Capitulo 10: Teoria das Filas - Fórmulas NomeDescriçãoFórmula P (n)Probabilidade de haver n clientes no sistemaP(n)= (λ / μ) n * ((μ - λ) / μ) NFNúmero médio de clientes na filaNF= λ² / (μ*(μ - λ)) NSNúmero médio de clientes no sistemaNS= λ / (μ - λ) TFTempo médio de espera na fila por clienteTF= λ / (μ*(μ - λ)) TSTempo médio gasto no sistema por clienteTS= 1 / (μ - λ) Sistema de uma fila com população INFINITA e UM canal Sistema de uma fila com população FINITA e UM canal Nota: Quantidade máxima da população = “K” NomeDescriçãoFórmula P (n)Probabilidade de haver n clientes no sistema P(n)= (μ / λ) K-n / [ (K – n) ! * ∑ K j=0 ( (μ / λ) j / j !) ] NFNúmero médio de clientes na filaNF= K – ((λ + μ) / λ) * (1 – P 0 ) NSNúmero médio de clientes no sistema NS= K – ((λ + μ) / λ) * (1 – P 0 ) + λ / μ TFTempo médio gasto na filaTF= (K / λ) – ((λ + μ) * (1 - P 0 )) / λ² TSTempo médio gasto no sistemaTS= (K / λ) – ((λ + μ) * (1 - P 0 )) / λ² + (1 / μ)

Capitulo 10: Teoria das Filas - Fórmulas Sistema de uma fila com população INFINITA e VÁRIOS canais Nota: Número de canais de serviços no sistema = “S” NomeDescriçãoFórmula ρTaxa de utilizaçãoρ = λ / μ P0P0 Probabilidade de haver 0 cliente no sistema P 0 =1/( ∑ S-1 j=0 ρ j / j! + (ρ S / ((S-1)!*(S-ρ)))) PnPn Probabilidade de haver n clientes no sistema (Para n<S) P n = ρ n * P 0 /n! PnPn Probabilidade de haver n clientes no sistema (Para n ≥ S) P n = ρ n * 1/(S!*S n-S )* P 0 P ocup.total Probabilidade de que todos os canais estejam ocupados(n ≥ S) P ocup.total = P 0 * ρ S / ((S-1)!*(S-ρ)) NFNúmero médio de clientes na filaNF= P ocup.total * ρ / (S-ρ) NSNúmero médio de clientes no sistema NS= NF + ρ TFTempo médio de espera na filaTF= NF * 1/ λ TSTempo médio gasto no sistemaTS= NS * 1/ λ

Exercício 1 Em uma grande empresa, de produção em massa, foi constatado que o maior índice de paradas em suas linhas se devia ao grande numero de manutenções executadas em suas equipamentos eletrônicos. Cada equipamento parado, correspondia a uma linha parada. O departamento de Engenharia fez então um levantamento do numero de paradas e verificou que, em média, 9 equipamentos eram levados para a manutenção a cada hora. O mesmo departamento constatou que o custo de 1 hora parada das suas linhas era de $ 45. Foram então definidas três opções para a solução desse problema: Opção 1: Aprimorar o atual departamento de manutenção de modo a obter um ritmo de atendimento de 12 equipamentos por hora, a um custo de $ 55/hora; Opção 2: Contratação de uma empresa terceirizada especializada em manutenção que se compromete a executar as manutenções a um ritmo 18 equipamentos por hora, a um custo de $ 100/hora; Opção 3: Contratação de uma empresa terceirizada de prestação de serviços, cujo custo é ligeiramente inferior ao da primeira, sendo $ 90/hora, e que se compromete a executar as manutenções a um ritmo 15 equipamentos por hora. Pede-se a) Qual a melhor opção, para que o custo total seja o mínimo? b) Para a opção escolhida, qual será o tempo médio de máquina parada? c) Para a opção escolhida, qual a probabilidade de haver 3 máquinas paradas? Capitulo 10: Teoria das Filas

