Se um quilograma de tomates custa R$ 1,30 quanto pagarei por? NOÇÕES DE ÁLGEBRA Se um quilograma de tomates custa R$ 1,30 quanto pagarei por? a) 2 kg b) 1,4kg c)2,3 kg 1,30 x2,3 390 260 2,990 1,30 x2 2,60 1,30 x1,4 520 130 1,820

a) 8 vezes b) 10 vezes c) 15 vezes Um provedor de internet cobra uma taxa mensal de R$ 20,00 e mais R$2,00 por conexão. Quanto é gasto quando se conecta durante um mês: a) 8 vezes b) 10 vezes c) 15 vezes 2,00 x8 16,00+20,00 36,00 2,00 x10 20,00+20,00 40,00 2,00 x15 30,00+20,00 50,00

PERCEBE-SE QUE PODEMOS ESTABELECER UMA TABELA COM ESSES GASTOS... QUILOGRAMAS PREÇO A PAGAR 1 R$ 1,30 1,5 R$ 1,95 1,6 R$ 2,08 1,75 R$ 2,28 2 R$ 2,60 2,5 R$ 3,25 2,8 R$ 3,64 3 R$ 3,90 ... X 1,30X Para encontrar o preço de uma certa quantidade de quilogramas de tomates, basta multiplicar essa quantidade por seu preço. Essa quantidade pode ser definida por uma incógnita (letra) que vai representar a quantidade de quilogramas comprados

ACESSOS PREÇO PAGO 1 R$ 22,00 2 R$ 24,00 3 R$ 26,00 4 R$ 28,00 5 R$ 30,00 6 R$ 32,00 7 R$ 34,00 8 R$ 36,00 ... X 2,00.x + 20,00 Para encontrar o valor pago ao provedor, basta multiplicar a quantidade de acessos por 2 reais e somar com 20 reais. Essa quantidade de acessos pode ser definida por uma incógnita (letra) USAMOS LETRAS NA MATEMÁTICA PARA REPRESENTAR QUANTIDADES DESCONHECIDAS OU EXPRESSAR RELAÇÕES. ISTO É A ÁLGEBRA É importante ressaltar o trabalho do jurista francês François Viète (1540-1603) Ele é considerado o PAI DA ÁLGEBRA MODERNA, por ter utilizado vogais para representar uma incógnita.

EQUAÇÕES OBSERVE AS BALANÇAS EQUILIBRADAS. DETERMINE, ATRAVÉS DA LÓGICA, O PESO EM KG DE CADA OBJETO: X = 6 Kg X = 10 Kg

ESTAS IGUALDADES DETERMINAM UMA EQUAÇÃO Para que a balança esteja equilibrada é necessário que “os pesos” nela colocados, sejam divididos igualmente nos dois pratos. Pode-se estabelecer que: 2 + 3 + 7 = x + 2 2x + 2 = 14 e ESTAS IGUALDADES DETERMINAM UMA EQUAÇÃO EQUAÇÃO É UMA SENTENÇA MATEMÁTICA QUE EXPRESSA UMA IGUALDADE ENTRE DUAS EXPRESSÕES ALGÉBRICAS. AS LETRAS DE UMA EQUAÇÃO REPRESENTAM UM VALOR DESCONHECIDO E SÃO CHAMADAS INCÓGNITAS

Voltamos às balanças... 2x + 2 = 14 Este prato determina o primeiro membro da equação Este prato determina o segundo membro da equação 2x + 2 = 14 A incógnita x assume como valor o número 6, pois é o único que a torna verdadeira para esse exemplo. Logo, dizemos que 6 é a solução da equação.

