(T|P) ≠ P(T∩P).

Referências CENA 21 DO FILME QUEBRANDO A BANCA Disponível em: IEZZI, Gelson... [et al.]. Matemática: ciência e aplicações, 2. ensino médio. 6ª ed. São Paulo: saraiva, STOCCO, Kátia; DINIZ, Maria. Matemática 3. São Paulo: Saraiva, PROBABILIDADE PROFª JULIANA SCHIVANI

PROBABILIDADE Profª Juliana Schivani docente.ifrn.edu.br/julianaschi vani