Exercício 1 - Resposta a) Qual a melhor opção, para que o custo total seja o mínimo? Opção 1: λ = 9 μ = 12 NS= λ / (μ – λ) = 9 / (12-9)= 3 equipamentos Custo por hora = numero de equipamentos parados*custo da linha parada + custo da manutenção Custo por hora= 3* = $190,00 Opção 2: λ = 9 μ = 18 NS= λ / (μ – λ) = 9 / (18-9)= 1 equipamento Custo por hora= 1* = $145,00 Opção 3: λ = 9 μ = 15 NS= λ / (μ – λ) = 9 / (15-9)= 1,5 equipamento Custo por hora= 1,5* = $157,50 Melhor opção: Opção 2 Capitulo 10: Teoria das Filas

Exercício 1 - Resposta b) Para a opção escolhida, qual será o tempo médio de máquina parada? TS= 1 / (μ - λ) = 1/(18-9) TS= 0,111 h c) Para a opção escolhida, qual a probabilidade de haver 4 máquinas paradas? P(n)= (λ / μ) n * ((μ - λ) / μ) P(3)= (9 / 18) 3 * ((18 - 9) / 18) P(3)= 0,125 * 0,5 P(3)= 0,0625 ou 6,25% Capitulo 10: Teoria das Filas

Exercício 2 Em um banco, cuja média de chegada de clientes é de 36 por hora, existem 3 caixas que trabalham no atendimento dos mesmos. Cada caixa tem capacidade de atender somente 15 clientes por hora. Pede-se: a) O número médio de clientes na fila b) O tempo médio que o cliente fica na fila c) O número médio de clientes no sistema d) O tempo médio que o cliente fica no sistema e) Qual a probabilidade de haver 5 clientes no sistema f) Qual a probabilidade de haver 2 clientes no sistema Capitulo 10: Teoria das Filas

Exercício 2 - Resposta λ = 36 clientes por hora μ = 15 clientes por hora ρ = λ / μ = 36/15 = 2,4 S= 3 a) Numero médio de clientes na fila NF= P ocup.total * ρ / (S-ρ) Onde: P ocup.total = P 0 * ρ S / ((S-1)!*(S-ρ)) Onde: P 0 =1/( ∑ S-1 j=0 ρ j / j! + (ρ S / ((S-1)!*(S-ρ)))) ParaP 0 =1/( ∑ S-1 j=0 ρ j / j! + (ρ S / ((S-1)!*(S-ρ)))) Temos ∑ 3-1 j=0 ρ j / j! = (2,4 0 / 0!) + (2,4 1 / 1!) + (2,4 2 / 2!) = 1+2,4+2,88 = 6,28 ρ S / ((S-1)!*(S-ρ))= 2,4 3 / ((3-1)!*(3-2,4)) = 13,824/(2*0,6) = 11,52 LogoP 0 = 1/(6,28+11,52) = 1/17,8 P 0 = 0,056 Capitulo 10: Teoria das Filas

ParaP ocup.total = P 0 * ρ S / ((S-1)!*(S-ρ)) TemosP ocup.total = 0,056*2,4 3 / ((3-1)!*(3-2,4)) = 0,7741 / 1,2 P ocup.total = 0,645 ParaNF= P ocup.total * ρ / (S-ρ) TemosNF= 0,645 * 2,4 / (3-2,4) Logo:NF= 2,58 clientes b) Tempo médio do cliente na fila ParaTF= NF * 1/ λ TemosTF= 2,58* 1/36 Logo: TF= 0,0717 h c) O número médio de clientes no sistema ParaNS= NF + ρ TemosNS= 2,58 + 2,4 LogoNS= 4,98 clientes Capitulo 10: Teoria das Filas

d) O tempo médio que o cliente fica no sistema ParaTS= NS * 1/ λ TemosTS=4,98* 1/ 36 LogoTS=0,138 h e) Qual a probabilidade de haver 5 clientes no sistema ParaP n = ρ n * 1/(S!*S n-S )* P 0 TemosP 5 = ρ 5 * 1/(S!*S 5-3 )* P 0 P 5 = 2,4 5 * 1/(3!*3 2 )* 0,056 P 5 = 79,63 * 1/(6*9)* 0,056 LogoP 5 = 0,0826 ou 8,26% f) Qual a probabilidade de haver 2 clientes no sistema ParaP n = ρ n * P 0 /n! TemosP 2 = ρ 2 * P 0 /2! P 2 = 2,4 2 * 0,056/2! LogoP 2 = 0,1613 ou 16,13% Capitulo 10: Teoria das Filas