EXISTEM VÁRIOS TIPOS DE EQUAÇÕES, MAS PARA MELHOR ENTENDIMENTO, COMEÇAMOS COM EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU: O QUE CARACTERIZA O GRAU DE UMA EXPRESSÃO ALGÉBRICA É O MAIOR EXPOENTE DE SUA INCÓGNITA, POR ISSO, UTILIZAMOS TAMBÉM EM EQUAÇÕES. 2x + 2 = 14 x2 – 3x -4 =0 x4 – 2x2 -8 =0 x5 + 2x4 – 3x3 + x2 -10x + 1 = 5 Equação do primeiro grau Equação do segundo grau Equação do quarto grau Equação do quinto grau

BUSCANDO A SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO NOTE QUE NAS MESAS ABAIXO AS FRUTAS ESTÃO MISTURADAS UMAS AS OUTRAS. SEPARANDO EM CADA MESA OS ELEMENTOS IGUAIS, TEMOS: LARANJAS MORANGOS

FAZENDO O MESMO NESSES QUADROS DE FOTOGRAFIAS CÃES ........... FAZENDO O MESMO NESSES QUADROS DE FOTOGRAFIAS ............GATOS

Números e letras NAS LOUSAS... Somente números

PARA SOLUCIONAR EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU, SEPARAMOS TERMOS SEMELHANTES EM CADA MEMBRO DA EQUAÇÃO, COMO FOI FEITO COM AS LARANJAS E MORANGOS, CÃES E GATOS E NÚMEROS COM LETRAS E SEM LETRAS. VEJA SLIDE 14 (hiperlink)

COMPREENDENDO UMA EQUAÇÃO: COMPLETE COM O VALOR QUE FALTA: 5 11 – 6 = 5 5 15 + 5 = 20 6 12 = 2 x 6 9 27 : 3 = 9 ESTE PRINCÍPIO É UTILIZADO NA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES. ISOLAMOS NO PRIMEIRO MEMBRO, TERMOS SEMELHANTES QUE APRESENTAM LETRAS E NO SEGUNDO MEMBRO NÚMEROS SEM LETRAS, LEMBRANDO DE ¨TROCAR O SINAL DO TERMO QUE FOI TRANSFERIDO DE UM MEMBRO PARA O OUTRO. ESSES VALORES PODEM SER ENCONTRADOS UTILIZANDO OPERAÇÕES INVERSAS

SOLUCIONANDO A EQUAÇÃO EXISTEM OUTRAS FORMAS DE RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU, PORÉM, ESTUDAREMOS APENAS ESTA. SOLUCIONANDO A EQUAÇÃO VERIFICANDO A VERACIDADE DA RAIZ ENCONTRADA: O NÚMERO QUE REPRESENTA A SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO É CHAMADO RAÍZ 2x + 7x – 10 = 4x + 4 – 2x – 2x 2x + 7x – 10 - 4x + 2x = + 10 4x + 4 2.2 + 7.2 - 10 = 4.2 + 4 - 2.2 4 + 14 – 10 = 8 + 4 – 4 18 – 10 = 12 – 4 8 =8 7x = 14 x = 14 7 S ={ 2 } x = 2 Retornar ao slide 13

AGORA RESOLVENDO: QUERO COMPRAR UM CELULAR QUE CUSTA R$ 290,00. SE TENHO R$140,00, QUANTO ME FALTA? 140 + x = 290 ESTAS TRÊS SITUAÇÕES DO DIA A DIA, EMBORA DE FÁCIL RESOLUÇÃO MENTAL, PODEM SER CALCULADAS ATRAVÉS DE UMA EQUAÇÃO. x = 290 - 140 Obs: Geralmente a letra usada é x, mas pode ser utilizada qualquer outra. x = 150 COMPREI DOIS DOCES E GASTEI R$6,00. QUAL É O PREÇO DE UM SÓ DOCE? 2x = 6 x = 6 2 x = 3 NUM MERCADO COMPREI 3 SABONETES PAGANDO COM UMA NOTA DE R$10,00 E OBTIVE DE TROCO R$ 6,70. QUAL O PREÇO DE UM SABONETE? 3x + 6,70 = 10 x = 3,30 3 3x = 10 - 6,70 3x = 3,30 x = 1,10

NOTOU QUE A SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO PODE SER UM NÚMERO DECIMAL? NA VERDADE A SOLUÇÃO É DETERMINADA ATRAVÉS DE UM CONJUNTO CHAMADO UNIVERSO... ... QUE É O CONJUNTO QUE CONTÉM A SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO.ELE DEVE SER UM CONJUNTO NUMÉRICO E É REPRESENTADO PELA LETRA U.

