Prof. Ilydio Pereira de Sá INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA 2ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO Prof. Ilydio Pereira de Sá www.magiadamatematica.com

MATEMÁTICA COMBINATÓRIA: INTRODUÇÃO

Princípio Fundamental da Contagem (PFC) ou Princípio Multiplicativo O princípio fundamental da contagem diz que se há x modos de tomar uma decisão D1 e, tomada a decisão D1, há y modos de tomar a decisão D2, então o número de modos de tomar sucessivamente ou simultaneamente as decisões D1 e D2 é xy.

Exemplo 1: Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos se pode formar um casal? SOLUÇÃO: Formar um casal equivale a tomar as decisões: D1 : Escolha do homem (5 modos). D2 : Escolha da mulher (5 modos). Há 5 × 5 = 25 modos de formar um casal.

O princípio fundamental da contagem pode ser generalizado para um número qualquer de decisões, ou seja, se um problema de contagem pode ser subdividido em decisões (etapas) sucessivas ou consecutivas, o número de possibilidades existentes para essas escolhas será igual ao PRODUTO das possibilidades para as etapas intermediárias.

Exemplo 2: Uma bandeira é formada por 7 listras que devem ser coloridas usando-se apenas as cores verde, azul e cinza. Se cada listra deve ter apenas uma cor e não podem ser usadas cores iguais em listras adjacentes, de quantos modos se pode colorir a bandeira? Solução: Colorir a bandeira equivale a escolher a cor de cada listra. Há 3 modos de escolher a cor da primeira listra e, a partir daí, 2 modos de escolher a cor de cada uma das outras 6 listras. A resposta é 3 × 26 = 192 modos.

Exemplo 3: Quantos são os números de três dígitos distintos? Solução: O primeiro dígito pode ser escolhido de 9 modos, pois não pode ser igual a 0. O segundo dígito pode ser escolhido de 9 modos, pois não pode ser igual ao primeiro dígito. O terceiro dígito pode ser escolhido de 8 modos, pois não pode ser igual nem ao primeiro nem ao segundo dígitos. A resposta é 9 × 9 × 8 = 648 números.

Exemplo 4: Qual o número máximo de veículos que podem ser emplacados no Brasil, com o atual sistema de três letras e quatro algarismos? Solução: Como o alfabeto utilizado tem 26 letras e o nosso sistema de algarismos é decimal (10 símbolos), teremos: 263 x 104 = 175 760 000 veículos

Exemplo 5: Quantos divisores inteiros e positivos possui o número 360? Solução: 360 = 23 × 32 × 51. Os divisores inteiros e positivos de 360 são os números da forma 2x × 3y × 5z, com x ∈ {0, 1, 2, 3} (4 possibilidades); y ∈ {0, 1, 2} (3 possibilidades) e z ∈ {0, 1} (2 possibilidades). Há 4 × 3 × 2 = 24 maneiras de escolher os expoentes x, y e z. Há, portanto, 24 divisores positivos.

IMPORTANTE ! Você já deve ter percebido nesses exemplos qual é a estratégia para resolver problemas de Combinatória: Postura: Devemos sempre nos colocar no papel da pessoa que deve fazer a ação solicitada pelo problema e ver que decisões devemos tomar. No Exemplo 3, nós nos colocamos no papel da pessoa que deveria escrever o número de três dígitos; no Exemplo 2, nós nos colocamos no papel da pessoa que deveria colorir a bandeira; no Exemplo 1, nós nos colocamos no papel da pessoa que deveria formar o casal. 2) Divisão: Devemos, sempre que possível, dividir as decisões a serem tomadas em decisões mais simples. Formar um casal foi dividido em escolher o homem e escolher a mulher; colorir a bandeira foi dividido em colorir cada listra; etc.

Mas será que recaímos sempre em multiplicação ? Ou existem outros casos? Observe o próximo exemplo: Usando as frutas Maçã (M), Banana (B), Abacaxi (A) e Pêra (P), quantos tipos distintos de saladas de frutas, com três dessas frutas, podem ser formadas? Agora temos uma novidade, que não ocorria nos casos anteriores. É que se escolhermos uma opção (B, A, M), por exemplo, e mexermos nessa ordem (A, B, M), não teremos uma salada de frutas diferente, será exatamente a mesma. A ordem de escolha das frutas não influi no resultado final. Como faremos nesses casos?

Vamos escrever todas as opções, como se fossem distintas ao mudarmos a ordem das frutas: A B M A B P A M P B P M A M B A P B A P M B M P B A M B A P M A P P B M B M A B P A M P A P M B M A B P A B P A M M B P M B A P B A P M A M P B A resposta do problema está representada em apenas um dos grupos acima (4 tipos de saladas de frutas). Se calculássemos como nos casos anteriores, teríamos um total de 4 x 3 x 2 x 1 = 24 tipos (que estão representados acima). Como a resposta se repetiu 6 vezes, é claro que o resultado teve que ser dividido por 6. Por que será? Como podemos generalizar esse fato?

