FENÔMENOS DE TRANSPORTES – Equação de Bernoulli PROFESSOR: Me. Denes Morais denesmorais@gmail.com

Aula passada Equação da Continuidade → conservação de massa. 𝜌 1 𝑣 1 𝐴 1 = 𝜌 2 𝑣 2 𝐴 2 A massa de fluido que flui por uma seção de um tubo deve ser idêntica àquela que o abandona por outra seção qualquer.

Equação da energia para regimes permanentes. Qualquer tipo de energia não pode ser criada nem destruída, apenas transformada. Objetivo: Construir uma equação que permitirá fazer o balanço das energias, da mesma forma como foi feita para as massas através da eq. da continuidade. Resolução de vários problemas práticos: determinação da potência de máquinas hidráulicas, determinação de perdas em escoamento, transformações de energias, etc.

Tipos de Energia 𝐸 𝑝 =𝑚𝑔𝑧 Energia potencial (Ep): estado de energia do sistema devido a sua posição no campo gravitacional terrestre. 𝐸 𝑝 =𝑚𝑔𝑧 Nos interessará somente a diferença de energia Potencial de um ponto pra outro do fluido, de forma que a escolha do nível de referência seja arbitraria.

Energia cinética (Ec): é a energia associada ao movimento do fluido. 𝐸 𝑐 = 𝑚 𝑣 2 2 m → massa v → velocidade

Energia de pressão (Epr): corresponde ao trabalho das forças de pressão que atuam no escoamento do fluido. 𝑬 𝒑𝒓 = 𝒑 𝒅𝑽

𝐸= 𝐸 𝑝 + 𝐸 𝑐 + 𝐸 𝑝𝑟 𝐸=𝑚𝑔𝑧+ 𝑚 𝑣 2 2 + 𝑝 𝑑𝑉 Energia mecânica total do fluido (E): excluindo-se as energias térmicas e levando em conta apenas efeitos mecânicos, a energia total de um sistema de fluido será: 𝐸= 𝐸 𝑝 + 𝐸 𝑐 + 𝐸 𝑝𝑟 𝐸=𝑚𝑔𝑧+ 𝑚 𝑣 2 2 + 𝑝 𝑑𝑉

Equação de Bernoulli

Hipóteses simplificadoras Equação de Bernoulli Hipóteses simplificadoras regime permanente; sem máquinas no trecho de estudo → não há fornecimento nem retirada de energia do fluido → não há ‘bombas’ nem ‘turbinas’. sem perdas por atrito; propriedades uniformes nas seções; fluido incompressível; Sem trocas de calor.

Pegando um elemento infinitesimal de energia dE, e aplicando na situação abaixo: 𝑑 𝐸 1 =𝑑 𝑚 1 𝑔 𝑧 1 + 𝑑 𝑚 1 𝑣 1 2 2 + 𝑝 1 𝑑 𝑉 1 𝑑 𝐸 2 =𝑑 𝑚 2 𝑔 𝑧 2 + 𝑑 𝑚 2 𝑣 2 2 2 + 𝑝 2 𝑑 𝑉 2

𝑧 1 + 𝑣 1 2 2𝑔 + 𝑝 1 𝛾 = 𝑧 2 + 𝑣 2 2 2𝑔 + 𝑝 2 𝛾 = cte 𝑑 𝐸 1 = 𝑑𝐸 2 Para que o regime seja permanente no trecho (1)-(2) não pode haver variação de energia, ou seja 𝑑 𝐸 1 = 𝑑𝐸 2 onde depois de alguns cálculos, chegamos na seguinte equação 𝑧 1 + 𝑣 1 2 2𝑔 + 𝑝 1 𝛾 = 𝑧 2 + 𝑣 2 2 2𝑔 + 𝑝 2 𝛾 = cte que é chamada de Equação de Bernoulli. A equação de Bernoulli também pode ser escrita em termos das pressões, como a seguir:

A equação de Bernoulli também pode ser escrita da seguinte forma:

Significado dos termos da equação de Bernoulli 𝑧= 𝑚𝑔𝑧 𝑚𝑔 = 𝐸 𝑝 𝐺 energia potencial por unidade de peso. 𝑣 2 2𝑔 = 𝑚 𝑣 2 2𝑔𝑚 = 𝐸 𝑐 𝐺 energia cinética por unidade de peso. 𝑝 𝛾 = 𝑝𝑉 𝛾𝑉 = 𝐸 𝑝𝑟 𝐺 energia de pressão por unidade de peso. Carga potencial Carga cinética Carga de pressão

Exemplo Uma caixa d’água com diâmetro de 3,0 m e a uma altura h = 32 m, abastece de água uma casa. Uma tubulação horizontal que sai da base da torre possui um diâmetro d = 2,54 cm. Para satisfazer às necessidades da casa, a tubulação de suprimento deve ser capaz de distribuir água a uma taxa de 0,0025 m3/s. (a) Se água escoar com a vazão máxima, qual será a pressão na tubulação horizontal? (b) Uma tubulação menor, com diâmetro d’=1,27 cm, abastece o terceiro andar da casa, a uma altura de 7,2 m acima do nível do solo. Quais os valores da velocidade do escoamento e da pressão da água nesta tubulação? Despreze a viscosidade da água

Tubo de Venturi O tubo de Venturi é um aparato criado por Giovanni Battista Venturi para medir a velocidade do escoamento e a vazão de um líquido incompressível através da variação da pressão durante a passagem deste líquido por um tubo de seção mais larga e depois por outro de seção mais estreita

Essa expressão dá a velocidade v1 de escoamento na região 1. OBS Essa expressão dá a velocidade v1 de escoamento na região 1. OBS.: utilizada quando o fluido das colunas é o mesmo que escoa nos tubos. 𝑣 1 = 2𝑔ℎ 𝐴 1 𝐴 2 2 −1

Exemplo 1 Água escoa em regime permanente no Venturi da figura. No trecho considerado supõem-se as perdas por atrito desprezíveis e as propriedades uniformes nas seções. A área (1) é de 20 cm2, enquanto o da garganta (2) é de 10 cm2. Um manômetro cujo fluido manométrico é o mercúrio é ligado entre as seções (1) e (2) e indica o desnível mostrado na figura. Pede-se a vazão da água que escoa pelo Venturi. Dados: γHg = 136.000 N/m3 e γH2O = 10.000 N/m3.

Calcular o número de Reynolds e identificar se o escoamento é laminar ou turbulento sabendo-se que em uma tubulação com diâmetro de 4cm escoa água com uma velocidade de 0,2m/s. Sabendo que:

Equação da energia e presença de uma máquina A máquina em uma instalação hidráulica é definida como qualquer dispositivo que quando introduzido no escoamento forneça ou retire energia do escoamento, na forma de trabalho. Para o estudo desse curso a máquina ou será uma bomba ou será uma turbina.

Potência da máquina e noção de rendimento

Rendimento

Unidades de potência SI MK*S Outras unidades:

Equação da energia para fluido real

Na instalação da figura, verificar se a máquina é uma bomba ou uma turbina e determinar sua potência, sabendo que seu rendimento é 75%. Sabe-se que a pressão indicada por um manômetro instalado na seção (2) é de 0,16 Mpa, a vazão é 10 L/s, a área da seção dos tubos é 10 cm2 e a perda entre as seções (1) e (4) é 2m.