8 – 3x = - 8x + 3 5x - 3 = 4x + 10 8x – 3x = - 8 + 3 5x – 4x = 10 + 3 ASSIM SENDO, RESOLVA AS EQUAÇÕES EM U = N. 8 – 3x = - 8x + 3 5x - 3 = 4x + 10 8x – 3x = - 8 + 3 5x – 4x = 10 + 3 x = 13 5x = - 5 S = {13} x = -5 5 x = - 1 6x + 8 = 3x + 11 - 1 Є N 6x - 3x = + 11 - 8 S = { } 3m + 6 = m + 9 3x = + 3 x = + 3 3 3m + 6 = m + 9 3m - m = + 9 - 6 2m = + 3 x = 1 m = + 3 2 3 Є N 2 S = {1} S = { }

ESTE NÚMERO É A SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO E É CHAMADA RAIZ DESTA EQUAÇÃO. EU APRENDI QUE: 1º MEMBRO (ANTES DO SINAL DE IGUALDADE) 2º MEMBRO (DEPOIS DO SINAL DE IGUALDADE) NUMA EQUAÇÃO PROCURA-SE O VALOR DESCONHECIDO IDENTIFICADO POR UMA LETRA CHAMADA INCÓGNITA 3X - 1 = 2X + 4 1º MEMBRO 2º MEMBRO ESTE NÚMERO É A SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO E É CHAMADA RAIZ DESTA EQUAÇÃO. ESTA SOLUÇÃO DEVE FAZER PARTE DE UM CONJUNTO NÚMERICO PRÉ-IDENTIFICADO.

OS TERMOS DAS EQUAÇÕES PODEM APRESENTAR COEFICIENTES NUMÉRICOS FORMADOS POR: NÚMEROS NATURAIS NÚMEROS INTEIROS NÚMEROS RACIONAIS NÚMEROS IRRACIONAIS AS PROPRIEDADES APLICADAS NESTES NÚMEROS DEVEM SER USADAS NA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES

Na linguagem matemática RESOLVENDO PROBLEMAS Na linguagem formal Na linguagem matemática x Um valor desconhecido 2x O dobro desse número x 2 A metade de um número desconhecido x 3 A terça parte de um número 3x Seu triplo 3x 4 Três quartos de um nùmero desconhecido Um número acrescido de seis x+6 x - x 2 A diferença entre um número e sua metade x, x + 1 Dois números consecutivos

Vejamos alguns problemas: O triplo de um número é igual a sua metade mais 20. Qual é esse número? O triplo de um número, mais 5, é igual a 254. Qual é esse número? A diferença entre um número e sua quinta parte é igual a 36. Qual é esse número? Um número mais a sua metade é igual a 150. Qual é esse número? Solução: 3p + 5 = 254 3p = 254 - 5 3p = 249 p= 249 3 p = 83

EQUAÇÕES DO 2º GRAU Com alegres gritos, doze Alegravam-se os macacos UM POUCO DE HISTÓRIA... NA ÍNDIA ANTIGA HAVIA UM PASSATEMPO MUITO POPULAR: A SOLUÇÃO DE QUEBRA-CABEÇAS EM COMPETIÇÕES PÚBLICAS. UM COMPETIDOR PROPUNHA PROBLEMAS PARA QUE OUTROS RESOLVESSEM. ESTE PROBLEMA FOI RETIRADO DE UM MANUAL DE MATEMÁTICA DESSA ÉPOCA. Com alegres gritos, doze gritando no bosque estão. Sabes quantos macacos há na manada ao total? Alegravam-se os macacos Divididos em dois bandos: Sua oitava parte ao quadrado No bosque brincava.

