PROGRESSÕES JUDITE GOMES

SUCESSÃO SEQUÊNCIA NUMÉRICA Consideremos a sequência (janeiro, fevereiro, março,...,dezembro) que representa a sucessão dos meses do ano. Observamos que existe uma relação (função) entre os elementos do conjunto {1, 2, 3, ...} e os elementos de outro conjunto. Então: SUCESSÃO ou SEQUÊNCIA é toda função cujo o domínio é o conjunto de números naturais. SEQUÊNCIA NUMÉRICA Se uma função f cujo domínio está contido em N* e cujo contra domínio é R, temos uma SEQUÊNCIA NUMÉRICA. Se uma sequência tiver o último termo an dizemos que ela é finita. Se não possui o último termo, dizemos que é infinita. Exemplo: sequência finita: (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64) sequência infinita: (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,...)

DETERMINAÇÃO DOS ELEMENTOS DE UMA SEQUÊNCIA Uma sequência pode ser definida por uma lei de formação que permite determinar seus elementos. Por exemplo: Assim a sequência é: (2, 5, 8, 11, ...). Nesse exemplo, a sequência é definida pelo termo geral que determina o valor de cada termo an em função de sua posição n na sequência.

Assim, a sequência é: (3, 7, 11, 15, 19, ...) Nesse exemplo, note que dado o primeiro termo, os demais termos são obtidos a partir do antecedente. A essa maneira de definir uma sequência, chamamos de recorrência.

PROGRESSÃO ARITMÉTICA Observe a sequência (2, 5, 8, 11, 14, 17, ...). Se, a partir do segundo termo, subtraímos de cada termo o antecedente, Encontramos sempre o mesmo resultado, nesse caso, 3. Esse resultado é chamado de razão. Assim, cada termo, depois do primeiro, pode ser obtido adicionando a razão ao termo anterior. Essa sequência é um exemplo de progressão aritmética, também chamada de PA.

PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA) é uma sequência numérica em que a diferença entre um termo, a partir do 2º, e o termo antecedente é constante. Essa constante é chamada razão da PA e é representada pela letra r. Quando r > 0, dizemos que a PA é crescente. Quando r < 0, dizemos que a PA é decrescente. Quando r = o, dizemos que a PA é constante. Veja a seguir alguns exemplos de PA. (5, 9, 13, 17, 21, 25, ...) PA de razão 4. Como r > 0, então a PA é crescente. b) (27, 23, 19, 15, 11, 7, ...) PA de razão - 4. Como r < 0, então a PA é decrescente. c) (- 2, - 2, - 2, - 2, - 2, ...) PA de razão 0. Como r = 0, então a PA é constante.

Em uma PA também podemos escrever um termo em função de outros termos Em uma PA também podemos escrever um termo em função de outros termos. Por exemplo: Para representar uma PA de razão r e termos desconhecidos, podemos proceder de varias maneiras.

Exemplos: A soma dos três primeiros termos de uma PA é 57. Determine o 2º termo dessa PA. 2) Na PA (x + 5, 3x – 4, - 3), determine o valor de x e escreva seus termos.

3) Qual o valor de x na sequência (3x, x2 + 3, 7x – 2) para que ela represente uma PA? 4) O sétimo termo e a razão de uma PA são, respectivamente, 23 e 6. Determine a18 e a2.

5) Em uma PA, a6 = 8 e a10 = 20. Determine a razão e o primeiro termo dessa sequência. 6) A soma dos 3 primeiros termos de uma PA é 27 e o quadrado do terceiro termo é 121. Escreva essa PA.

7) Os termos de uma PA finita são (7, 11, 15, ..., 123). Determine o termo geral dessa PA. Qual é o 18o termo dessa PA? Quantos termos tem essa sequência? 8) Determine o primeiro termo e a razão da PA em que a7 = - 7/2 e a10 = - 5.

9) Dada a PA (33, 30, 27, 24, 21, …), determine seu termo geral e calcule:

10) Determine quantos são os múltiplos de 6 entre 21 e 145. 11) Durante certo período, a produção de uma confecção correspondeu a uma PA crescente. No 1.o dia, essa confecção produziu 4 blusas, no 2.o , 7 blusas, no 3.o , 10 blusas, e assim por diante até o 10.o dia. Quantas blusas essa confecção produziu no 10.o dia?

12) Em uma indústria, uma máquina foi comprada por R$ 12.300,00. A cada ano ela sofre uma depreciação de R$ 230,00. Qual será o valor dessa máquina ao final de 6 anos? 13) Interpole 15 meios aritméticos entre 4 e 116.

14) Os lados de um triângulo retângulo estão em PA. Qual o valor do maior cateto sabendo que o perímetro mede 57 cm? RESPOSTAS 19 2) x = 2 3) x = 1 ou x = 4 4) 89 e - 7 5) 3 e - 7 6) (7, 9, 11, …) ou (29, 9, - 11, …) a) an = 3 + 4n b) 75 c) 30 - 1 / 2 e - 1 / 2 9) an = 36 – 3n 10) 21 31 12) R$ 10.920,00 13) (4, 11, 18, 25,…, 102, 109, 116) 14) 19cm

SOMA DOS TERMOS DE UMA PA. Para determinar o valor da soma dos termos de uma PA, usamos a fórmula:

Exemplo: 1) Calcule a soma de todos os termos da PA (21, 17, 13, …, - 79). Calcule a soma dos 10 primeiros termos de uma PA de razão 2, cujo primeirio termo é 3.

3) Determine a soma dos 70 primeiros números pares positivos. 4) A soma dos sete primeiros termos de uma PA é 133/8. Sabendo que a7 é 43/8, determine a razão dessa PA.

5) Determine n de modo que a soma dos termos de cada uma das sequências (7, 10, 13, …) e (- 30, - 26, - 22, …) seja a mesma. 6) Qual o valor de n para que a soma dos termos da PA (- 5, …, 14) seja igual a 90?

Um nutricionista prescreveu uma dieta em que as quantidades diárias de calorias ingeridas pelo paciente formam uma PA decrescente. Nessa dieta, prescrita por um período de 15 dias, deveriam ser ingeridas 3800 calorias no 1.o dia, 3650 no 2.o dia, e assim por diante. Quantas calorias o paciente deveria ingerir no 15.o dia de dieta? Quantas calorias o paciente deveria ingerir durante o período da dieta?