Vejamos um outro exemplo: Uma famosa sorveteria anuncia 31 diferentes sabores de sorvete. O número possível de casquinhas com três bolas sem nenhuma repetição de sabor é, portanto, 31 x 30 x 29 = 26 970; qualquer um dos 31 sabores pode vir em cima, qualquer um dos 30 restantes no meio, e qualquer um dos 29 que sobraram embaixo. Se não estamos interessados no modo como os sabores são dispostos na casquinha, mas simplesmente em quantas casquinhas com três sabores há, teremos que dividir 26 970 por 6, obtendo então 4 495 casquinhas. Por que será que, novamente, dividimos por 6?

A razão por que dividimos por 6 é que há 6 = 3 x 2 x 1=3 A razão por que dividimos por 6 é que há 6 = 3 x 2 x 1=3! diferentes maneiras de dispor os sabores escolhidos numa casquinha. Vamos supor que os sabores escolhidos seja: morango-baunilha-chocolate. Teríamos as seguintes ordenações possíveis: MBC, MCB; BMC; BCM, CBM e CMB. Uma vez que o mesmo se aplica a cada casquinha com três sabores, o número dessas casquinhas é (31x30x29) / (3x2x1) = 4 495 casquinhas com 3 sabores, escolhidos dentre os 31 oferecidos (sem importar a ordem de colocação desses 3 sabores na casquinha).

Um exemplo menos “engordativo” é fornecido pelas muitas loterias existentes em nosso país. A mega-sena, por exemplo cujo jogo mínimo consiste na escolha de 6 dezenas, dentre as 60 disponíveis. Caso a ordem de escolha dos números fosse importante na escolha do apostador, teríamos 60 x 59 x 58 x 57 x 56 x 55 jogos distintos, com seis dezenas. Mas como sabemos que a ordem de escolha desses números não é importante, temos que dividir esse resultado por 6x5x4x3x2x1 = 720, já que qualquer uma das seqüências de seis números pode ser decomposta em 720 outras apostas iguais. Teremos, portanto 50 063 860 possibilidades de escolha das 6 dezenas, dentre as 60 disponíveis na Mega-sena.

Observe que a forma do número obtido é a mesma nesses 3 últimos exemplos: (4 x 3 x 2 x 1) / (3 x 2 x 1) diferentes tipos de salada de frutas. (31 x 30 x 29) /(3 x 2 x1) diferentes casquinhas com três sabores. (60 x 59 x 58 x 57 x 56 x 55) / (6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) maneiras de escolher seis números entre os sessenta da mega-sena.

Números obtidos desta forma são chamados coeficientes combinatórios ou combinações. Eles surgem quando estamos interessados no número de maneiras de escolher R elementos a partir de N elementos e não estamos interessados na ordem em que os R elementos são escolhidos.

Tente resolver: Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 países, as tampinhas de Coca-Cola traziam sempre palpites sobre os países que se classificariam nos três primeiros lugares (por exemplo: 1º lugar, Brasil; 2º lugar, Nigéria; 3º lugar, Holanda). Se, em cada tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam existir?

SOLUÇÃO: 24 x 23 x 22 = 12 144 tampinhas distintas, já que a ordem de colocação dos nomes dos países é importante (define a sua classificação na copa) Outra para você tentar resolver 2) Quantos são os triângulos que podem ser construídos a partir de 10 pontos marcados sobre uma circunferência?

A B C SOLUÇÃO: Neste caso, a ordem de disposição dos elementos de cada coleção não importa ao problema, isto é, o triângulo ABC é o mesmo do triângulo ACB, por exemplo. Logo, como na questão da Mega-Sena, teremos que a quantidade de triângulos será dada por:

DESAFIO (OBMEP – 2009) Com exatamente dois segmentos de reta, podemos fazer figuras diferentes unindo os vértices de um pentágono. Cinco dessas figuras estão ilustradas a seguir. Incluindo essas cinco, quantas figuras diferentes podemos fazer desse modo?

SOLUÇÃO Percebemos que essas figuras são sempre formadas pelos dois segmentos, escolhidos entre os lados e as diagonais de um pentágono. Como o pentágono possui 5 lados e 5 diagonais, são 10 os segmentos disponíveis para a escolha dos 2 que formarão a figura. Podemos usar o princípio multiplicativo, lembrando que esse é um daqueles casos mostrados anteriormente, que envolvem multiplicação e divisão, pois a figura formada pelos segmentos AB e CD será a mesma formada pelos segmentos CD e AB, ou seja a ORDEM desses segmentos não influi na figura resultante, logo, teremos: 10 . 9 2 . 1 =45 figuras