Hoje podemos traduzir este quebra-cabeça para a linguagem algébrica Hoje podemos traduzir este quebra-cabeça para a linguagem algébrica. Veja: Alegravam-se os macacos ...... Divididos em dois bandos Sua oitava parte ao quadrado.... No bosque brincava. Com alegres gritos, doze............ gritando no bosque estão. Sabes quantos macacos há na manada ao total?........................ X = ?

Desenvolvendo, teremos uma equação que apresenta o termo x2 Esta é uma equação do 2º grau. Para solucionar problemas como esse eram atribuídos valores para x até que se encontrasse a soluçao... Como haviam 12 macacos em um bando começamos atribuindo um valor maior que ele e que seja divisivel por 8 Levou muito tempo para que os matemáticos da época descobrissem uma fórmula resolutiva das equações do 2º grau. Pronto! Eis a solução. Eram 16 os macacos X = 16 64. 16 = 162 + 768 1024 = 256 + 768

Sendo ele quem começou a utilizar o expoente 2 para indicar a área. Somente com a invenção do zero no século VI e com a criação dos algarismos como conhecemos hoje é que a forma de calcular sofreu uma radical transformação. Assim, a solução de muitos problemas passou a ser mais prática e menos trabalhosa. Viète não criou sozinho a álgebra. Muitos matemáticos deixaram seu legado para esse estudo. René Descartes foi outro que contribui em muito para a completa compreensão da álgebra Um outro grande passo, foi a criação do sinal de igualdade, por Thomas Harriot (1560-1621) Sendo ele quem começou a utilizar o expoente 2 para indicar a área.

A partir da contribuição de Viète, matemáticos de várias regiões do Velho Mundo, quase que simultaneamente acabaram descobrindo uma fórmula única para a resolução de qualquer equação do 2º grau, cuja invenção ou criação é atribuída à Bhaskara Akaria, nascido em 1114, por ter sido seus os registros mais antigos encontrados desse tipo de equação.

Veja a dedução da fórmula. – acompanhe pelo exemplo- ax2+ bx + c =0 a ≠ 0 2x2- 5x + 3 =0 Dividindo todos os termos por a Veja a dedução da fórmula. – acompanhe pelo exemplo- ax2+ bx + c =0 a a a Dividindo todos os termos por 2 2x2- 5x + 3 =0 2 2 2 Isolando o 3º termo x2+ bx + c =0 a a x2- 5x + 3 =0 2 2 x2+ bx = - c a a x2- 5x = - 3 2 2 x2+ bx + = - c + a a x2- 5x + = - 3 + 2 2 Adicionando aos dois membros, o termo Na forma fatorada e ... ..através da adição de frações... Calculando a raiz quadrada

Isolando x... A expressão b2 – 4ac é chamada discriminante, sendo representada pela letra grega Δ (delta) Com as fórmula abaixo resolvemos as equações do 2º grau, caso tenham soluções. Δ= b2 – 4ac

É IMPORTANTE SABER DISTINGUIR: O coeficiente a O coeficiente b O coeficiente c Os dois últimos exemplos são equações incompletas do 2º grau e podem ser solucionadas através de artifícios, porém, resolveremos pela fórmula. ax2 + bx + c = 0 x2 + 2x -3 = 0 a=1 b= 2 c= -3 4m2 - 8m + 4 =0 a=4 b= -8 c= 4 y2 - 9 =0 a=1 b= 0 c= -9 3a2 + 6a =0 a=3 b= 6 c= 0 Observe que a incógnita não se restringe à x, ela pode ser qualquer letra do nosso alfabeto.

UMA FORMA DE ENTENDER EQUAÇÕES DO 2º GRAU É O CÁLCULO DE ÁREAS. Veja: ÁREA DE UMA FIGURA PLANA QUANTOS QUADRADOS COMO O INDICADO NA FIGURA CABEM NO RETÂNGULO? ÁREA É A QUANTIDADE QUE UMA UNIDADE MENOR “CABE” EM OUTRA MAIOR 1cm ÁREA DO RETÂNGULO= 18 cm2 ÁREA DO QUADRADO= 1cm2 ÁREA DO QUADRADO= LADO X LADO ÁREA DO RETÂNGULO= base x altura = b.h

Logo, seus lados podem medir: 1 e 48; 2 e 24; 3 e 16; 4 e 12; 6 e 8. RESPONDA: Há um retângulo cuja área é 48 cm². Quais as possíveis dimensões desse retângulo, considerando inteiros esses valores? Solução: Os divisores de 48 são: 1,2,3,4,6,8,12,16,48 Logo, seus lados podem medir: 1 e 48; 2 e 24; 3 e 16; 4 e 12; 6 e 8.

Agora, responda: Quais as medidas dos lados de um retângulo sabendo que sua área e 48 cm² e o comprimento excede em duas unidades a medida da largura? Solução: largura Comprimento 1 48 2 24 3 16 4 12 6 8 Pelas alternativas assinaladas na atividade anterior podemos estabelecer:

Logo, concluímos que a resposta é 6 e 8, porém, podemos solucionar esse problema da seguinte maneira: x . (x + 2) = 48 Daí: x x² + 2x = 48 x² + 2x – 48 = 0 a=1 b= 2 c= -48 x + 2 Não convém Resposta: 6 e 8

Resolvendo as equações 4m2 - 8m + 4 =0 x2 + 2x -3 = 0 a=4 b= -8 c= 4 a=1 b= 2 c= -3 S = { 1 } S = {-3, 1}

Veja um exemplo prático: Ao redor de uma piscina retangular com 10m de comprimento por 5m de largura, será construído um revestimento de madeira com x metros de largura, representado na figura a seguir. Existe madeira para revestir 87,75m2. Qual deverá ser a medida x para que para que toda a madeira seja aproveitada? x

Vista superior da piscina Área ocupada pela piscina A= b.h= 10.5= 50 m² 5 + 2x Área da região ocupada pela piscina e pela madeira A= b.h= (10 + 2x).(5 + 2x)= 10 + 2x Dimensões a serem ocupadas pela madeira: 50 + 20x + 10x + 4x² ... da área total tiramos a área da piscina... ... o que sobra é a área representada pela madeira Se existem 87,75 m² de madeira...

50 A medida x é de 2,25 m 50 + 20x + 10x + 4x² - 50 = 87,75 a=4 b= 30 c= - 87,75 Não convém A medida x é de 2,25 m

Um terreno retangular de área 875 m2 tem o comprimento excedendo em 10 metros a largura. Quais são as dimensões do terreno? x . (x + 10) = 875 x 875 m2 x2 + 10x – 875 = 0 a=1 b= 10 c= - 875 x + 10 Não convém Resposta: o terreno mede 25 m de largura e 35 m de comprimento

GEOMETRICAMENTE, TEMOS: Na figura, quanto vale x, sabendo que a área total é 30 m2: 6 x Daí: x² + 6x + 2,5x + 15 = 30 2,5x 15 x² + 8,5x + 15 – 30 = 0 2,5 x² + 8,5x – 15 = 0 x a=1 b= 8,5 c= - 15 6x x2 Calculando a área de cada região Não convém A medida x é de 1,5

Maneiras de resolver equações incompletas; Existem propriedades e características próprias de cada equação, Seu professor irá lhe mostrar. Maneiras de resolver equações incompletas; Equações do 2º grau em que não haverá solução; Como calcular as raízes através da soma e produto entre as raízes; Propriedades com relação ao delta.

JOGOS

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EIXO: NÚMEROS, OPERAÇÕES E FUNÇÕES Ficha técnica: CONTEÚDO : EQUAÇÕES EIXO: NÚMEROS, OPERAÇÕES E FUNÇÕES HABILIDADES E COMPETÊNCIAS: IDENTIFICAR UMA EQUAÇÃO SABER RESOLVER CORRETAMENTE AS EQUAÇÕES PERCEBER A PRESENÇA DE EXPRESSÕES NUMÉRICAS NO SEU COTIDIANO ELABORADO POR CLECIO GERALDO ZANETTI Clecio_zanetti@yahoo.com